3.1.1两角差的余弦公式
一、教学目标
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并进一步推导出其它和（差）公式。
二、教学重、难点
1.
教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2.
教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.
三、教学过程：
（一）导入1：某城市的电视发射塔建在市郊的一个小山上，如图，小山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间的距离为67米，从A观察电视发射塔的视角（∠CAD）约为450，求这座电视发射塔的高度。
可得，如果能由sinα=30/67,求得
tan(450+α)的值，那么就能得到电视发射塔的高度了。
更一般的是：对于任意角α，β，能不能用α，β的三角函数值把α+β、α-β的三角函数值表示出来？？
先来考虑对于任意角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)的问题。
导入2：我们在初中时就知道?，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式
（二）探讨过程：
探索1．在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）。通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索与、、、之间的关系，由此得到，认识两角差余弦公式的结构.
缺陷：α、β、α-β都为锐角，且α>β下得到的，不具有一般性。要再继续好难。
探索2．利用向量方法得到，很简单，但是角α-β必须在，还是不具有一般性。
探索3．当α、β为任意角时，α-β也是任意角，由诱导公式知，总可以找到使得cosθ=cos(α-β),若，则；若，则，于是对于任意α、β都有：
差角的余弦公式：
作用：只要知道cosα,sinα,cosβ,sinβ就可以求得cos(α-β)。
例1（书上P126例1）：利用差角余弦公式求的值.
解：
点评：把一个具体角构造成两个角的差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.
例2、已知，是第三象限角，求的值.
解：因为，由此得
又因为是第三象限角，所以
所以
点评：注意角、的象限，也就是符号问题.
练习：P127：1---4
思考题：已知、都是锐角，，求的值。
探索4．如何得到：cos(α+β)公式?
和角的余弦公式：
例3
已知求
例4
在△ABC中cosA=3/5，cosB=5/13,则cosC的值为＿＿＿＿
四、小结：
1．通过探索得到两角差的余弦公式；
2．差角公式
：
：
五、作业：
P137：2----5(共19张PPT)
课题：两角差的余弦公式
不用计算器，求 的值.
1.
15
°能否写成两个特殊角的和或差的形式?
2.
cos15
°
=cos(45
°
-30
°)=cos45
°
-cos30
°
成立吗?
3.
究竟cos15
°
=?
4.
cos
(45
°
-30
°)能否用45
°和30
°的角的
三角函数来表示?
5.
如果能,那么一般地cos(α-β)能否用α
、β的
角的三角函数来表示?
引入
问
题
探
究
二
?
独立思考以下问题：
(1)向量的数量积
若
，则
（2）单位圆上的点的坐标表示
由图可知：
-1
1
1
-1
α
-β
B
A
y
x
o
β
α
-1
1
1
-1
α
-β
B
A
y
x
o
β
α
∵
∴
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
差角的余弦公式
结
论
归
纳
对于任意角
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos(α－β)
不查表,求cos(–375°)的值.
解:
cos(–
375°)=cos15
°
=cos(45
°–
30
°)
=cos45
°cos30
°
+sin45
°sin30
°
应用举例
例1.已知
求
的值.
例2.已知
求cos(α-β)的值
练习1：
P127
练习2：
思考题：已知
都是锐角,
变角:
分析：
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
公式的结构特征:
左边是复角α+β
的余弦,右边是单角α、β
的余弦积与正弦积的差.
简记：
33／65
例4
在△ABC中cosA=3/5，cosB=5/13,则cosC的值为＿＿＿＿
1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin
β
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin
β
小
结
2.利用公式可以
求非特殊角的三角函数值,
化简三角函数式和证明三角恒等式。
使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用.
作业:P137A2,3,4,5
