（新教材）2019-2020学年新课程同步人教版高中物理必修第二册新学案 教师用书

第五章
抛体运动
第1节曲
线
运
动
1．知道什么是曲线运动，会确定曲线运动速度的方向。
　2.知道曲线运动是变速运动。
　
3.知道物体做曲线运动的条件。
　　　　　　　　　　
1．填一填
(1)速度方向特点：做曲线运动的物体，速度的方向在不断变化。
(2)速度方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
(3)曲线运动的性质：曲线运动中速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动。
2．判一判
(1)曲线运动的速度方向可能不变。(×)
(2)曲线运动的速度大小和方向一定同时改变。(×)
(3)物体做曲线运动时加速度一定不为零。(√)
3．选一选
(2019·西南大学附中期中)如图所示的曲线为运动员抛出的铅球的运动轨迹(铅球视为质点)，A、B、C为曲线上的三点，ED为过B点的切线。关于铅球在B点的速度方向，下列说法正确的是(　　)
A．沿AB的方向
B．沿BC的方向
C．沿BD的方向
D．沿BE的方向
解析：选C　由于做曲线运动的物体在某点的速度方向沿曲线在该点的切线方向，因此铅球在B点的速度方向沿BD的方向，C正确。
1．填一填
(1)理论分析：曲线运动是变速运动，速度方向时刻改变，物体的加速度一定不为0，故物体所受的合力一定不为0。
(2)动力学角度：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上。
(3)运动学角度：物体加速度的方向与速度的方向不在同一直线上。
2．判一判
(1)物体做曲线运动时，合力一定不为零。(√)
(2)物体做曲线运动时，合力一定是变力。(×)
(3)物体做曲线运动时，加速度的方向时刻在改变。(×)
3．选一选
(2019·青岛高一检测)下列关于曲线运动的说法中，不正确的是(　　)
A．做曲线运动的物体，轨迹上某点的切线方向即为物体在该位置的速度方向
B．曲线运动可以是匀速运动
C．在曲线运动中，物体的加速度方向和速度方向是不相同的
D．当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动
解析：选B　做曲线运动的物体，轨迹上某点的切线方向即为物体在该位置的速度方向，选项A正确；做曲线运动的物体速度方向不断变化，即速度不断变化，则不是匀速运动，选项B错误；在曲线运动中，物体的加速度方向和速度方向是不相同的，选项C正确；当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动，选项D正确。
曲线运动的性质与分类
[学透用活]
1．曲线运动的速度：曲线运动的速度方向与该时刻运动轨迹曲线上相应点的切线方向相同，速度的方向时刻在发生变化。
2．曲线运动的性质：由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因其矢量性，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动。
3．运动的五种类型
轨迹特点
加速度特点
运动性质
直线
加速度为零
匀速直线运动
加速度不变
匀变速直线运动
加速度变化
非匀变速直线运动
曲线
加速度不变
匀变速曲线运动
加速度变化
非匀变速曲线运动
　[多选]下列说法正确的是(　　)
A．做曲线运动的物体速度方向一定发生变化
B．速度方向发生变化的运动一定是曲线运动
C．速度变化的运动一定是曲线运动
D．做曲线运动的物体一定有加速度
[解析]　任何曲线运动的速度方向时刻变化，一定有加速度，故A、D正确。速度方向变化、速度变化的运动不一定是曲线运动，如竖直上抛运动，速度发生变化，在最高点速度方向发生变化，而轨迹为直线，故B、C错误。
[答案]　AD
曲线运动性质的两种判断方法
(1)合外力判断法。若物体的合外力为恒力，则它做匀变速曲线运动；若物体的合外力为变力，则它做非匀变速曲线运动。
(2)加速度判断法。若物体的加速度不变，则它做匀变速曲线运动；若物体的加速度变化，则它做非匀变速曲线运动。　　　
[对点练清]
1．做曲线运动的物体，在运动过程中，一定变化的物理量是(　　)
A．速率
B．速度
C．加速度
D．合外力
解析：选B　物体做曲线运动时，速度方向一定变化，速度大小不一定变化，即速率可能不变，但速度一定变化，故A错误，B正确。做曲线运动的物体的合外力或加速度有可能变化，也有可能不变化，C、D错误。
2．关于运动的性质，以下说法中正确的是(　　)
A．曲线运动一定是变速运动
B．变速运动一定是曲线运动
C．曲线运动一定是变加速运动
D．加速度不变的运动一定是直线运动
解析：选A　做曲线运动的物体速度方向时刻变化，所以曲线运动一定是变速运动，A正确。变速运动可能是速度的方向在变化，也可能是速度的大小在变化，所以不一定是曲线运动，B错误。曲线运动可能是变加速曲线运动，也可能是匀变速曲线运动，C错误。加速度不变的运动可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动，D错误。
3.过山车是大型游乐园里的一种比较刺激的娱乐项目。如图所示，过山车(可看成质点)从高处冲下，过M点时速度方向如图中所示，在圆形轨道内经过A、B、C三点，下列说法中正确的是(　　)
A．过A点时的速度方向沿AB方向
B．过B点时的速度方向沿水平方向
C．过A、C两点时的速度方向相同
D．圆形轨道上与M点速度方向相同的点在AB段上
解析：选B　过山车经过A、B、C三点的速度方向如图所示。由图可以判断B项正确，A、C两项错误；用直尺和三角板作M点速度方向的平行线且与圆相切于N、N′点，易知过山车过N点时速度方向与M点的相同，过N′点时速度方向与M点的相反，D项错误。
对曲线运动条件的理解
[学透用活]
1．物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：合力与速度方向不共线是物体做曲线运动的充要条件，这包含三个层次的内容：
①初速度不为零；
②合力不为零；
③合力与速度方向不共线。
(2)运动学条件：加速度与速度方向不共线。
2．物体的运动与合力的关系
如图所示，设合外力F与物体速度v间的夹角为θ，则：
夹角θ
运动轨迹
速率变化
θ＝0°
直线
速率越来越大v↑
θ＝180°
速率越来越小v↓
0°＜θ＜90°
曲线
速率越来越大v↑
θ＝90°
速率不变
90°＜θ＜180°
速率越来越小v↓
[注意]　(1)当合外力F大小恒定时，物体做匀变速直线或匀变速曲线运动。
(2)当合外力F大小变化时，物体做变加速直线或曲线运动。
(3)物体做曲线运动时，合外力F总是指向运动轨迹的凹侧。
　如图所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点时的速度与加速度相互垂直，下列说法中正确的是(　　)
A．D点的速率比C点的速率大
B．A点的加速度与速度方向的夹角小于90°
C．A点的加速度比D点的加速度大
D．从A到D加速度与速度方向的夹角先增大后减小
[解析]　质点做匀变速曲线运动，合力的大小和方向均不变，加速度不变，故C错误；由B点速度与加速度相互垂直可知，合力方向与B点切线垂直且向下，故质点由C到D过程，合力方向与速度方向夹角小于90°，速率增大，A正确；A点的加速度方向与过A点的切线，即速度方向的夹角大于90°，故B错误；从A到D加速度与速度方向的夹角一直变小，D错误。
[答案]　A
力和运动轨迹关系的两点提醒
(1)物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之间且与速度相切。
(2)物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。　　　
[对点练清]
1．一个物体做曲线运动，在某时刻物体的速度v和合外力F的方向可能正确的是(　　)
解析：选A　物体做曲线运动时，速度沿该点的切线方向，合外力与速度不共线，且指向轨迹弯曲方向的凹侧，故选项A正确。
2．在地面附近下落的雨滴做曲线运动的原因可能是(　　)
A．雨滴有初速度，受重力
B．雨滴有初速度，受重力、恒定浮力和空气阻力
C．雨滴有初速度，受重力、水平的风力和空气阻力
D．雨滴有初速度，受空气提供的变化的浮力和空气阻力
解析：选C　雨滴到地面附近之前具有竖直向下的初速度，要使雨滴做曲线运动，应使雨滴受到不在竖直方向上的力的作用，重力和浮力均在竖直方向上，空气阻力与雨滴的运动方向相反，只有水平的风力才能使雨滴偏离竖直方向，从而做曲线运动，故C正确。
3．[多选]一质点做匀速直线运动。现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则(　　)
A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同
B．质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直
C．质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同
D．质点单位时间内速率的变化量总是不变
解析：选BC　质点原来做匀速直线运动，说明所受合外力为0，当对其施加一恒力后，恒力的方向与原来运动的速度方向关系不确定，则质点可能做直线运动，也可能做曲线运动，但加速度的方向一定与该恒力的方向相同，选项B、C正确，A错误；由于施加的是一恒力，则加速度恒定，单位时间内速度的变化量不变，但如果质点做匀变速曲线运动，则单位时间内速率的变化是变化的，故D错误。
　　　　　　　　　　
落实新课标理念，教材案例最经典。本栏目内容选自其他版本教材，供同学们开阔视野，提升素养。
一、小球做直线或曲线运动的条件(核心素养之物理观念)[选自粤教版教材P4“讨论与交流”]
在生活中，我们看到抛体有的做直线运动，有的做曲线运动。为什么是这样呢？仔细观察和分析下列从不同角度向空中抛出的小球的运动和受力情况(如图)，并思考下列问题：
1．在忽略空气阻力的情况下，抛出的小球受到什么力的作用？在图中小球运动的不同位置处标出小球的受力方向。
2．小球在运动轨迹上不同位置的速度方向如何？在图中小球的不同位置处标出小球运动的速度方向。这些方向与物体受力的方向是不是在一条直线上？
通过以上分析和思考，你能不能得出做抛体运动的小球做直线运动和曲线运动的条件？
[讨论与交流]　请你将观察和分析的结果，先与同一小组的同学讨论与交流，然后将讨论与交流得出的结论填入下列横线上。
小球做直线运动的条件：___________________________________________________。
小球做曲线运动的条件：________________________________________________。
[提示]　(1)小球做直线运动时速度方向与受力方向在同一直线上。
(2)小球做曲线运动时速度方向与受力方向不在同一直线上。
二、典题好题发掘，练典题做一当十
[选自教科版教材P4第2题]
[多选]一质点做曲线运动，它的速度方向和加速度方向的关系是(　　)
A．质点速度方向时刻在改变
B．质点加速度方向时刻在改变
C．质点速度方向一定与加速度方向相同
D．质点速度方向一定沿曲线的切线方向
解析：选AD　质点做曲线运动时速度方向沿轨迹的切线方向，速度方向时刻在改变，故选项A、D均正确；质点的加速度方向与合外力的方向相同，与速度方向一定不在同一直线上，选项C错误；质点的加速度可以是不变的，如匀变速曲线运动，故选项B错误。
A级—学考达标
1．关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是(　　)
A．物体的速度方向一定不断改变
B．物体的速度大小一定不断改变
C．物体的加速度方向一定不断改变
D．物体的加速度大小一定不断改变
解析：选A　对于曲线运动来说，速度方向始终沿着轨迹某点的切线方向，其方向一定会发生变化，而大小则有可能不变，故选项A正确，B错误；曲线运动的加速度有可能不变，即有可能做匀变速曲线运动，故选项C、D错误。
2．(2018·山东潍坊一中期中)物体做曲线运动的条件为(　　)
A．物体运动的初速度不为0
B．物体所受合外力为变力
C．物体所受的合外力的方向与速度的方向不在同一条直线上
D．物体所受的合外力的方向与加速度的方向不在同一条直线上
解析：选C　当物体受到的合外力方向与速度方向不共线时，物体做曲线运动，故C正确。
3．若已知物体运动的初速度v0的方向及它所受恒定的合力F的方向，图中的a、b、c、d表示物体运动的轨迹，其中正确的是(　　)
解析：选B　当物体所受合力的方向与速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动，所以选项C错误；在物体做曲线运动时，运动的轨迹始终处在合力方向与速度方向的夹角之中，并且合力F的方向指向轨迹的凹侧，据此可知，选项B正确，A、D错误。
4.最近几年，我们国家已步入全民学车时代，社会上最流行的事情就是考驾照，据不完全统计，有的地区不到6个人当中就有一个人持有驾照。如图所示，对车辆通过该路段时，汽车运动的分析中可能正确的是(　　)
A．汽车做直线运动
B．汽车做曲线运动
C．汽车做匀变速曲线运动
D．汽车运动的加速度可能是不变的
解析：选B　根据汽车的运动轨迹特点，可判断汽车做的是曲线运动，从题图中可以看出，汽车通过该路段时，连续拐了两个相反方向的弯，根据轨迹总是弯向所受合力的那一侧的特点，说明运动中合力是变化的，所以汽车做的应该是非匀变速曲线运动，B正确，A、C、D均错误。
5.小钢球以初速度v0在光滑水平面上运动，受到磁铁的侧向作用而沿如图所示的曲线运动到D点，由此可知(　　)
A．磁铁在A处，靠近小钢球的一定是N极
B．磁铁在B处，靠近小钢球的一定是S极
C．磁铁在C处，靠近小钢球的一定是N极
D．磁铁在B处，靠近小钢球的可以是磁铁的任意一端
解析：选D　由小钢球的运动轨迹知小钢球受力方向指向轨迹凹侧，即磁铁应在轨迹凹侧，即B位置，磁铁的两极都可以吸引钢球，因此不能判断磁铁的极性。故D正确。
6．某质点做曲线运动，以下说法错误的是(　　)
A．在某一点的速度方向是该曲线的切线方向
B．在任意时间内位移的大小总是大于路程
C．质点受到的合外力可能为恒力
D．质点受到的合外力的方向可能不变
解析：选B　曲线运动过程中质点的速度方向沿曲线的切线方向，A正确；曲线运动过程中路程总是大于位移大小，B错误；水平抛出的物体做曲线运动，所受合外力为重力，合外力为恒力，方向不变，故C、D正确。
7．(2019·广东珠海一中期中)关于物体的受力和运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变
B．物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向
C．物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变
D．做曲线运动的物体，一定受到与速度不在同一直线上的合外力作用
解析：选D　物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小不可能一直不变，故A错误；物体做曲线运动时，某点的速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向，而不是加速度方向，故B错误；物体受到变化的合力作用时，它的速度大小可以不改变，故C错误；物体做曲线运动的条件是一定受到与速度不在同一直线上的合外力作用，故D正确。
8．下列说法中不正确的是(　　)
A．物体受到的合外力方向与速度方向相同时，物体做加速直线运动
B．物体受到的合外力方向与速度方向成锐角时，物体做曲线运动
C．物体受到的合外力方向与速度方向成锐角时，物体做减速直线运动
D．物体受到的合外力方向与速度方向相反时，物体做减速直线运动
解析：选C　当物体的运动方向与所受合外力方向在一条直线上时，物体做直线运动，运动方向与合外力方向相同时物体做加速直线运动，运动方向与合外力方向相反时物体做减速直线运动，选项A、D正确。物体受到的合外力方向与速度方向成锐角时，物体做曲线运动，且速度不断变大，选项C错误，B正确。
9.一个物体的速度方向如图中v所示。从位置A开始，它受到向前但偏右(观察者沿着物体前进的方向看，下同)的合力。到达B点时，这个合力的方向突然变成与前进方向相同；到达C点时，又突然改为向前但偏左的力；物体最终到达D点。请你大致画出物体由A点到D点的运动轨迹，并标出B点、C点和D点。
解析：轨迹如图所示：
答案：见解析图
B级—选考提能
10.双人滑冰运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN。vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的(　　)
A．F
1
B．F2
C．F3
D．F4
解析：选C　根据题图可知乙运动员由M向N做曲线运动，乙运动员向前的速度减小，同时向右的速度增大，
故合外力的方向指向水平线下方，故F3的方向可能是乙运动员受到的恒力方向，C正确，A、B、D错误。
11．[多选]物体在力F1、F2、F3的共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去外力F1，则物体的运动情况是(　　)
A．必沿着F1的方向做匀加速直线运动
B．必沿着F1的方向做匀减速直线运动
C．不可能做匀速直线运动
D．可能做直线运动，也可能做曲线运动
解析：选CD　撤去外力F1后物体所受合力大小及方向恒定，故撤去外力F1后物体不可能做匀速直线运动，C正确。若合力与物体的运动方向在一条直线上，则物体做匀变速直线运动，若合力与物体的运动方向不在一条直线上，则物体做匀变速曲线运动，故A、B错误，D正确。
12.如图是抛出的铅球运动轨迹的示意图(把铅球看成质点)。画出铅球沿这条曲线运动时在A、B、C、D、E各点的速度方向及铅球在各点的加速度方向(空气阻力不计)。
解析：曲线运动中物体在某位置处的速度方向沿曲线上这一点的切线方向，如图甲所示；在运动过程中，物体只受重力，方向竖直向下，所以加速度竖直向下，如图乙所示。
答案：见解析图
第2节
运动的合成与分解
1．理解合运动、分运动及运动的独立性。
2.掌握运动的合成与分解的法则——平行四边形定则。
　3.会用平行四边形定则解决速度、位移的合成与分解问题。
1．填一填
(1)实验观察蜡块的运动
蜡块在竖直玻璃管内向上匀速运动的同时，将玻璃管沿水平方向向右做匀速运动，观察到蜡块向右上方运动。
(2)蜡块的位置：蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx。从蜡块开始运动的时刻计时，于是，在时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两
个坐标表示x＝vxt，y＝vyt。
(3)蜡块运动的轨迹
由以上两式消去t，得y＝x，由于vx和vy均是常量，所以蜡块运动的轨迹是一条过原点的直线。y＝x为轨迹方程。
(4)蜡块的速度
由勾股定理可得：v＝，v与x轴正方向间夹角的正切为tan
θ＝。
2．判一判
(1)蜡块运动的水平速度、竖直速度与实际速度三者满足平行四边形定则。(√)
(2)蜡块运动的水平位移、竖直位移与实际位移三者满足代数运算法则。(×)
(3)蜡块运动的水平位移、竖直位移与实际位移三者满足平行四边形定则。(√)
3．想一想
微风吹来，鹅毛大雪正在缓缓降落，为寒冷的冬天增加了一道美丽的风景线。试问雪花在降落时同时参与了哪两个方向上的运动？
提示：雪花同时参与了竖直向下和水平方向上的运动。
1．填一填
(1)合运动与分运动：一个物体同时参与几个运动，那么物体实际发生的运动叫作合运动，参与的那几个运动叫作分运动。
(2)运动的合成与分解
①运动的合成：由已知的分运动求合运动的过程。
②运动的分解：由已知的合运动求分运动的过程。
③运算法则：运动的合成与分解遵从矢量运算法则。
2．判一判
(1)合运动的时间一定比分运动的时间长。(×)
(2)合运动和分运动具有等时性，即同时开始，同时结束。(√)
(3)分运动的速度、位移、加速度与合运动的速度、位移、加速度间满足平行四边形定则。(√)
3．选一选
如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度(　　)
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变
D．大小和方向均改变
解析：选A　橡皮参与了两个分运动，一个是沿水平方向与铅笔速度相同的匀速直线运动，另一个是沿竖直方向与铅笔移动速度大小相等的匀速直线运动，这两个直线运动的合运动是斜向上的匀速直线运动，故选项A正确。
　　　
两个互成角度的直线运动的合运动
[学透用活]
1．合运动性质的判断
2．两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断
根据合加速度方向和合初速度方向的关系，判定合运动是直线运动还是曲线运动，具体分为以下几种情况：
(1)两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。
(2)两个初速度均为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动。
(3)一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动，当二者速度方向共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。
(4)两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动。若两运动的合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上，则合运动是匀变速直线运动；若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上，则合运动是匀变速曲线运动，如图所示。
　质量m＝2
kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度vx和yy随时间变化的图线如图甲、乙所示，求：
(1)物体的初速度；
(2)物体所受的合力；
(3)t＝8
s时物体的速度；
(4)t＝4
s内物体的位移大小；
(5)物体运动轨迹的方程。
[解析]　(1)由题图可知vx0＝3
m/s，vy0＝0，
则物体的初速度为v0＝3
m/s，方向沿x轴正方向。
(2)物体在x轴方向上的加速度ax＝0，
y轴方向上加速度ay＝＝0.5
m/s2
根据牛顿第二定律知物体所受合力
F合＝may＝1
N，方向沿y轴正方向。
(3)t＝8
s时，vx＝3
m/s，yy＝4
m/s，
物体的合速度为v＝＝5
m/s，
tan
θ＝，θ＝53°
即速度方向与x轴正方向的夹角为53°。
(4)t＝4
s内，沿x轴位移x＝vxt＝12
m
沿y轴位移y＝ayt2＝4
m
物体的位移大小l＝≈12.6
m。
(5)由x＝vxt，y＝ayt2消去t代入数据得y＝。
[答案]　(1)3
m/s，沿x轴正方向
(2)1
N，沿y轴正方向
(3)5
m/s，与x轴正方向的夹角为53°
(4)12.6
m　(5)y＝
合运动与分运动关系的四个性质
　　　
[对点练清]
1．关于两个分运动的合运动，下列说法中正确的是(　　)
A．合运动的速度一定大于两个分运动的速度
B．合运动的速度一定大于一个分运动的速度
C．合运动的方向就是物体实际运动的方向
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
解析：选C　合速度的大小可以大于分速度的大小，也可以小于分速度的大小，还可以等于分速度的大小，故A、B均错；仅知道两个分速度的大小，无法画出平行四边形，也就不能求出合速度的大小，故D错，只有C正确。
2．[多选]如图所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，若使三角板沿刻度尺向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动。下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断，其中正确的是(　　)
A．笔尖留下的痕迹是一条倾斜的直线
B．笔尖留下的痕迹是一条抛物线
C．在运动过程中，笔尖的速度方向始终保持不变
D．在运动过程中，笔尖的加速度方向始终保持不变
解析：选BD　笔尖实际参与的是水平向右的匀速直线运动和向上的初速度为零的匀加速直线运动的合运动，合运动的运动轨迹为抛物线，A错误，B正确；笔尖做曲线运动，在运动过程中，笔尖的速度方向不断变化，C错误；笔尖的加速度方向始终向上，D正确。
3．两个互成角度的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，关于它们的合运动的轨迹，下列说法正确的是(　　)
A．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是直线
B．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线
D．如果＝，那么轨迹一定是直线
解析：选D　解题关键是明确物体做曲线运动的条件是合外力的方向(即合加速度的方向)与合速度的方向不在一条直线上。如果＝，那么合加速度的方向与合速度的方向一定在一条直线上，所以D正确。
小船渡河模型
[学透用活]
1．模型构建
(1)将船实际的运动看成船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动。
(2)如图所示，v水表示水流速度，v静水表示船在静水中的速度，将船的速度v静水沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，则v水－v静水cos
θ为船实际上沿水流方向的运动速度，v⊥＝v静水sin
θ为船在垂直于河岸方向的运动速度。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。
2．科学推理
(1)渡河时间最短问题
渡河时间仅由v静水垂直于河岸的分量v⊥决定，即t＝(d为河宽)，与v水无关。要使渡河时间最短，应使船在垂直河岸方向的速度最大，如图所示，当sin
θ＝1，即v静水垂直于河岸时，渡河所用时间最短，最短时间为t＝，与v水无关。
(2)渡河位移最小问题
当v水＜v静水时，渡河的最小位移即河的宽度d。如图所示，为了使渡河位移等于河宽d，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，使船的合速度v的方向与河岸垂直。此时，v水－v静水cos
θ＝0，即cos
θ＝，渡河时间t＝＝。
　小船要渡过200
m宽的河，水流速度为2
m/s，船在静水中的速度为4
m/s。
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多久？
(3)小船渡河的最短时间为多少？
[解析]　(1)小船渡河过程参与了两个分运动，即船随水流的运动和船在静水中的运动。因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河时间等于它在垂直河岸方向上的分运动的时间，即
t⊥＝＝
s＝50
s。
小船沿水流方向的位移s水＝v水t⊥＝2×50
m＝100
m，即船将在正对岸下游100
m处靠岸。
(2)要使小船到达正对岸，即合速度v应垂直于河岸，如图甲所示，则cos
θ＝＝＝，θ＝60°，即船头与上游河岸成60°角。渡河时间t′＝＝
s＝
s。
(3)当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，
最短时间tmin＝＝
s＝50
s。
[答案]　(1)50
s，到达正对岸下游100
m处靠岸　(2)船头与上游河岸成60°角，
s　(3)50
s
[对点练清]
1．(2019·泰安高一期中)已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2＞v1，图中用小箭头表示小船及船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景图依次是(　　)
A．①②
B．①⑤
C．④⑤
D．②③
解析：选C　小船渡河类问题，若要小船在最短时间内渡河，则船头垂直河岸，且位移偏向下游，④对；已知v2＞v1，小船速度与水流速度的合速度垂直河岸时，小船以最短位移渡河，此时船头指向上游，⑤对，故C正确。
2．一轮船以一定的速度垂直河流向对岸行驶，当河水匀速流动时，轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的关系正确的是(　　)
A．水速越大，路程越长，时间越长
B．水速越大，路程越短，时间越短
C．水速越大，路程和时间都不变
D．水速越大，路程越长，时间不变
解析：选D　轮船渡河的运动是两个分运动的合成：假设河水不流动，轮船在静止的河水中垂直对岸行驶；假设船不运行，而河水流动，则船随河水一起向下漂动。这两个分运动具有独立性，因而河水流速增大不影响船到达对岸的时间，但在相同的时间里，船沿水流方向移动的位移要增大，因而选项D正确。
3.小船横渡一条河，船头方向始终与河岸垂直，若小船相对静水的速度大小不变，运动轨迹如图所示，则河水的流速(　　)
A．由A到B水速一直增大
B．由A到B水速一直减小
C．由A到B水速先增大后减小
D．由A到B水速先减小后增大
解析：选B　由题图可知，合速度的方向与船的速度方向的夹角θ越来越小，如图所示，由图知v水＝v船tan
θ，又因为v船不变，故v水一直减小，B正确。
“关联物体”速度的分解
[学透用活]
1．建立“关联物体”模型
物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题可看成“关联物体”模型，如图所示。
由于绳不可伸长，所以绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同。
2．分解细绳末端速度
(1)分解依据：物体的实际运动就是合运动。
(2)分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小相同列方程求解。
(3)分解结果：把甲、乙两图的速度分解，如图丙、丁所示。
　　　[多选]如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时(　　)
A．人拉绳行走的速度为vcos
θ
B．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
[解析]　船的速度产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v绳＝vcos
θ，所以选项A正确。在水平方向，根据牛顿第二定律可知Fcos
θ－Ff＝ma，所以a＝，C正确。
[答案]　AC
“关联物体”速度的分解
(1)小船的实际运动为合运动，此运动产生两个效果，一是使绳子沿自身方向向上收缩，二是使与船接触的绳有沿与绳垂直方向向下摆动的趋势。
(2)关联物体速度的分析思路
　　　
[对点练清]
1.如图，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为(　　)
A．vsin
α
B.
C．vcos
α
D.
解析：选C　将人的速度v沿着绳子方向和垂直于绳子方向进行分解，如图所示。船的速度等于人沿绳方向的分速度，所以船的速度为v1＝vcos
α，C选项正确。
2.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA＝10
m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为(　　)
A．5
m/s
B.
m/s
C．20
m/s
D.
m/s
解析：选D　物体B的运动可分解为沿绳BO方向靠近定滑轮O使绳BO段缩短的运动和绕定滑轮(方向与绳BO垂直)的运动，故可把物体B的速度分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥＝vBcos
α，由于绳不可伸长，所以绳OA段伸长的速度等于绳BO段缩短的速度，所以有vB∥＝vA，故vA＝vBcos
α，所以vB＝＝
m/s，选项D正确。
3．[多选]如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则(　　)
A．vA＞vB
B．vA＜vB
C．绳的拉力等于B的重力
D．绳的拉力大于B的重力
解析：选AD　小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图所示，由图可知vB＝vAcos
θ，则vB＜vA，小车向左运动的过程中θ角减小，vB增大，B做向上的加速运动，则绳的拉力大于B的重力。故A、D正确。
　　　　　　　　　
一、竹筏还做直线运动吗？(科学探究)
[选自鲁科版教材P37“物理聊吧”]
在如图所示竹筏过小河的运动中，如果河水的流动保持匀速直线运动，但竹筏在静水中的运动为匀加速直线运动，请尝试在图中用粗略描点的方法，画出这种情况下竹筏的实际运动轨迹，看看其合运动是否为直线运动。
[提示]　若竹筏做匀加速直线运动，竹筏沿河岸方向走相同的距离，在垂直于河岸方向上走的距离比匀速时要越来越大，故此时竹筏的运动轨迹应为曲线。
二、典题好题发掘，练典题做一当十
[选自鲁科版教材P38例题]
跳伞员打开降落伞下落一段时间后的运动可近似视为匀速下落。若无风，跳伞员着地的速度约为5
m/s，方向竖直向下；若有风，且风速大小为4
m/s，方向水平向东，假设跳伞员在水平方向的速度与风速相等，落地时在竖直方向的速度与水平风速无关，则跳伞员着地的速度将是多大？速度的方向怎样？
[分析]　有风时跳伞员实际的运动是竖直下落的运动和水平方向的运动的合运动。可通过平行四边形定则求解。
[解]　跳伞员在有风时着地的速度v地，为降落伞无风时匀速下降的速度v伞和风速v风的合速度，如图所示。由勾股定理求得
v地＝＝
m/s＝6.4
m/s
设着地速度v地与竖直方向的夹角为θ，则
tan
θ＝＝＝0.8
解得θ＝38.7°
[讨论]　风变大时，跳伞员水平方向的速度将变大，那么其落地的速度将会怎样改变？
[提示]　由v地＝可知，风速越大，跳伞员落地的速度越大，由tan
θ＝可知，落地时速度的方向与竖直方向的夹角也越大。
求解运动的合成与分解问题，首先要分清合运动与分运动，然后根据矢量运算法则进行合成或分解。　　　
[迁移]　如图所示，一条小船位于宽200
m的河的正中间A点处，下游150
m处有一危险区，已知小船在静水中的最大速度为3
m/s，水流速度为4
m/s。为了使小船避开危险区安全到达河岸，船员立刻使船头正对河岸奋力划船，小船能安全到达河岸吗？
解析：船头正对河岸方向奋力划船，小船到对岸的时间t＝＝
s，在此过程中，小船沿河岸方向运动的位移x＝v水t＝
m＜150
m，
故小船能安全到达河岸。
答案：小船能安全到达河岸
A级—学考达标
1．如图所示，在冰球以速度v1在水平冰面上向右运动时，运动员沿冰面在垂直v1的方向上快速击打冰球，冰球立即获得沿击打方向的分速度v2。不计冰面摩擦和空气阻力。下列图中的虚线能正确反映冰球被击打后运动路径的是(　　)
解析：选B　冰球实际运动的速度为合速度，根据平行四边形定则可知，冰球在被击打后瞬间的合速度不可能沿击打的方向，一定沿以两分速度为邻边的平行四边形的对角线的方向，故A错误，B正确。物体所受的合力与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动，合力与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动，题中冰球被击打后在水平方向上不受力，故做直线运动，故C、D错误。
2．(2019·重庆十八中期中)关于相互垂直的一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动，下列说法正确的是(　　)
A．一定是曲线运动
B．可能是直线运动
C．运动的方向不变
D．速度一直在变，是变加速运动
解析：选A　决定物体运动性质的条件是初速度和加速度，当加速度方向与速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动，当加速度方向与速度方向在一条直线上时，物体做直线运动，若加速度恒定，则物体做匀变速运动。相互垂直的一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动，两个运动不在一条直线上，且加速度是不变的，故一定是匀变速曲线运动，所以A正确，B、C、D错误。
3．关于运动的合成，下列说法正确的是(　　)
A．合运动的时间等于分运动的时间之和
B．合运动的时间大于任意一个分运动的时间
C．合运动的时间小于任意一个分运动的时间
D．合运动和分运动是同时进行的
解析：选D　分运动就是由合运动根据实际效果分解来的，分运动的时间与合运动的时间相等，即合运动与分运动同时发生同时结束，所以D正确。
4.如图所示，某人由A点划船渡河，船头方向始终与河岸垂直，小船在静水中的速度恒定，下列说法正确的是(　　)
A．小船能到达正对岸的B点
B．小船能到达正对岸B点的左侧
C．小船到达对岸的位置与水流速度无关
D．小船到达对岸的时间与水流速度无关
解析：选D　船头方向始终与河岸垂直，由运动合成的知识可知，小船只能到达正对岸的右侧，故选项A、B错误；小船到达对岸的位置与水流速度有关，水流速度越大，位置就越靠右，选项C错误；小船到达对岸的时间与河岸的宽度和小船在静水中的速度有关，根据运动的独立性可知，与水流速度无关，选项D正确。
5.如图所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块。汽车匀速向右运动，在物块到达滑轮之前，下列说法正确的是(　　)
A．物块将竖直向上做匀速运动
B．物块将处于超重状态
C．物块将处于失重状态
D．物块将竖直向上先加速后减速
解析：选B　设汽车向右运动的速度为v，轻绳与水平方向的夹角为α，物块上升的速度为v′，则vcos
α＝v′，汽车匀速向右运动，α减小，v′增大，物块加速上升，物块的加速度向上，物块处于超重状态，B正确，A、C、D错误。
6.一只小船渡河，小船在渡河过程中船头方向始终垂直于河岸，水流速度各处相同且恒定不变。现小船相对于静水以初速度v0分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图所示，由此可以判断(　　)
A．小船沿AD轨迹运动时，小船相对于静水做匀减速直线运动
B．小船沿三条不同路径渡河的时间相同
C．小船沿AB轨迹渡河所用的时间最短
D．小船沿AC轨迹到达对岸的速度最小
解析：选A　由题意知，小船在平行于河岸方向做匀速直线运动，小船沿AD轨迹运动时，根据运动的合成知小船在垂直于河岸方向上做匀减速直线运动，所以A正确；同理可得小船沿AB、AC轨迹运动时，小船在垂直于河岸方向上分别做匀速直线运动和匀加速直线运动，初速度均为v0，所以小船沿AC轨迹到达对岸的速度最大，用时最短，故B、C、D均错误。
7．(2019·烟台一中期中)如图所示，在距河面高度h＝20
m的岸上有人用长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3
m/s拉绳，使小船靠岸，sin
53°＝0.8，cos
53°＝0.6，那么(　　)
A．5
s时绳与水面的夹角为60°
B．5
s时小船前进了15
m
C．5
s时小船的速率为4
m/s
D．5
s时小船到岸边的距离为15
m
解析：选D　设开始时小船距岸边为L，则L＝＝20
m,5
s时人拉绳端移动位移为x＝vt＝3×5
m＝15
m，设5
s时小船前进了x′，绳与水面的夹角为θ，由几何关系得sin
θ＝＝0.8，解得θ＝53°，A错误；由tan
θ＝，解得x′≈19.64
m，B错误；由v船cos
θ＝v可得5
s时小船的速率为v船＝5
m/s，C错误；5
s时小船到岸边的距离为L－x′＝＝15
m，D正确。
8．某人站在自动扶梯上，经t1时间从一楼升到二楼，如果自动扶梯不动，人沿着扶梯从一楼走到二楼的时间为t2。现使扶梯正常运动，人也保持原有的速度沿扶梯向上走，则人从一楼到二楼的时间是(　　)
A．t2－t1
B.
C.
D.
解析：选C　设自动扶梯的速度为v1，人相对静止扶梯的速度为v2，人从一楼到二楼间的位移为x，则由题意知
t1＝，t2＝。
当扶梯动，人也走时，人对地面的速度
v＝v1＋v2，
从一楼到二楼的时间t＝，
由以上各式可得t＝。
9．飞机在航行时，它的航线方向要严格地从东到西，如果飞机的速度是160
km/h，风从南面吹来，风的速度为80
km/h，那么：
(1)飞机应朝哪个方向飞行？
(2)如果所测地区长达80
km，飞机飞过所测地区所需时间是多少？
解析：(1)根据平行四边形定则可确定飞机的航向，如图所示，
有sin
θ＝＝＝，θ＝30°，即西偏南30°。
(2)飞机的合速度v＝v2cos
30°＝80
km/h
所需时间t＝＝1
h。
答案：(1)西偏南30°　(2)1
h
B级—选考提能
10．(2019·枣庄高一检测)某电视台举办了一期群众娱乐节目，其中有一个环节是让群众演员站在一个旋转较快的大平台边缘上，向大平台圆心处的球筐内投篮球。如果群众演员相对平台静止，则下面各俯视图中的篮球可能被投入球筐的是(图中箭头指向表示投篮方向)(　　)
解析：选B　如图所示，由于篮球和群众演员随大平台一起旋转，所以篮球抛出前有沿v1方向的初速度，要想篮球抛出后能沿虚线进入球筐，则沿v2方向投出，篮球可能被投入球筐，故B正确。
11．[多选]若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小。现假设河的宽度为120
m，河中心水的流速大小为4
m/s，船在静水中的速度大小为3
m/s。要使船以最短时间渡河，则(　　)
A．船渡河的最短时间是24
s
B．在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度为5
m/s
解析：选BD　当船头的指向(即船相对于静水的航行方向)始终垂直于河岸时，渡河时间最短，且tmin＝
s＝40
s，A错误，B正确；因河水的流速随距岸边距离的变化而变化，则小船的实际航速、航向都在变化，航向变化引起船的运动轨迹不在一条直线上，C错误；船在静水中的速度一定，则水流速度最大时，船速最大，由运动的合成可知船在河水中的最大速度为5
m/s,D正确。
12．一艘敌舰正以v1＝12
m/s的速度逃跑，执行追击任务的飞机在距水面高度h＝320
m的平行线上以速度v2＝105
m/s同向飞行。为击中敌舰，应“提前”投弹。若不计空气阻力，飞机投弹时沿水平方向，则投弹时飞机与敌舰之间的水平距离应为多大？若投弹后飞机仍以原速度飞行，在炸弹击中敌舰时，飞机与敌舰的位置有何关系？(取g＝10
m/s2)
解析：投下的炸弹竖直方向上做自由落体运动，水平方向上以飞机的速度v2做匀速直线运动。
炸弹在空中飞行的时间t＝
＝
s＝8
s，
炸弹沿水平方向飞行的距离x2＝v2t，
敌舰在同一方向上运动的距离x1＝v1t。
由图知，飞机投弹时水平方向上“提前”的距离应为
x＝v2t－v1t＝744
m。
此8
s内，炸弹与飞机沿水平方向的运动情况相同，都以速度v2做匀速直线运动，水平方向上运动的距离都是x2＝v2t＝840
m。所以，炸弹击中敌舰时，飞机恰好在敌舰的正上方。
答案：744
m　飞机恰好在敌舰的正上方
第3节　实验：探究平抛运动的特点
?实验目的
1．用实验方法描出平抛运动的轨迹。
2．探究平抛运动竖直方向和水平方向分运动的特点。
?实验原理
用频闪照相的方法或研究平抛运动的实验装置得出小球做平抛运动的不同时刻的位置，用平滑曲线连接各位置，得到小球做平抛运动的轨迹。以小球平抛的起点为坐标原点，沿水平方向和竖直向下的方向建立直角坐标系，根据各点坐标数据研究小球在水平方向和竖直方向的运动规律。
?实验器材
1．频闪照相机、铅笔、刻度尺、三角板。
2．平抛实验装置、小钢球、白纸、复写纸、铅笔、刻度尺、三角板。
?实验步骤
(一)用频闪照相的方法获得小球平抛运动轨迹
1．安装斜槽轨道，使其末端保持水平。
2．将小球从斜槽上适当位置由静止释放，用频闪照相机记录下小球在不同时刻的位置，用平滑的曲线将小球各位置图像的中心连接起来就得到小球平抛运动的轨迹。
(二)探究平抛运动竖直分运动的特点
1.如图所示的实验装置，用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做平抛运动，同时B球被松开，自由下落，做自由落体运动，比较两球落地时间的先后。
2．改变小球距地面的高度和小锤击打的力度从而改变小球下落时间和A球平抛的初速度，比较两球落地时间的先后。
3．结论：两球总是同时落地，说明平抛运动在竖直方向的分运动是自由落体运动。
(三)探究平抛运动水平分运动的特点
1．调整安装有斜槽的实验装置，使平板竖直，斜槽M的末端水平。
2．在白纸上记录下钢球平抛的起点O，作为坐标原点，记录下重锤线的方向。
3．让钢球在斜槽某高度由静止滚下，钢球平抛后，落在倾斜挡板N上后，挤压复写纸，在白纸上留下印迹。
4．上下调节挡板N，通过多次实验，在白纸上记录钢球经过的多个位置。
5．取下白纸，用平滑的曲线把各印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹。
?数据处理
(一)用频闪照相机记录的平抛运动轨迹
1.以左边第一个小球的中心为原点，沿水平向右和竖直向下的方向建立直角坐标系。
2．经过各小球的位置作x、y轴的垂线，测量相邻两照片上小球的水平位移大小可知，小球在水平方向上，相等时间内位移相等，可知小球做平抛运动时，在水平方向上的运动为匀速直线运动。
3．测量竖直方向上小球相等时间内的位移大小，可知小球在竖直方向上做初速度为0的匀加速直线运动，由y＝at2可求竖直方向运动的加速度a≈g，即小球在竖直方向上做自由落体运动。
(二)用平抛运动的实验装置得到平抛运动轨迹
1．过记录的平抛起点作平行于重锤线方向的直线作为y轴，过平抛起点作y轴的垂线作为x轴，建立坐标系。
2.因沿y轴方向小球做自由落体运动。在平抛运动轨迹的竖直坐标轴y轴上，从原点O开始向下取一个坐标值为h的点，再找到坐标值为4h、9h、…的点，则在y轴上，相邻两点的时间间隔是相等的。
3．过这些点作水平线与轨迹分别交于A、B、C、…点，则这些点就是每经过相等时间物体所到达的位置。
4．测量O点到A、B、C、…各点的水平距离，如果在误差允许的范围内，OA′＝L，OB′＝2L，OC′＝3L，…，则说明小球沿水平方向上做匀速直线运动。
?误差分析
1．斜槽末端没有调整至水平，小球离开斜槽后不做平抛运动。
2．小球平抛的起点记录有误。
3．小球运动轨迹连接不准确。
4．间隔测量不准确。
?注意事项
1．斜槽调整：实验中必须调整斜槽末端的切线水平，将小球放在斜槽末端水平部分，若没有明显的运动倾向，斜槽末端的切线就水平了。
2．平板固定：平板必须处于竖直平面内，固定时要用重锤线检查平板是否竖直。
3．小球释放
(1)小球每次必须从斜槽上同一位置滚下。
(2)小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球平抛运动的轨迹由白纸的左上角一直到达右下角为宜。
4．坐标原点：坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时球心在木板上的投影点。
实验原理与操作
　(1)[多选]在做“探究平抛运动的特点”实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，下列器材中还需要的有________。
A．游标卡尺　B．秒表　C．坐标纸　D．天平　E．弹簧测力计　F．重锤线
(2)[多选]实验中，下列说法正确的是________。
A．应使小球每次从斜槽上相同的位置自由滚下
B．斜槽轨道必须光滑
C．要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些
D．斜槽轨道末端可以不水平
(3)[多选]引起实验结果偏差较大的原因可能是_________________________________。
A．安装斜槽时，斜槽末端切线方向不水平
B．确定Oy轴时，没有用重锤线
C．斜槽不是绝对光滑的，有一定摩擦
D．空气阻力对小球运动有较大影响
[解析]　(1)实验中需要在坐标纸上记录小球的位置，描绘小球的运动轨迹；需要利用重锤线确定坐标轴的y轴。故C、F是需要的。
(2)使小球从斜槽上同一位置滚下，才能保证每次的轨迹相同，A正确。斜槽没必要必须光滑，只要能使小球飞出的初速度相同即可，B错误。实验中记录的点越多，轨迹越精确，C正确。斜槽末端必须水平，才能保证小球离开斜槽后做平抛运动，D错误。
(3)小球从斜槽末端飞出时，斜槽切线不水平、y轴方向不沿竖直方向、空气阻力对小球运动有较大影响，都会影响小球的运动轨迹或计数点的坐标值，从而引起较大的实验误差，而斜槽不绝对光滑只会影响小球平抛的初速度大小，不会影响实验结果偏差大小，故A、B、D正确。
[答案]　(1)CF　(2)AC　(3)ABD
[对点训练]
1．两个同学根据不同的实验条件，进行了“探究平抛运动的特点”的实验：
(1)小明同学采用如图甲所示的装置。用小锤击打弹性金属片，使A球沿水平方向弹出，同时B球被松开，自由下落，观察到两球同时落地，改变小锤击打的力度，即改变A球被弹出时的速度，两球仍然同时落地，这说明____________________________________
________________________________________________________________________。
(2)小松同学采用如图乙所示的装置。两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q，其中轨道N的末端与光滑的水平板相切，两轨道上端分别装有电磁铁C、D；调节电磁铁C、D的高度使AC＝BD，从而保证小铁球P、Q在轨道末端射出的水平初速度v0相等。现将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两小球同时以相同的初速度v0分别从轨道M、N的末端射出。实验可观察到的现象是_____________________。
仅仅改变弧形轨道M的高度，重复上述实验，仍能观察到相同的现象，这说明________________________________________________________________________。
解析：(1)通过对照实验，保证两球同时运动，由此说明做平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动。(2)由平抛运动的规律知两球在水平轨道上相遇，水平方向运动情况相同，说明做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动。
答案：(1)做平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动　(2)P球击中Q球　做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动
数据处理和误差分析
　如图所示，探究平抛运动的特点的实验装置放置在水平桌面上，利用光电门传感器和碰撞传感器可测得小球的水平初速度和飞行时间，底板上的标尺可以测得水平位移。保持水平槽口距底板高度h＝0.420
m不变。改变小球在斜槽导轨上下滑的起始位置，测出小球做平抛运动的初速度v0、飞行时间t和水平位移d，记录在表中。
(1)由表中数据可知，在h一定时，小球水平位移d与其初速度v0成________关系，与________无关。
v0/(m·s－1)
0.741
1.034
1.318
1.584
t/ms
292.7
293.0
292.8
292.9
d/cm
21.7
30.3
38.6
46.4
(2)一位同学计算出小球飞行时间的理论值t理＝
＝
s＝289.8
ms，发现理论值与测量值之差约为3
ms。经检查，实验及测量无误，其原因是________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________。
(3)另一位同学分析并纠正了上述偏差后，另做了这个实验，竟发现测量值t′依然大于自己得到的理论值t理′，但二者之差在3～7
ms之间，且初速度越大差值越小。对实验装置的安装进行检查，确认斜槽槽口与底座均水平，则导致偏差的原因是________________________________________________________________________。
[解析]　(1)由题表中数据可知，h一定时，小球的水平位移d与初速度v0成正比关系，与时间t无关。
(2)该同学计算时重力加速度取的是10
m/s2，一般情况下应取9.8
m/s2，从而导致约3
ms的偏差。
(3)小球直径过大、小球飞过光电门需要时间或光电门传感器置于槽口的内侧，使测量值大于理论值。
[答案]　(1)正比　飞行时间t
(2)计算时重力加速度取值(10
m/s2)大于实际值
(3)见解析
[对点训练]
2.该同学采用频闪照相机拍摄到如图所示的小球做平抛运动的照片，图中背景方格的边长为L＝5
cm，A、B、C是摄下的三个小球位置，如果取g＝10
m/s2，那么：
(1)照相机拍摄时每________s曝光一次；
(2)小球做平抛运动的初速度的大小为________m/s。
解析：(1)由Δy＝gT2，Δy＝2L＝0.1
m
可得T＝0.1
s。
(2)由Δx＝v0T，Δx＝3L＝0.15
m
可得v0＝1.5
m/s。
答案：(1)0.1　(2)1.5
A级—学考达标
1．[多选]在做“探究平抛运动的特点”实验时，下列说法正确的是(　　)
A．安装有斜槽的木板时，一定要注意检查斜槽末端切线是否水平、木板是否竖直
B．斜槽必须光滑
C．每次实验都要把小球从同一位置由静止释放
D．实验的目的是描出小球的运动轨迹，分析平抛运动的特点
解析：选ACD　做本实验必须使斜槽末端切线水平，使钉有坐标纸的木板竖直，以确保小球水平飞出和正确画出坐标轴。斜槽没必要必须光滑，只要能使小球飞出的初速度相同即可。小球每次从斜槽上的同一位置由静止开始滚下，可保证小球每次飞出的初速度相同。综上可知A、C、D正确，B错误。
2．如图所示，在探究平抛运动的特点时，小球A沿轨道滑下，离开轨道末端(末端水平)时撞开轻质接触式开关S，被电磁铁吸住的小球B同时自由下落(两球不相撞)。改变整个装置的高度H做同样的实验，发现位于同一高度的A、B两球总是同时落地，该实验现象说明了A球在离开轨道后(　　)
A．水平方向的分运动是匀速直线运动
B．水平方向的分运动是匀加速直线运动
C．竖直方向的分运动是自由落体运动
D．竖直方向的分运动是匀速直线运动
解析：选C　这是一个对比实验，A球做平抛运动，B球做自由落体运动，其实是将A球竖直方向的分运动与B球的自由落体运动进行对比，实验时，改变整个装置的高度H做同样的实验，发现位于同一高度的A、B两球总是同时落地，由此可知A球竖直方向的分运动是自由落体运动。
3．[多选]为了验证做平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落。关于该实验，下列说法中正确的有(　　)
A．两球的质量应相等
B．两球同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
解析：选BC　开始运动后，A、B两球均只受重力作用，竖直方向的运动相同，不受质量影响，故A错误。A球在竖直方向上的分运动和B球的运动相同，均为自由落体运动，故它们同时落地，故B正确。实验中，必须改变某些条件，重复实验多次，才能说明所得规律的普遍性，故C项所述做法是必需的，故C正确。该实验无法说明A球在水平方向上的分运动情况，故D错误。
4．如图甲所示，用小锤轻击弹性金属片，A球沿水平方向飞出，同时B球被松开，竖直向下运动。
用频闪照相的方法研究A、B两球的运动。如图乙所示是它们运动过程的频闪照片。仅从照片上看，相邻竖直线之间的距离相等，相邻水平线之间的距离不相等，据此，可以认为(　　)
A．A小球在水平方向做匀速运动
B．A小球在水平方向做匀加速运动
C．A小球在竖直方向做匀速运动
D．A小球在竖直方向做匀加速运动
解析：选A　相邻竖直线之间的距离相等，说明平抛运动在水平方向上的分运动为匀速直线运动，A正确，B错误；竖直方向上位移越来越大，只能说明在竖直方向上A小球做加速运动，C、D错误。
5．在“探究平抛运动的特点”的实验中：
(1)为使小球水平抛出，必须调整斜槽，使其末端的切线成水平方向，检查方法是________________________________________________________________________。
(2)小球抛出点的位置必须及时记录在白纸上，然后从这一点画水平线和竖直线作为x轴和y轴，竖直线是用________来确定的。
(3)某同学建立的直角坐标系如图所示，若他在安装实验装置和进行实验操作时只有一处失误，即是___________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
解析：(1)斜槽末端水平时小球在斜槽末端受力平衡，即放在槽口能静止不动。
(2)用铅垂线来确定竖直线最准确。
(3)坐标原点应在平抛起点小球的球心位置，即坐标原点应该是小球在槽口时球心在白纸上的水平投影点。
答案：(1)将小球放置在槽口处轨道上，看小球能否保持静止　(2)铅垂线　(3)坐标原点应该是小球在槽口时球心在白纸上的水平投影点
B级—选考提能
6.在“探究平抛运动的特点”实验中，
(1)图1是用横挡条卡住平抛小球，用铅笔标注小球最高点，确定平抛运动轨迹的方法，坐标原点应选小球在斜槽末端点时的________。
A．球心
B．球的上端
C．球的下端
[多选]在此实验中，下列说法正确的是________。
A．斜槽轨道必须光滑
B．记录的点应适当多一些
C．用光滑曲线把所有的点连接起来
D．y轴的方向根据重锤线确定
(2)图2是利用图1装置拍摄小球做平抛运动的频闪照片，由照片可判断实验操作错误的是________。
A．释放小球时初速度不为0
B．释放小球的初始位置不同
C．斜槽末端切线不水平
解析：(1)由题干中确定小球平抛运动轨迹的方法及实验原理知，坐标原点应选小球的上端，所以选B。实验过程中，斜槽轨道不一定光滑，只要能够保证小球从同一位置由静止释放，离开斜槽末端的初速度一样就可以，所以A错误；记录点应适当多一些，能够保证描点所得的轨迹更平滑，选项B正确；描点时与平滑曲线偏差过大的点需舍去，选项C错误；y轴必须是竖直方向，即用重锤线确定，即选项D正确。
(2)由题图可知斜槽末端切线不水平，才会造成斜抛运动，选项C符合题意。
答案：(1)B　BD　(2)C
7.为了探究做平抛运动的物体在竖直方向的运动规律，某同学设计了如下实验。如图所示，OD为一竖直木板，小球从斜槽上挡板处由静止开始运动，离开O点后做平抛运动，右侧用一束平行光照射小球，小球在运动过
程中，在木板上留下影子。图中A、B、C、D是用频闪照相机拍摄的小球在运动过程中在木板上留下的影子的位置。现测得各点到O点的距离分别为5.0
cm、19.8
cm、44.0
cm、78.6
cm。试根据影子的运动讨论小球在竖直方向上的运动情况。(已知照相机的闪光频率为10
Hz)
解析：小球运动过程中在木板上留下的影子反映了小球在竖直方向的运动情况。照相机的闪光周期T＝0.1
s，影子在每一个闪光时间内的位移分别为x1＝5.0
cm、x2＝14.8
cm、x3＝24.2
cm、x4＝34.6
cm。根据逐差法可求得影子运动的加速度。
x3－x1＝2a1T2
x4－x2＝2a2T2
所以a＝＝＝9.75
m/s2
在误差允许的范围内小球的加速度等于重力加速度，可见，小球在竖直方向的运动为自由落体运动。
答案：小球在竖直方向的运动为自由落体运动
8．如图甲所示是研究平抛运动的实验装置简图，图乙是实验后白纸上的轨迹图。
(1)说明图乙中的两条坐标轴是如何作出的。
(2)说明判断槽口的切线是否水平的方法。
(3)实验过程中需要经多次释放小球才能描绘出小球运动的轨迹，进行这一步骤时应注意什么？
解析：(1)利用拴在槽口处的铅垂线画出y轴，x轴与y轴垂直。
(2)将小球放在槽口的水平部分，小球既不向里滚动，也不向外滚动，说明槽口的末端是水平的。
(3)应注意每次小球都从轨道上同一位置由静止释放。
答案：见解析
第4节
抛体运动的规律
1．知道平抛运动的受力特点，会应用运动的合成与分解分析平抛运动。
　2.理解平抛运动规律，会确定运动的速度和位移，知道平抛运动的轨迹是一条抛物线。
　
3.能利用运动的合成与分解的方法分析一般的抛体运动。
1．填一填
(1)水平速度：做平抛运动的物体，由于只受到竖直向下的重力作用，在x方向的分力为，加速度为，故物体在x方向的速度将保持v0不变，即vx＝。
(2)竖直速度：物体在y方向上受重力mg作用，由mg＝ma可知，物体在竖直方向的加速度等于自由落体加速度，vy＝gt。
(3)合速度：由图可知，物体在时刻t的速度v＝＝，
tan
θ＝＝。
(4)结论：物体在下落过程中速度v越来越，速度方向与水平方向间夹角θ越来越。
2．判一判
(1)平抛运动是曲线运动，但不是匀变速运动。(×)
(2)平抛运动物体下落过程中速度方向越来越接近竖直方向。(√)
(3)平抛运动物体的速度、加速度都随时间增大。(×)
3．想一想
如果下落时间足够长，平抛运动的物体的速度方向最终将变为竖直方向吗？
提示：不会变为竖直方向，无论下落时间多长，水平速度不变，根据速度的合成，合速度不会沿竖直方向。
1．填一填
(1)水平位移：平抛运动沿x方向的分运动是匀速直线运动，所以物体的水平位移x＝v0t。
(2)竖直位移：物体在y方向的分运动是从静止开始、加速度为g的匀加速直线运动，由自由落体运动的知识可知，平抛运动物体在竖直方向的位移y＝gt2。
(3)运动轨迹：将t＝代入y＝gt2中可得y＝x2，由数学知识可知，平抛运动的轨迹是一条抛物线。
2．判一判
(1)平抛运动的初速度越大，落地时间越短。(×)
(2)平抛运动的初速度越大，平抛运动的水平位移越大。(×)
(3)物体平抛运动落地时间由抛出点高度决定，与物体平抛运动的初速度大小无关。(√)
3．选一选
物体做平抛运动时，描述物体在竖直方向上的分速度vy随时间变化规律的图线是下图中的(取竖直向下为正方向)(　　)
解析：选D　平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，竖直分速度vy＝gt，竖直方向上的分速度vy随时间变化的图线应是过原点的一条倾斜直线，选项D正确。
1．填一填
(1)斜抛运动：物体被抛出时的速度不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方。
(2)受力情况：水平方向不受力，加速度为，竖直方向只受重力，加速度为。
(3)运动分解：水平方向做匀速直线运动，速度v0x＝v0cos_θ；竖直方向做匀变速直线运动，初速度v0y＝v0sin_θ。(θ为v0与水平方向间夹角)
2．判一判
(1)斜抛运动和平抛运动在水平方向上都做匀速直线运动。(√)
(2)斜抛运动和平抛运动在竖直方向上都做自由落体运动。(×)
(3)做斜抛运动的物体，抛出后速度先减小后增大。(×)
3．想一想
铅球运动员在推铅球时都是将铅球斜向上用力推出，你知道这其中的道理吗？
提示：将铅球斜向上推出，可以延长铅球在空中的运动时间，以使铅球运动得更远。
平抛运动的理解
[学透用活]
1．物体做平抛运动的条件：物体的初速度v0沿水平方向，只受重力作用，两个条件缺一不可。
2．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
3．平抛运动的三个特点：
(1)理想化特点：平抛运动是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力。
(2)匀变速特点：平抛运动的加速度恒定，即始终等于重力加速度。
(3)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
　(2019·临沂高一检测)关于平抛物体的运动，下列说法正确的是(　　)
A．初速度越大，物体在空中运动的时间越长
B．物体落地时的水平位移与初速度无关
C．物体只受到重力作用，是a＝g的变速运动
D．物体落地时的水平位移与抛出点的高度无关
[解析]　平抛运动的时间由高度决定，根据t＝知，高度越大，飞行的时间越长，与初速度无关，故A错误；由水平位移x＝v0t＝v0可知，水平位移与初速度和抛出点的高度都有关，故B、D错误；做平抛运动的物体只受重力作用，加速度等于g不变，故C正确。
[答案]　C
[对点练清]
1．[多选]在空气阻力可忽略的情况下，下列物体的运动可视为平抛运动的是(　　)
A．沿水平方向扣出的排球
B．沿斜向上方投出的篮球
C．沿水平方向抛出的小石子
D．沿竖直方向向上抛出的橡皮
解析：选AC　沿水平方向扣出的排球，相对地面有水平初速度，且只受重力，是平抛运动，故A项正确；沿斜向上方投出的篮球的初速度不是沿水平方向，所以不是平抛运动，故B项错误；沿水平方向抛出的小石子相对地面有水平初速度，且只受重力，是平抛运动，故C项正确；沿竖直方向向上抛出的橡皮的初速度沿竖直方向，不是平抛运动，故D项错误。
2．某人在平台上平抛一个小球，球离开手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力。下列图中能表示出速度矢量的演变过程的是(　　)
解析：选C　小球被抛出后做平抛运动，任何时刻小球在水平方向上的速度大小都是不变的，即任何时刻的速度的水平分量都是一样的；小球在竖直方向上做自由落体运动，竖直方向上的速度在均匀增加，分析知C图正确。
3．[多选](2019·德州高一检测)下列关于平抛运动的说法中正确的是(　　)
A．平抛运动是非匀变速运动
B．平抛运动是匀变速曲线运动
C．平抛运动的物体落地时的速度有可能是竖直向下的
D．平抛运动的水平距离，由抛出点高度和初速度共同决定
解析：选BD　平抛运动是仅受重力的匀变速曲线运动，故A错误、B正确；落地时的速度由水平方向与竖直方向的速度合成，一定不是竖直向下方向，故C错误；水平方向做匀速直线运动，x＝v0　，故D正确。
平抛运动规律及应用
[学透用活]
1．平抛运动的研究方法：研究平抛运动通常采用“化曲为直”的方法，即将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动。
2．平抛运动的规律
速度
位移
水平分运动
水平速度vx＝v0
水平位移x＝v0t
竖直分运动
竖直速度vy＝gt
竖直位移y＝gt2
合运动
大小：v＝方向：与水平方向夹角为θ，tan
θ＝＝
大小：s＝方向：与水平方向夹角为α，tan
α＝＝
图示
3．平抛运动时间的求解方法
(1)利用水平位移或竖直位移求解时间：根据水平方向x＝v0t或竖直方向y＝gt2可求解时间。
(2)利用竖直分速度可求解时间：先求出竖直分速度，再根据vy＝gt可求解时间。
(3)利用匀变速直线运动的推论Δy＝gT2可求解时间。
　平抛一小球，当抛出1
s后它的速度方向与水平方向的夹角为α＝45°，落地时速度方向与水平方向成β＝60°角，取g＝10
m/s2，求：
(1)初速度大小；
(2)落地速度大小；
(3)抛出点离地面的高度。
[解析]　将平抛运动分解为水平和竖直两个方向的分运动，由题意作出运动轨迹，如图所示。
(1)初速度用v0表示，因tan
α＝＝1，又vy1＝gt，代入数据得v0＝10
m/s。
(2)由图可知cos
β＝，则
v＝＝
m/s＝20
m/s。
(3)由vy22＋v02＝v2得
vy2＝＝
m/s＝10
m/s
在竖直方向上有vy22＝2gy，代入数据得y＝15
m。
[答案]　(1)10
m/s　(2)20
m/s　(3)15
m
研究平抛运动的一般思路
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等。
这种处理问题的方法可以变曲线运动为直线运动，变复杂运动为简单运动，使问题的解决过程得到简化。　　　
[对点练清]
1.飞镖比赛是一项极具观赏性的体育比赛项目。IDF(国际飞镖联合会)飞镖世界杯赛上，某一选手在距地面高h、离靶面的水平距离L处，将质量为m的飞镖以速度v0水平投出，结果飞镖落在靶心正上方。若只改变h、L、m、v0四个量中的一个，可使飞镖投中靶心的是(不计空气阻力)(　　)
A．适当减小v0
B．适当提高h
C．适当减小m
D．适当减小L
解析：选A　欲击中靶心，应该使h减小或飞镖飞行的水平位移增大。飞镖飞行中竖直方向y＝gt2，水平方向L＝v0t，得y＝，使L增大或v0减小都能增大y，故A正确，B、D错误。平抛运动与质量无关，C错误。
2．(2019·盘锦高一检测)如图所示，A、B两个平台水平距离为7.5
m。某同学先将一个小球从A平台边缘以v0＝5
m/s的速度水平抛出，结果小球落在了B平台左侧下方6.25
m处。重力加速度g取10
m/s2，忽略空气阻力，要使小球从A平台边缘水平抛出能落到B平台上，则从A平台边缘水平抛出小球的速度至少为(　　)
A．6
m/s
B．7.5
m/s
C．9
m/s
D．11.25
m/s
解析：选B　由平抛运动的规律可知：x＝v01t1；y＋6.25
m＝gt12；当小球恰能落到平台B上时：x＝v02t2；y＝gt22；联立解得：v02＝7.5
m/s，故B正确。
3．如图甲所示，饲养员对着长l＝1.0
m的水平细长管的一端吹气，将位于吹气端口的质量m＝0.02
kg的注射器射到动物身上。注射器飞离长管末端的速度大小v＝20
m/s。可视为质点的注射器在长管内做匀变速直线运动，离开长管后做平抛运动，如图乙所示。
(1)求注射器在长管内运动时的加速度大小；
(2)求注射器在长管内运动时受到的合力大小；
(3)若动物与长管末端的水平距离x＝4.0
m，求注射器下降的高度h。
解析：(1)由匀变速直线运动规律v2－0＝2al
得a＝＝2.0×102
m/s2。
(2)由牛顿第二定律F＝ma
得F＝4
N。
(3)由平抛运动规律x＝vt，得t＝＝0.2
s
由y＝gt2，得y＝0.2
m。
答案：(1)2.0×102
m/s2　(2)4
N　(3)0.2
m
斜抛运动
[学透用活]
斜上抛运动和斜下抛运动的比较
比较
斜上抛运动
斜下抛运动
运动分解
水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动
水平方向的匀速直线运动和竖直向下的匀加速直线运动的合运动
示意图像
速度公式
水平方向：vx＝v0cos
θ竖直方向：vy＝v0sin
θ－gt
水平方向：vx＝v0cos
θ竖直方向：vy＝v0sin
θ＋gt
位移公式(位置坐标)
x＝v0cos
θ·t
y＝v0sin
θ·t－gt2
x＝v0cos
θ·ty＝v0sin
θ·t＋gt2
　从某高度处以6
m/s的初速度沿与水平方向成30°角的方向斜向上方抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平方向的夹角为60°，求石子在空中运动的时间和抛出点离地面的高度(g取10
m/s2)。
[解析]　如图所示，石子落地时的速度方向和水平方向的夹角为60°，则＝，
即vy＝vx＝v0cos
30°＝9
m/s。
取竖直向上为正方向，则有－vy＝v0sin
30°－gt，
得t＝1.2
s。
在竖直方向有y＝v0sin
30°·t－gt2＝6××1.2
m－×10×1.22
m＝－3.6
m，故抛出点离地面的高度为3.6
m。
[答案]　1.2
s　3.6
m
解决斜抛运动问题的基本方法与解平抛运动问题相同，仍是将位移或速度分解到水平方向和竖直方向，利用直线运动规律求解。本题中利用几何关系求出竖直方向上的初、末速度，利用公式v＝v0＋at可解得时间t，再利用位移公式s＝v0t＋at2可求得抛出点离地面的高度。　　　
[对点练清]
1．[多选]如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。不计空气阻力，则(　　)
A．B球的加速度比A球的大
B．B球的飞行时间比A球的长
C．B球在最高点的速度比A球在最高点的大
D．B球落地时的速度比A球落地时的大
解析：选CD　抛体运动的加速度都为g，故A错误；两球运动的最大高度相同，则两小球在竖直方向的运动时间相同，故B错误；小球B的水平位移大，由v＝知小球B的水平速度大，则B球在最高点的速度比A球在最高点的大，故C正确；落地时，两小球竖直方向速度相同，而小球B的水平速度大，由平行四边形定则知B球落地时的速度比A球落地时的大，故D正确。
2．假设某海峡只有6
m宽，一位运动员以相对于水平面为37°的角度进行“越海之跳”，可使这位运动员越过这个海峡的最小初速度是多少？(忽略空气阻力，取sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，取g＝10
m/s2)
解析：设最小初速度为v，
则在水平方向上，x＝vcos
37°·t，
在竖直方向上vsin
37°＝g，
其中x＝6
m，代入数据解得v＝7.9
m/s。
答案：7.9
m/s
一、平抛物体落地时间和水平距离的决定因素(科学探究)
[选自鲁科版教材P42“物理聊吧”]
如图为一探究小组成员探究平抛运动的情景。他在同一位置以不同的初速度先后水平抛出三个小球。
(1)三个小球落地时间相同吗？小球落地时间由什么因素决定？
(2)在下落高度相同的情况下，水平抛出的小球平抛的水平位移由什么因素决定？
[提示]　(1)三个小球落地时间相同，由y＝gt2得t＝，可知小球落地时间完全由平抛位置高度y决定。
(2)在下落高度相同的情况下，由x＝v0t可知，平抛的水平位移完全由平抛的初速度v0决定，v0越大，水平位移越大。
二、典题好题发掘，练典题做一当十
[选自鲁科版教材P44第6题]
如图所示，两支步枪先后在同一位置沿水平方向各射出一颗子弹，打在100
m远处的靶子上，两弹孔在竖直方向相距5
cm，其中A为甲枪的子弹孔，B为乙枪的子弹孔。
(1)哪支枪射出的子弹速度较大？为什么？
(2)若甲枪子弹射出时的速度为500
m/s，取重力加速度g＝10
m/s2，不计空气阻力，求乙枪子弹射出时的速度。
解析：(1)甲枪射出的子弹速度较大，因为甲的弹孔A的位置较高，说明甲枪中射出的子弹在竖直方向下落的高度较小，由h＝gt2可知，甲枪中子弹运动时间较短，而水平距离相同，说明甲枪射出的子弹速度较大。
(2)对甲枪射出的子弹，由x＝vAtA、yA＝gtA2，
可得yA＝0.2
m，对乙枪射出的子弹，
由x＝vBtB，yA＋h＝gtB2，可得vB＝200
m/s。
答案：(1)见解析　(2)200
m/s
A级—学考达标
1．发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是(　　)
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
解析：选C　发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据平抛运动规律，竖直方向上，h＝gt2，可知两球下落相同距离h所用的时间是相同的，选项A错误。由vy2＝2gh可知，两球下落相同距离h时在竖直方向上的速度vy相同，选项B错误。由平抛运动规律，水平方向上，x＝vt，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t较少，选项C正确。由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，选项D错误。
2．物体在做平抛运动的过程中，下列哪些量是不变的(　　)
①物体运动的加速度　②物体沿水平方向运动的分速度
③物体沿竖直方向运动的分速度　④物体运动的位移方向
A．①②　　　　　　　　　　
B．③④
C．①③
D．②④
解析：选A　做平抛运动的物体，只受重力作用，所以运动过程中的加速度始终为g；水平方向不受力，做匀速直线运动，速度不变，所以A正确；竖直方向做自由落体运动，v＝gt，速度持续增加，位移也时刻变化，故B、C、D错误。
3．一水平固定的水管，水从管口以不变的速度源源不断地喷出。水管距地面高h＝1.8
m，水落地的位置到管口的水平距离x＝1.2
m。不计空气及摩擦阻力，水从管口喷出的初速度大小是(　　)
A．1.2
m/s
B．2.0
m/s
C．3.0
m/s
D．4.0
m/s
解析：选B　水从管口喷出，运动规律为平抛运动，根据平抛运动规律h＝gt2可知，水在空中运动的时间为0.6
s，根据x＝v0t可知水平初速度为v0＝2
m/s，因此选项B正确。
4．某卡车在公路上与路旁障碍物相撞。处理事故的警察在泥地中发现了一个小的金属物体，经判断，它是相撞瞬间车顶上一个松脱的零件被抛出而陷在泥里的。为了判断卡车是否超速，需要测量的量是(　　
)
A．车的长度，车的重量
B．车的高度，车的重量
C．车的长度，零件脱落点与陷落点的水平距离
D．车的高度，零件脱落点与陷落点的水平距离
解析：选D　碰撞瞬间，松脱零件由于惯性而做平抛运动，由平抛运动规律知，为了判断车是否超速，需测量车的高度及零件脱落点与陷落点的水平距离，D正确。
5.如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为(　　)
A．t
B.t
C.
D.
解析：选C　设两球间的水平距离为L，第一次抛出的速度分别为v1、v2，由于小球抛出后在水平方向上做匀速直线运动，则从抛出到相遇经过的时间t＝，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则从抛出到相遇经过的时间为t′＝＝，C项正确。
6.如图所示，在地面上某一高度处将A球以初速度v1水平抛出，同时在A球正下方地面处将B球以初速度v2斜向上抛出，结果两球在空中相遇。不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中(　　)
A．A、B两球的初速度大小关系为v1＞v2
B．A、B两球的加速度大小关系为aA>aB
C．A球做匀变速运动，B球做变加速运动
D．A球和B球的速度变化相同
解析：选D　如图所示，两球分别做平抛运动和斜上抛运动，只受到重力作用，都是匀变速运动，加速度均为g，B、C错误；两球经过相等时间Δt在空中相遇，则水平位移相等，v1Δt＝v2cos
θ·Δt，所以v1＜v2，A错误；由加速度定义a＝＝g得Δv＝gΔt，所以两球从抛出到相遇过程中，A球和B球的速度变化相同，D正确。
7.游乐场内两支玩具枪在同一位置先后沿水平方向各射出一颗子弹，打在远处的同一个靶上。A为甲枪子弹留下的弹孔，B为乙枪子弹留下的弹孔，两弹孔在竖直方向上相距h，如图所示，不计空气阻力。关于两枪射出的子弹初速度大小，下列判断正确的是(　　)
A．甲枪射出的子弹初速度较大
B．乙枪射出的子弹初速度较大
C．甲、乙两枪射出的子弹初速度一样大
D．无法比较甲、乙两枪射出的子弹初速度的大小
解析：选A　子弹被射出后做平抛运动，水平方向有x＝v0t，竖直方向有y＝gt2，由以上两式得y＝，由于y乙＞y甲，故v0乙＜v0甲，即甲枪射出的子弹初速度较大。
8．(2019·山西忻州一中期中考试)“套圈圈”是老少皆宜的游戏，如图所示，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁丝圈，都能套中地面上的同一目标。设大人和小孩的抛出点离地面的高度之比H1∶H2＝2∶1，则v1∶v2等于(　　)
A．2∶1
B．1∶2
C.∶1
D．1∶
解析：选D　铁丝圈做平抛运动，所以运动时间t＝，水平位移为x＝v，因为两者的水平位移相同，所以有v1＝v2
，因为H1∶H2＝2∶1，所以v1∶v2＝1∶，D正确，A、B、C错误。
9.如图所示，一架装载救援物资的飞机，在距水平地面h＝500
m的高处以v＝100
m/s的水平速度飞行。地面上
A、B两点间的距离x＝100
m，飞机在离A点的水平距离x0＝950
m时投放救援物资，不计空气阻力，g取10
m/s2。
(1)求救援物资从离开飞机到落至地面所经历的时间；
(2)通过计算说明，救援物资能否落在AB区域内。
解析：(1)由h＝gt2得t＝＝10
s，
故救援物资从离开飞机到落至地面所经历的时间为10
s。
(2)救援物资落地时的水平位移：x＝vt＝1
000
m，
由于x－x0＝1
000
m－950
m＝50
m＜100
m，
所以在AB范围内。故救援物资能落在AB区域内。
答案：(1)10
s　(2)能
B级—选考提能
10．(2019·潍坊高一检测)如图所示，一篮球从离地H高处的篮板上A点以初速度v0水平弹出，刚好在离地h高处被跳起的同学接住，不计空气阻力。则篮球在空中飞行的(　　)
A．时间为
B．时间为
C．水平位移为v0
D．水平位移为v0
解析：选C　根据H－h＝gt2知，篮球在空中飞行的时间：t＝
，故A、B错误；篮球的水平位移为：x＝v0t＝v0
，故C正确，D错误。
11.利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏。如图所示，游戏时，游戏者滑动屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固定在水平地面上的圆柱形纸篓，纸团恰好沿纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角。若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是(　　)
A．在P点将纸团以小于v的速度水平抛出
B．在P点将纸团以大于v的速度水平抛出
C．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出
D．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出
解析：选C　在P点将纸团以小于v的速度水平抛出，则纸团下降到纸篓上沿等高度的位置处时，纸团的水平位移变小，则纸团不能进入纸篓中，故A错误。在P点将纸团以大于v的速度水平抛出，则纸团在下降到纸篓底的过程中，水平位移增大，纸团不能直接击中篓底的正中间，故B错误。在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出，根据x＝v0知，水平位移可以减小，且不会与篓的左边沿相撞，可能落在篓底
的正中间，故C正确。同理可知，在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出，则纸团可能进篓，临界状态是沿纸篓上边沿进入纸篓，由于初速度增大，则一定击中纸篓的后壁，不可能击中篓底正中间，故D错误。
12.如图所示，在距地面高为H＝45
m处，有一小球A以初速度v0＝10
m/s水平抛出。与此同时，在A的正下方有一物块B也以相同的初速度v0同方向滑出，B与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，A、B均可看成质点，空气阻力不计。求：
(1)A球从抛出到落地的时间；
(2)A球从抛出到落地这段时间内的水平位移；
(3)A球落地时，A、B之间的距离。
解析：(1)A球抛出后做平抛运动，竖直方向有
H＝gt2，解得t＝
＝3
s。
(2)A球从抛出到落地的水平位移xA＝v0t＝30
m。
(3)物块B做匀减速直线运动，加速度大小
a＝μg＝5
m/s2，
物块B滑动的时间t′＝＝
s＝2
s，
在此期间B运动的距离xB＝t′＝10
m，
所以A球落地时，A、B之间的距离xAB＝xA－xB＝20
m。
答案：(1)3
s　(2)30
m　(3)20
m
习题课1　平抛运动的三类模型　
平抛运动与斜面结合模型
[知识贯通]
1．模型构建
　　　　　　　　　　
(1)物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。
(2)做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角。
2．求解思路
已知信息
实例
处理思路
速度方向
垂直打到斜面上的平抛运动
(1)确定速度与竖直方向的夹角θ，画出速度分解图。(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析vx、vy。(3)根据tan
θ＝列式求解。
位移方向
从斜面上一点水平抛出后落回在斜面上的平抛运动
(1)确定位移与水平方向的夹角θ，画出位移分解图。(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析x、y。(3)根据tan
θ＝列式求解。
[集训联通]
　[多选]如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta小球恰好落在斜面底端P处；今在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点q处。若不计空气阻力，下列关系式正确的是(　　)
A．va＝vb
B．va＝vb
C．ta＝tb
D．ta＝tb
[解析]　做平抛运动的小球的运动时间由竖直方向的高度决定，即t＝，从a处抛出的小球下落的高度是从b处抛出的小球的2倍，有ta＝tb，选项C错误，D正确；水平方向的距离由下落的高度和初速度共同决定，即x＝v0，由题意得从a处抛出的小球的水平位移是从b处抛出的小球的2倍，可知va＝vb，选项A错误，B正确。
[答案]　BD
1．(2019·威海高一检测)如图所示，在斜面顶端的A点以速度v平抛一小球，经t1时间落到斜面上B点处，若在A点将此小球以速度0.5
v水平抛出，经t2落到斜面上的C点处，以下判断正确的是(　　)
A．t1∶t2＝4∶1
B．AB∶AC＝4∶1
C．AB∶AC＝2∶1
D．t1∶t2＝∶1
解析：选B　平抛运动竖直方向上的位移和水平方向上的位移的比值tan
θ＝＝＝，则t＝。知运动的时间与初速度成正比，所以t1∶t2＝2∶1；竖直方向上下落的高度h＝gt2，知竖直方向上的位移之比为4∶1；斜面上的距离s＝，知AB∶AC＝4∶1，故B正确，A、C、D错误。
2.一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为(　　)
A．tan
θ　　　　　　　　　　
B．2tan
θ
C.
D.
解析：选D　如图所示，设小球抛出时的初速度为v0，运动时间为t，则vx＝v0，vy＝，vy＝gt，x＝v0t，y＝，联立以上各式得＝，D正确。
3.如图所示，水平面上固定一个斜面，从斜面顶端向右平抛一只小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，飞行时间为t0。现用不同的初速度v从顶端向右平抛这只小球，以下能正确表示平抛的飞行时间t随v变化的关系是(　　)
解析：选A　当小球落在斜面上时，有：tan
θ＝＝＝，解得：t＝，与速度v成正比。当小球落在地面上，根据h＝gt2，解得：t＝，可知运动时间不变。所以t与v的关系图线先是过原点的一条倾斜直线，然后是平行于横轴的直线，故A正确，B、C、D错误。
类平抛运动模型
[知识贯通]
1．运动建模
当一种运动和平抛运动特点相似，即合外力恒定且与初速度方向垂直的运动都可以称为类平抛运动。
2．模型特点
3．分析方法
与平抛运动的处理方法一致，将运动分解成沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动。
[集训联通]
　如图所示，光滑斜面长L＝10
m，倾角为30°，一小球从斜面的顶端以v0＝10
m/s的初速度水平射入，求：(g取10
m/s2)
(1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移x；
(2)小球到达斜面底端时的速度大小。
[解析]　(1)小球在斜面上沿v0方向做匀速直线运动，沿垂直于v0方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有mgsin
30°＝ma，
又L＝at2
解得t＝
所以x＝v0t＝v0
＝20
m。
(2)小球运动到斜面底端时的速度大小用v表示，则有
vx＝v0＝10
m/s，vy2＝2aL＝2gsin
30°·L＝gL
故v＝＝10
m/s。
[答案]　(1)20
m　(2)10
m/s
解类平抛运动问题的步骤
(1)分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动，并明确物体两个分运动的方向。
(2)利用两个分运动的规律求解分运动的速度和位移。
(3)根据题目的已知条件和要求解的量充分利用运动的等时性、独立性、等效性解题。　　　
如图所示，质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。求：
(1)飞机受到的升力大小；
(2)在高度h处飞机的速度大小。
解析：(1)飞机水平速度不变：l＝v0t，
竖直方向加速度恒定：h＝，
消去t解得a＝，
由牛顿第二定律：F＝mg＋ma＝mg。
(2)在高度h处，飞机竖直方向的速度vy＝at＝
则速度大小：v＝
＝v0。
答案：(1)mg　(2)v0
平抛运动中的临界模型
[知识贯通]
1．模型特点
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述过程中存在临界点。
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”“取值范围”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。
2．求解思路
(1)画出临界轨迹，找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)列方程求解结果。
[集训联通]
　　如图所示，水平房顶高H＝5
m，墙高h＝3.2
m，墙到房子的距离l＝3
m，墙外马路宽d＝10
m。欲使小球从房顶水平飞出落在墙外的马路上，求小球离开房顶时的速度v0应满足的条件。(墙的厚度不计，g取10
m/s2)
[解析]　如图甲所示，设球刚好触墙而过时小球离开房顶的速度为v1，则小球自房顶飞出后做平抛运动到达墙头时，水平位移大小为l，竖直位移大小为(H－h)，则
y＝H－h＝(5－3.2)m＝1.8
m，
由y＝gt12得小球自飞出后运动到墙头所用的时间为
t1＝
＝
s＝0.6
s，
由l＝v1t1得小球离开房顶时的速度为
v1＝＝
m/s＝5
m/s。
设小球飞出后恰好落在墙外的马路边缘时离开房顶的速度为v2，如图乙所示，此过程水平位移大小为(l＋d)，竖直位移大小为H，则小球在空中的飞行时间t2满足H