福建省厦门市双十高级中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 PDF版含答案

双十中学 2020~2021 学年（上）高一年期中考试
数学试卷
试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目
要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答．
（2020双十高一11月期中考，1）如图，U 是全集，M 、P是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是
（ ）
A．M CP?()
U B．MP? C．()CM PU ? D．( )( )CM CPUU?
x?1
（2020双十高一11月期中考，2）函数 fx()= 的定义域为（ ）
x?2
A．[1, 2 2,) ( )? +∞ B．( )1,+∞ C．[1, 2) D．[1,+∞)
（2020双十高一11月期中考，3）若abc<< ，则函数
fx xaxb xbxc xcxa( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )=? ?+? ?+? ? 两个零点分别位于区间（ ）
A．(,)bc 和(, )c +∞ 内 B．( ,)?∞ a 和(,)ab 内
C．(,)ab 和(,)bc 内 D．( ,)?∞ a 和(, )c +∞ 内
0.3 2
（2020双十高一11月期中考，4）设a =2 ，b=0.3 ，c=log 0.32 ，则abc,, 的大小关系是（ ）
A．abc<< B．cba<< C．cab<< D．bca<<
（2020双十高一11月期中考，5）已知函数 fx()满足 fx x( 1) lg?= ，则不等式 fx() 0< 的解集为
（ ）
A．( ,1)?∞ B．(1, 2) C．( ,0)?∞ D．( 1, 0)?
（2020双十高一11月期中考，6）已知函数 fx x( ) log=
2 的反函数为gx()，则gx(1 )? 的图像为
（ ）
A． B．
C． D．
（2020双十高一11月期中考，7）某渔场鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养
殖量x要小于m，留出适当的空闲量，已知鱼群的年增加量 y（吨）和实际养殖量x（吨）与空闲率（空
闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数k >0），则鱼群年增长量的最大值为
（ ）
mk mk m m
A． B． C． D．
2 4 2 4
1
（2020双十高一11月期中考，8）已知函数 fx()满足 fx() 1+= ，当x∈[ ]0,1 时， fx x()= ，
fx( 1)+
若在区间(?1,1]内，函数gx f x x( ) ( ) log ( 2)=?+
m 有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）
??1
A．( )1, 3 B．?0, C．(1, 3] D．[3,+∞)
??3?
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，
全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错的得0分．在答题卷上相应题目的答题区域内作答．
1 x 2
（2020双十高一11月期中考，9）已知全集为R，集合A x B xx x= ≤ = ? +≤{|() 1}, {| 6 8 0}，则下
2
列结论正确的有（ ）
A．A= ?∞( ,0] B．CB x x xR =<>{ | 2 4}或
C．A CB x x?
R = ≤<{ | 0 2} D．A CB x x x?
R = ≤< >{ | 0 2 4}或
2 m
（2020双十高一11月期中考，10）若函数 fx m m x( ) (3 10 4)= ?+ 是幂函数，则 fx()一定（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在x∈ ?∞( ,0)上单调递减 D．在x∈ ?∞( ,0)上单调递增
（2020双十高一11月期中考，11）已知log log34ab= ，则下列结论正确的有（ ）
A．1<x2+1
x
（2020双十高一11月期中考，12）关于函数 fx a a a( ) ( 0, 1)= >≠ ，下列命题中正确的是（ ）
A．函数图像关于y轴对称
B．当a >1时，函数在( )0,+∞ 上为增函数
2
C．当01<2
D．函数的值域是??a ,+∞)
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．
?xx?≥1, 0
（2020双十高一11月期中考，13）已知 fx()=?
2 ，若 fx() 4= ，则x=______．
?xx,0<
1 log 3+
（ 4
2020双十高一11月期中考，14）化简2 的值=______．
1
（2020双十高一11月期中考，15）计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低 ，现在价格为
3
8100元的计算机，则9年后价格可降为______．
x?1
21?
（2020双十高一11月期中考，16）已知函数 fx()=
x ，某同学利用计算器，算得 fx()的部分x与
22+
fx()的值如下表：
x … ?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 …
fx() … ?0.4697 ?0.4412 ?0.3889 ?0.30 ?0.1667 0 0.1667 0.30 0.3889 …
请你通过观察，研究后，写出关于 fx()的正确的一个性质______．（不包括定义域）
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应
题目的答题区域内作答．
2
（2020双十高一11月期中考，17）已知集合M x ax x= ? + +={ | 2 1 0}只有一个元素，
2
A xy x= =?+{ | 1}，B yy x x= =?+ ?{ | 2 1}．
（1）求AB? ；
（2）设N 是由a可取的所有值组成的集合，试判断N 与AB? 的关系．
（2020双十高一11月期中考，18）我国是世界上人口最多的国家，1982年十二大，计划生育被确定为基
本国策.实行计划生育，严格控制人口增长，坚持少生优生，这是直接关系到人民生活水平的进一步提高，
也是造福子孙后代的百年大计．
（1）据统计1995年底，我国人口总数约12亿，如果人口的自然年增长率控制在1%，到2020年底我国
人口总数大约为多少亿（精确到亿）；
（2）当前，我国人口发展已经出现转折性变化，2015年10月26日至10月29日召开的党的十八届五中
全会决定，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，积极
开展应对人口老龄化行动.这是继2013年，十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策之后的又一次
人口政策调整.据统计2015年中国人口实际数量大约14亿，若实行全面两孩政策后，预计人口年增长率实
际可达1%，那么需经过多少年我国人口可达16亿．
25
（参考数字：1.01 1.2824≈ ，lg 2 0.3010≈ ，lg 7 0.8451≈ ，lg1.01 0.0043≈ ）
xx+1
（2020双十高一11月期中考，19）已知函数 fx a() 4 2 2= ??? ．
（1）若 fx()的最小值为?3，求实数a的值；
（2）若 fx() 0< 对任意的x∈[0,1)恒成立，求实数a的取值范围．
2
（2020双十高一11月期中考，20）函数 fx x()= 和gx x( ) log ( 1)= +
3 的部分图像如图所示，设两函数
的图像交于点O( )0, 0 ，Ax y( )
00, ．
（1）请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
1
（2）求证：x0∈( ,1)；
2
（3）请通过直观感知，求出使 f x gx a() ()>+ 对任何18<（2020双十高一11月期中考，21）定义在(0, )+∞ 的函数 fx()满足：①当x>1时， fx() 2意xy, (0, )∈ +∞ ，总有 fxy fx fy( ) () () 2=++ ．
（1）求出 f(1)的值；
（2）解不等式 fx fx( ) ( 1) 4+ ? >? ；
（3）写出一个满足上述条件的具体函数（不必说明理由，只需写出一个就可以）．
( 1)( )x xa++
（2020双十高一11月期中考，22）已知函数 fx()=
2 为偶函数．
x
（1）求实数a的值；
（2）判断 fx()的单调性，并证明你的判断；
??11
（3）是否存在实数λ，使得当x mn∈ >>??, ( 0, 0)时，函数 fx()的值域为[ ]2 ,2??λλmn .若存
??mn
在，求出λ的取值范围；若不存在说明理由．
双十中学 2020~2021 学年（上）高一年期中考试
数学试卷
试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目
要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答．
（2020双十高一11月期中考，1）如图，U 是全集，M 、P是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是
（ ）
A．M CP?()
U B．MP? C．()CM PU ? D．( )( )CM CPUU?
【答案】A
【解析】由题易知阴影部分所表示的集合是M CP?()
U ，故选A.
x?1
（2020双十高一11月期中考，2）函数 fx()= 的定义域为（ ）
x?2
A．[1, 2 2,) ( )? +∞ B．( )1,+∞ C．[1, 2) D．[1,+∞)
【答案】A
【解析】由题知x?≥10，解得x≥1；x?≠20，解得x≠2；两者取交集得[1, 2 2,) ( )? +∞ ，故选A.
（2020双十高一11月期中考，3）
若abc<< ，则函数 fx xaxb xbxc xcxa( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )=? ?+? ?+? ? 两个零点分别位于区间
（ ）
A．(,)bc 和(, )c +∞ 内 B．( ,)?∞ a 和(,)ab 内
C．(,)ab 和(,)bc 内 D．( ,)?∞ a 和(, )c +∞ 内
【答案】C
【解析】?abc<< ，∴ =? ?>fa a ba c()( )( )0， fb b cb a( ) ( )( ) 0=? ?< ，
fc c ac b()( )( )0=? ?> ，由函数零点存在判定定理可知：在区间(,)ab 和(,)bc 内分别存在一个零点；
又函数 fx()是二次函数，最多有两个零点，因此函数 fx()的两个两个零点分别位于区间(,)ab 和(,)bc
内，故选C.
0.3 2
（2020双十高一11月期中考，4）设a =2 ，b=0.3 ，c=log 0.32 ，则abc,, 的大小关系是（ ）
A．abc<< B．cba<< C．cab<< D．bca<<
【答案】B
2 0.3 2 0.3
【解析】因为0 0.3 1<< ，log 0.3 02 < ，21> ，所以log 0.3 0.3 22 << ，即cba<< ，故选B.
（2020双十高一11月期中考，5）已知函数 fx()满足 fx x( 1) lg?= ，则不等式 fx() 0< 的解集为
（ ）
A．( ,1)?∞ B．(1, 2) C．( ,0)?∞ D．( 1, 0)?
【答案】D
【解析】令x t xt t?=∴ =+ +>1, 1,10，所以 ft t( ) lg( 1)= + ，函数 fx()的解析式为：
fx x( ) lg( 1)= + ，不等式 fx() 0< 化为lg( 1) 0x+< ，解得?< <10x ，故选D.
（2020双十高一11月期中考，6）已知函数 fx x( ) log=
2 的反函数为gx()，则gx(1 )? 的图像为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
x 1?xx1
【解析】函数 fx x( ) log=
2 的反函数为gx() 2= ，gx(1 ) 2 2 ( )?= = ? ，当x=0时，g(1) 1= ，再
2
利用单调性可知图像为C，故选C.
（2020双十高一11月期中考，7）某渔场鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养
殖量x要小于m，留出适当的空闲量，已知鱼群的年增加量 y（吨）和实际养殖量x（吨）与空闲率（空
闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数k >0），则鱼群年增长量的最大值为
（ ）
mk mk m m
A． B． C． D．
2 4 2 4
【答案】B
m x k m km?
2 m
【解析】由题知，y kx k x= ≤ = > <mm 24 2
号成立，故选B.
1
（2020双十高一11月期中考，8）已知函数 fx()满足 fx() 1+= ，当x∈[ ]0,1 时， fx x()= ，
fx( 1)+
若在区间(?1,1]内，函数gx f x x( ) ( ) log ( 2)=?+
m 有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）
??1
A．( )1, 3 B．?0, C．(1, 3] D．[3,+∞)
??3?
【答案】D
1
【解析】? fx x fx() 1 , 0,1 ()+= ∈ =当 时，[ ] x，∴ ∈? + ∈xx( 1, 0) 1 (0,1)时， ，则
fx( 1)+
11 1
? fx() 1+= = ，∴=?fx() 1，若函数gx f x x( ) ( ) log ( 2)=?+
m 有两个零点，则
fx x( 1) 1++ x+1
fx x( ) log ( 2)= +
m 有两个根，即y fx y x= = +( ) log ( 2)与
m 的图像有两个交点。函数图像如图所示，
当01<m 单调递减，此时不满足条件；当m>1时，函数yx= +log ( 2)
m 单
调递增，若两函数有两个交点，则满足当x=1时，gm(1) 1 log 3 1, 3≤ ≤≥，即 解得
m ，故选D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，
全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错的得0分．在答题卷上相应题目的答题区域内作答．
1 x 2
（2020双十高一11月期中考，9）已知全集为R，集合A x B xx x= ≤ = ? +≤{|() 1}, {| 6 8 0}，则下
2
列结论正确的有（ ）
A．A= ?∞( ,0] B．CB x x xR =<>{ | 2 4}或
C．A CB x x?
R = ≤<{ | 0 2} D．A CB x x x?
R = ≤< >{ | 0 2 4}或
【答案】BD
11x 0 2
【解析】因为() 1 ()≤= ，所以x≥0，所以A xx= ≥{ }|0 ；又因为xx x? +≤ ≤ ≤6 80 2 4解得 ，
22
所以Bx x CBxx x= ≤≤ ∴ = < >{ | 2 4} { | 2 4}
R 或 ，所以A CB x x x?
R = ≤< >{ | 0 2 4}或 ，故选BD.
2 m
（2020双十高一11月期中考，10）若函数 fx m m x( ) (3 10 4)= ?+ 是幂函数，则 fx()一定（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在x∈ ?∞( ,0)上单调递减 D．在x∈ ?∞( ,0)上单调递增
【答案】BD
1
2 1 3
【解析】由题知3 10 4 1 3mm m m? += = =，解得 或 ，所以 fx x fx x= =或 3
() () ，由幂函数性质知
3
fx()是奇函数且单调递增，故选BD.
（2020双十高一11月期中考，11）已知log log34ab= ，则下列结论正确的有（ ）
A．1<【答案】AC
【解析】由题知，当ab,1> 时log log log343a b bab= < ∴< ；当ab,1< 时log log log343abb= > ，
∴>ab，故选AC.
x2+1
x
（2020双十高一11月期中考，12）关于函数 fx a a a( ) ( 0, 1)= >≠ ，下列命题中正确的是（ ）
A．函数图像关于y轴对称
B．当a >1时，函数在( )0,+∞ 上为增函数
2
C．当01<2
D．函数的值域是??a ,+∞)
【答案】AC
【解析】
( )1 1?+ +xx22
?xx
由题知， fx()的定义域为{ | 0}xx≠ ，且 f x a a fx( ) ()?= = = ，所以 fx()为偶函数，所以函
数图像关于y轴对称，故A正确.
? 1
2 xx+>,0
x +11 ?? x
令gx x()= =+=? ，当x>1时，gx()为增函数，当01<xx ? 1
?? ?? x
x
数；当a >1，函数ya= 为增函数，由复合函数的单调性可知 fx()在(0,1)上为减函数，在(1, )+∞ 上为
增函数，故B错误.
1 x
由 x +≥2，当且仅当 x =1时取等号，当01<x
2
(0,1), ( , 1)?∞ ? 上为增函数，在(1, ), ( 1, 0)+∞ ? 上为减函数，故有最大值a ，故C正确.
2 2
当01<1时，值域为[, )a +∞ ，故D错误.
故选AC.
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．
?xx?≥1, 0
（2020双十高一11月期中考，13）已知 fx()=?
2 ，若 fx() 4= ，则x=______．
?xx,0<
【答案】x= ?2或x=5
2
【解析】当x≥0时， fx() 4= ，即x?=14，得x=5；当x<0时， fx() 4= ，即x =4，得
x= ?2；故x= ?2或x=5.
1 log 3+
（2020双十高一11月期中考，14）化简 4
2 的值=______．
【答案】23
log 32 log 32
1 log 3 log 3 log 4 log 3+ 4 42 21 2
【解析】2 2 2 22 22 22 2 3= = = = =? ? ?? .
1
（2020双十高一11月期中考，15）计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低 ，现在价格为
3
8100元的计算机，则9年后价格可降为______．
【答案】2400元
9
1
【解析】由题知 3
8100 (1 ) 2400×? = .
3
x?1
21?
（2020双十高一11月期中考，16）已知函数 fx()=
x ，某同学利用计算器，算得 fx()的部分x与
22+
fx()的值如下表：
x … ?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 …
fx() … ?0.4697 ?0.4412 ?0.3889 ?0.30 ?0.1667 0 0.1667 0.30 0.3889 …
请你通过观察，研究后，写出关于 fx()的正确的一个性质______．（不包括定义域）
【答案】关于(1, 0)对称
【解析】由表格易知.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应
题目的答题区域内作答．
2
（2020双十高一11月期中考，17）已知集合M x ax x= ? + +={ | 2 1 0}只有一个元素，
2
A xy x= =?+{ | 1}，B yy x x= =?+ ?{ | 2 1}．
（1）求AB? ；
（2）设N 是由a可取的所有值组成的集合，试判断N 与AB? 的关系．
【答案】（1）AB? = ?[ ]1, 0 ；（2）N AB?()?
【解析】（ 22
1）由x+≥10，得x≥?1，所以A xx= ≥?{ }|1 ；由yx x x=? + ?=? ?2 1 ( 1) ，得
y≤0，所以B yy= ≤{ }|0 ，所以AB? = ?[ ]1, 0 ；
（2）由题知，当a=0，方程2 10x+= 只有一个实数解，符合题意；当a≠0时，?=0，解得a = ?1，
所以N = ?{ 1, 0}，所以N AB?()? .
（2020双十高一11月期中考，18）我国是世界上人口最多的国家，1982年十二大，计划生育被确定为基
本国策.实行计划生育，严格控制人口增长，坚持少生优生，这是直接关系到人民生活水平的进一步提高，
也是造福子孙后代的百年大计．
（1）据统计1995年底，我国人口总数约12亿，如果人口的自然年增长率控制在1%，到2020年底我国
人口总数大约为多少亿（精确到亿）；
（2）当前，我国人口发展已经出现转折性变化，2015年10月26日至10月29日召开的党的十八届五中
全会决定，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，积极
开展应对人口老龄化行动.这是继2013年，十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策之后的又一次人
口政策调整.据统计2015年中国人口实际数量大约14亿，若实行全面两孩政策后，预计人口年增长率实际
可达1%，那么需经过多少年我国人口可达16亿．
25
（参考数字：1.01 1.2824≈ ，lg 2 0.3010≈ ，lg 7 0.8451≈ ，lg1.01 0.0043≈ ）
【答案】（1）15；（2）14
【解析】（1）由1995年底到2020年底，经过25年，由题知，到2020年底我国人口总数大约为
25
12 (1 1%) 12 1.2824 15×+ ≈ × ≈ （亿）；
x
（2）设需要经过x年我国人口可达16亿，由题知14 (1 1%) 16×+ = ，两边取对数得，
lg16 lg14 3lg 2 lg 7 3 0.3010 0.8451? ? ×?
lg14 lg1.01 lg16+=x ，即有x= = ≈≈14，则需要经过14
lg1.01 lg1.01 0.0043
年我国人口可达16亿.
xx+1
（2020双十高一11月期中考，19）已知函数 fx a() 4 2 2= ??? ．
（1）若 fx()的最小值为?3，求实数a的值；
（2）若 fx() 0< 对任意的x∈[0,1)恒成立，求实数a的取值范围．
1
【答案】（1）a =1；（2）a∈ +∞[, )
2
xx x x+12 x
【解析】（1）由题 fx a a( ) 4 2 2 (2 ) 2 2 2= ? ?= ? ??? ，令t = ∈ +∞2 (0, ]，所以
2 22
y t at=??22，对称轴ta= ，所以aa? ?=?2 23，解得a = ±1，又因为t >0，所以a =1；
2
（2）由（1）知若 fx() 0< 对任意的x∈[0,1)恒成立，即y t at= ? ?<2 20对任意的t∈[1, 2)恒成
2
tt?21 t 1 1
立，即a>= ? 对任意的t∈[1, 2)恒成立；易知y = ? 是增函数，所以yymax <=(2) ，
22tt 2 t 2
1 1
所以a≥ 即a∈ +∞[, ).
2 2
2
（2020双十高一11月期中考，20）函数 fx x()= 和gx x( ) log ( 1)= +
3 的部分图像如图所示，设两函数
的图像交于点O( )0, 0 ，Ax y( )
00, ．
（1）请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
1
（2）求证：x0∈( ,1)；
2
（3）请通过直观感知，求出使 f x gx a() ()>+ 对任何18<【答案】（1）略；（2）略；（3）a∈ ?∞ ?( ,1 log 2)3
2
【解析】（1）C1是gx x( ) log ( 1)= +
3 的图像，C2是 fx x()= 的图像；
2 11 1 3
（2）证明：令Fx f x gx x x() () () log( 1)=?=? +
3 ，因为F( ) log ( 1) log 2=? += ?
33 ，因为
24 2 4
31 1
44 4 1 1
log 3 log 27 ,log 2 log 163 3 33= = ，所以F() 0< ；F(1) 1 log 2 0= ?>
3 ，故存在x0∈( ,1)，使得
2 2
2
Fx()00 = ，即x0是gx x( ) log ( 1)= +
3 与 fx x()= 图像的交点；
（3）由（2）知F(1) 1 log 2 0= ?>
3 ，且由图知a（2020双十高一11月期中考，21）定义在(0, )+∞ 的函数 fx()满足：①当x>1时， fx() 2意xy, (0, )∈ +∞ ，总有 fxy fx fy( ) () () 2=++ ．
（1）求出 f(1)的值；
（2）解不等式 fx fx( ) ( 1) 4+ ? >? ；
（3）写出一个满足上述条件的具体函数（不必说明理由，只需写出一个就可以）．
15+
【答案】（1） f(1) 2= ? ；（2）x∈(1, )；（3） fx x( ) log 2= ?
1
2
2
【解析】（1）令xy= =1，则 fff(1) (1) (1) 2=++ ，所以 f(1) 2= ? ；
1
（2）令yx= >,1，则有 f fx fy(1) ( ) ( ) 2=++ ，所以 fy fx() 4 ()=?? ；又因为x>1时，
x
fx() 2? ；而 fx fx( ) ( 1) 4+ ? >? 可化为 f xx( ( 1)) 2 4? ? >? ，即 f xx( ( 1)) 2? >?
?x>0
? 15+ 15+
故?x?>10 ，解得1<? 2 2
?0 ( 1) 1< ?（3）由题知 fx x( ) log 2= ?
1 .
2
( 1)( )x xa++
（2020双十高一11月期中考，22）已知函数 fx()=
2 为偶函数．
x
（1）求实数a的值；
（2）判断 fx()的单调性，并证明你的判断；
??11
（3）是否存在实数λ，使得当x mn∈ >>??, ( 0, 0)时，函数 fx()的值域为[ ]2 ,2??λλmn .若存
??mn
在，求出λ的取值范围；若不存在说明理由．
【答案】（1）a = ?1；（2） fx()在(0, )+∞ 上为增函数，在( ,0)?∞ 上为减函数；（3）存在，λ>2
2
( 1)( ) ( 1)x xa x a xa+ + ++ +
【解析】（1）因为函数 fx()= =
22 为偶函数，所以
xx
22
x a xa x a xa?++ +++( 1) ( 1)
fx()?= =
22 ，即?+=+( 1) 1aa ，所以a = ?1；
xx
2
x ?11
（2）当a = ?1时， fx() 1= = ?
22 ，则函数 fx()在(0, )+∞ 上为增函数，在( ,0)?∞ 上为减函数.
xx
11 ( )( )xxxx?+
证明：设 1 21 2
0<2 2 22 ，因为0<x x xx2 1 12
所以xx xx12 12+> ?<0, 0，所以 fx fx() () 012?< ，即 fx fx() ()12< ，故 fx()在(0, )+∞ 上为增函
数；同理可证 fx()在( ,0)?∞ 上为减函数；
??11
（3）因为函数 fx()在(0, )+∞ 上为增函数，所以若存在实数λ，使得当x mn∈ >>??, ( 0, 0)时，函
??mn
? 1 2
f mm
? ()1 2=?=?λ
2
? m ??mm? +=λ 10
数 fx()的值域为[ ]2 ,2??λλmn ，则满足? ，即? ，即
2 mn, 是
? 1 2 ?nn? +=λ 10
f nn() 1 2=?=?λ ?
?? n
2
??= ? >λ 40
?
方程 2
xx? +=λ 10的两个不等的正根.则满足?mn+= >λ 0 ，解得λ>2，故存在λ>2，使得结论
??mn= >10
成立.