教案设计
课题
12.3.1角的平分线的性质
授课时间
设计教师
教材学情分析
本节课是在学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行的，是全等三角形知识的运用和延续.用尺规作一个角平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质.角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式—利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等.角的平分线的性质的学习为证明等线段或等角
开辟了新的途径，简化了证明过程，因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。
教学目标
知识与能力目标：1、会作已知角的平分线2、了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质3、会利用角的平分线的性质进行证明与计算过程与方法目标：在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，进一步发展学生的推理证明意识和能力.情感态度与价值观目标：在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探究精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验.
教学重、难点
重点：掌握角平分线的尺规作图，理解角平分线的性质并能初步应用难点：对角平分线性质定理中点到两边的距离的正确理解
学法
自主探究、合作学习
教学准备
教师：课件、圆规、三角板学生：圆规、三角板
教学过程
教学内容
教师指导活动
学生学习活动
设计意图
修改意见
情景导入
活动1：（1）角平分线的定义（2）已知一个角，怎样可以得到这个角的平分线，你有哪些办法？（3）如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?（4）动画演示角平角平分仪的操作方法
回忆旧知学生完成证明通过观看操作演示，进一步明确角平分仪的制作原理?
创设情景，通过探究平分角仪器的角平分线的作法，引起学生的探究兴趣.
互动探究
活动2：根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）尺规作图已知：
∠ＡＯＢ(如图)求作：
∠ＡＯＢ的角平分线OC.做法：1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N.2、分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C.3、作射线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线.
学生独立完成作图，教师巡堂，指导有困难的学生
加深学生对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯.
活动3、探究角的平分线的性质如图，在角平分线OC
上任取一点P，过点P
作OA，OB
的垂线，分别记垂足为D，E，测量
PD，PE
并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几点试一试.通过以上测量，你发现了角平分线的什么性质？猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.推理证明：已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证:
PD=PE证明：∵PD
⊥
OA，PE
⊥
OB∴
∠PDO=
∠PEO=90°在△PDO和△PEO中∠PDO=
∠PEO（已证）∠AOC=∠BOC
OP=OP
（公共边）∴
△PDO
≌
△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用几何语言表示为：∵OC是∠AOB的平分线,
且PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边距离相等)通常，我们要证明一个几何命题时，可以按照如下的步骤进行：明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知要推出要证的结论的途径，写出证明过程.
学生动手画图，交流分享成功体验
学生完成证明过程证明几何命题的一般步骤
让学生通过实验、发现、分析、概括、推理、证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路。概括几何命题的一般步骤，发展学生的归纳概括能力.
当堂反馈
1、判断：（1）∵
如图，AD平分∠BAC∴
BD
=
CD
（2）∵
如图，
DC⊥AC，DB⊥AB
∴
DB
=
DC
（3）∵
AD平分∠BAC,
DC⊥AC，DB⊥AB
∴
DB
=
DC
2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=______cm.存在两条垂线段
——直接应用3、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足为E，F，求证：EB=FC。4、Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分
∠BAC交BC于点P，若PC＝4,
则点P到AB的距离为_______.变式：如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE=______cm
.
学生抢答抢答后说明理由先独立思考再交流分享做法，规范书写步骤，教师巡堂指导归纳添加辅助线的方法
让学生通过辨析来理解和巩固角平分线的性质定理。?在学习了角的平分线的性质后，及时设置课堂练习检验学生新知的掌握情况，观察学生是否直接运用性质定理解决问题?，?帮助学生克服思维定势，突破运用性质定理解决问题的难点。通过有梯度的训练，提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力，获得成功体验
提炼总结
今天学习了什么内容？你有哪些收获？一、知识点：
1、角的平分线的尺规作图
2、角的平分线的性质
二、数学方法
1、利用角平分线的性质证明线段相等
2、过已知直线上一点作已知直线垂线
的方法
3、利用角平分线的性质构造垂线段
学生小结本课主要知识与收获，在学生互相补充的基础上，教师进一步完善。
让学生自己小结，有利于培养学生的概括能力，使学生自主构建知识体系，养成良好的学习习惯，调动学生的主动参与意识。
板书设计
1、角平分线的尺规作图：2、角的平分线的性质：??
角平分线上的点到角两边的距离相等??
作业反馈
1、必做题：
课本51页1、2题
《智慧学习》达标测试部分2、选做题：
课本51页5题
《智慧学习》
拓展提高部分
教学反思(共22张PPT)
12.3
角的平分线的性质
经过角的顶点
把一个角
分成两个相等角的
射线叫做这个角的平分线。
o
B
C
A
1
2
3、已知一个角，怎样得到这个角的平分线？
用量角器度量，也可用对折纸的方法．
如图，AB＝AD，BC＝DC沿着AC画一条射线AE，AE就是∠BAD的角平分线，你知道为什么吗？
B
·
·
·
·
C
D
A
E
证明：在△ACD和△ACB中，
AD
=
AB（已知），
DC
=
BC（已知），
CA
=
CA（公共边）
∴
△ACD≌
△ACB（SSS）．
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的
对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
B
·
·
·
·
C
D
A
E
O
A
B
C
M
N
根据角平分仪的制作原理，利用尺规作出已知角的角平分线
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ、Ｎ为圆心．大于
ＭＮ的长为半径弧．两
弧在∠ＡＯＢ的内部相交于点Ｃ．
３．画射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
作法：
平分平角∠AOB
结论：作平角的平分线也是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
A
B
O
C
D
M
N
已知
OC上是∠AOB的平分线，
点P是射线OC上的任意一点，
过点P作PD
⊥OA
，PE
⊥OB,
D、E为垂足
（1）量一量PD、PE的长，并作比较。
（2）换一个点重复以上的操作呢？
A
O
B
P
E
D
探究性质
C
再换一个点呢？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD
⊥OA
，PE
⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
猜想：
C
D
E
2
1
∵OC平分∠
AOB
（已知）
∴
∠1=
∠2（角平分线的定义）
∵PD
⊥
OA，PE
⊥
OB（已知）
∴
∠PDO=
∠PEO（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO
=
∠PEO（已证）
∠1
=
∠2
（已证）
OP
=
OP
（公共边）
∴
△PDO
≌
△PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
P
A
O
B
C
E
D
1
2
证明：
∵OC
是∠AOB
的平分线,P在OC上
PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
几何语言:
角平分线性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
E
D
O
A
B
P
C
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证的结论的途径，写出证明过程。
（1）∵
如图，AD平分∠BAC
BD
CD
（×）
∴
=
。
（2）∵
如图，
DC⊥AC，DB⊥AB
BD
CD
（×）
∴
=
。
（3）∵
AD平分∠BAC,
DC⊥AC，DB⊥AB
DB
DC
√
不必再证全等
∴
=
。
（
）
1、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
4
存在两条垂线段
——直接应用
A
B
C
D
E
F
2、在△ABC
中，AD
平分∠BAC，
DE⊥AB
于点E，DF⊥AC
于点F，
BD=CD.
求证：EB=FC.
证明
∵
点D在∠BAC的平分线上，
DE⊥AB，DF⊥AC
，
∴
DE
=
DF.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴
Rt△BED
Rt△CFD.
∴
EB=FC.
BD=CD
DE=DF
A
B
C
D
E
F
≌
A
B
C
P
3、Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,
则点P到
AB的距离
_______.
D
4
存在一条垂线段
——构造应用
学以致用
BC=9,
BP=5
二、数学方法
1、利用角平分线的性质证明线段相等
2、过已知直线上一点作已知直线垂线
的方法
3、利用角平分线的性质构造垂线段
一、知识点：
1、角的平分线的尺规作图
2、角的平分线的性质
丰收园
作业
1、必做题：
课本51页1、2
《智慧学习》达标测试部分
2、选做题：
课本51页5题
《智慧学习》拓展提高部分
