上海市宝山区行知高中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

上海市行知中学2020学年第一学期期中
高二年级数学学科试卷11.12
考试时间：120分钟 满分：150分
一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）
1. false和false的等比中项等于_________.
2.行列式false中，false的代数余子式的值是_________.
3.已知向量false，false，则与向量false相等的位置向量的坐标为_________.
4.过点false，且与向量false垂直的直线方程是_________.（用一般式表示）
5.关于false、false的二元线性方程组false的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为false，则false_________.
6.已知变量false、false满足约束条件false，则false的最小值为_________.
7.已知直线false，过点false的直线false与直线false夹角为false，则直线false的直线方程是_________.
8.不等式false表示的平面区域面积是_________.
9.已知点false，点false，直线：false与线段false有一个公共点，则实数false的取值范围是_________.
10.已知点false，点false、false分别是false轴和直线false上的两个动点，则false的最小值等于_________.
11.如图，等边false是半径为false的圆false的内接三角形，false是边false的中点，false是圆外一点，且false，当false绕圆心false旋转时，则false的取值范围为_________.
12.设数列false的前false项和为false，false，false（false），false（false,false）．且false、false均为等差数列，则false_________.
二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分）
13.用数学归纳法证明：false的过程，从“false到false”左端需增加的代数式为………………………（ ）
A. false B. false C. false D. false
14.已知false，则false与false的夹角为（ ）
A. false B. false C. false D. false
15.已知false是实数等比数列false前false项和，则在数列false中（ ）
A. 必有一项为零 B. 可能有无穷多项为零 C. 至多一项为零 D. 任何一项均不为零
3538855357505false
P
（第16题图）
false
false
false
false
false
P
（第16题图）
false
false
false
false
16. 如图,四边形false是正方形，延长false至false，使得false.若动点false从点false出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到false点，其中false，下列判断
正确的是……………………………………………（ ）
（A）满足falsefalse的点false必为false的中点.
（B）满足false的点false有且只有一个.
（C）false的最大值为3.
（D）false的最小值不存在.
三、解答题（本大题满分76分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号的规定区域内写出必要的步骤.）
17. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
已知false，false，false，且满足false.
（1）求实数false的值；
（2）求与false垂直的单位向量的坐标.
18. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
已知直线false.
（1）若直线false过点false，试写出直线false的一个方向向量；
（2）若实数false，求直线的倾斜角false的取值范围.
19. (本题满分14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分)
2019年某公司投资8千万元启动休闲旅游项目.规划从2020年起，在今后的若千年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2019 年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%，记2019年为第1年，false为第1年至此后第false (false)年的累计利润(注:含第false年，累计利润false累计净收入false累计投入，单位:千万元)，且当false为正值时，认为该项目赢利.
（1）试求false;
（2）根据预测，该项目将从哪年开始并持续赢利?请说明理由，
20. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
数列false，false，数列false前false项和为. false，false.
（1）求数列false的通项公式；
（2）若false（false为非零实数），求false；
（3）若对任意的false，都存在false，使得false成立，求实数false的最大值.
21. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
设false为不等于false的正常数，false各项均为正，首项为false，且false前false项和为false，已知对任意的正整数false，当时false，false恒成立.
（1）求数列false的通项公式；
（2）若数列false是首项为false，公差为false的等差数列，存在一列数false：恰好使得false且false，求数列false的通项公式；
（3）当false时，设false，问数列false中是否存在不同的三项恰好成等差数列?若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由
上海市行知中学2020学年第一学期期中
高二年级数学学科试卷11.12
考试时间：120分钟 满分：150分
一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）
1. false和false的等比中项等于_________.
【答案】false
2.行列式false中，false的代数余子式的值是_________.
【解析】6的代数余子式为false.
3.已知向量false，false，则与向量false相等的位置向量的坐标为_________.
【答案】false
4.过点false，且与向量false垂直的直线方程是_________.（用一般式表示）
【解析】所求直线方程为false，即false.
5.关于false、false的二元线性方程组false的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为false，则false_________.
【答案】false
45383456292856.已知变量false、false满足约束条件false，则false的最小值为_________.
【解析】作出可行域，如图，最优解为false，
false.

7.已知直线false，过点false的直线false与直线false夹角为false，则直线false的直线方程是_________.
4173855144145【答案】false或false.
8.不等式false表示的平面区域面积是_________.
【解析】不等式false表示的平面区域为图中的菱形区域，
false.
9.已知点false，点false，直线：false与线段false有一个公共点，则实数false的取值范围是_________.
【解析】false代入得false即false或false
10.已知点false，点false、false分别是false轴和直线false上的两个动点，则false的最小值等于_________.
【解析】作点false关于false轴的对称点false，
则false，
最小值即为false到直线false的距离，
false，所以false的最小值为false.
11.如图，等边false是半径为false的圆false的内接三角形，false是边false的中点，false是圆外一点，且false，当false绕圆心false旋转时，则false的取值范围为_________.
439674042545【解析】法一：不妨以false为原点，false方向为false轴正方形建系，
因为false，所以false，
因为false，设false，
所以false
false.
法二：向量分解，观察到false，
false，
又因为false，所以false
12.设数列false的前false项和为false，false，false（false），false（false,false）．且false、false均为等差数列，则false_________.
【解析】因为false，false，
所以false①，因为false分别构成等差数列，
所以false②，
false③，
false④，
由②+③，得false，
而false是等差数列，所以false必为常数，
所以false，
或false，
由①得false，即false，
因为false，所以false，
因为false，所以false，
即false或false（舍去），
所以false，所以false，
同理，由③+④得，false，
所以false或false，
因为false，而false，
所以false，
即false或false（舍去），
所以false，所以false，所以false，
所以false.
二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分）
13.用数学归纳法证明：false的过程，从“false到false”左端需增加的代数式为………………………（ D ）
A. false B. false C. false D. false
【解析】增加的代数式是false，故选D.
14.已知false，则false与false的夹角为（ C ）
A. false B. false C. false D. false
【答案】C
15.已知false是实数等比数列false前false项和，则在数列false中（ B ）
A. 必有一项为零 B. 可能有无穷多项为零 C. 至多一项为零 D. 任何一项均不为零
【解析】当公比false时，false，即存在无穷多项为0，故选B.
3538855357505false
P
（第16题图）
false
false
false
false
false
P
（第16题图）
false
false
false
false
16. 如图,四边形false是正方形，延长false至false，使得false.若动点false从点false出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到false点，其中false，下列判断
正确的是……………………………………………（ C ）
（A）满足falsefalse的点false必为false的中点.
（B）满足false的点false有且只有一个.
（C）false的最大值为3.
（D）false的最小值不存在.
【解析】如图建系，设正方形的边长为1，
则false，
所以false，
当false时，false，此时点false和false重合，不是false的中点，故A错误；
当false时，false，此时点false和false重合，满足false，
当false时，false，此时点false为false中点，满足false，故点false不
唯一，故B错误；
当false时，false，所以false，
当false时，false，所以false，
当false时，false，所以false，
当false时，false，所以false，
综上，false，故C正确，D错误，故选C.
三、解答题（本大题满分76分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号的规定区域内写出必要的步骤.）
17. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
已知false，false，false，且满足false.
（1）求实数false的值；
（2）求与false垂直的单位向量的坐标.
【解析】（1）false，false，
因为false，所以false，解得false；
（2）与false垂直的向量为false和false，
故所求单位向量为false和false.
18. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
已知直线false.
（1）若直线false过点false，试写出直线false的一个方向向量；
（2）若实数false，求直线的倾斜角false的取值范围.
【解析】（1）把false代入直线false的方程，得false，解得false，
此时直线false的方程为false，
故直线false的一个方向向量为false；
（2）因为false，所以直线false的斜率false
所以倾斜角false.
19. (本题满分14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分)
2019年某公司投资8千万元启动休闲旅游项目.规划从2020年起，在今后的若千年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2019 年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%，记2019年为第1年，false为第1年至此后第false (false)年的累计利润(注:含第false年，累计利润false累计净收入false累计投入，单位:千万元)，且当false为正值时，认为该项目赢利.
（1）试求false;
（2）根据预测，该项目将从哪年开始并持续赢利?请说明理由，
【解析】（1）由题意得第1年至此后第false年的累计投入为false（千万元），
第1年至此后第false年的累计净收入为
false（千万元），
所以false（千万元）；
（2）令false，
当false时，false，所以false时，false单调递减，
当false时，false，所以false时，false单调递增，
又false，
所以该项目从第8年起开始并持续盈利.
20. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
数列false，false，数列false前false项和为. false，false.
（1）求数列false的通项公式；
（2）若false（false为非零实数），求false；
（3）若对任意的false，都存在false，使得false成立，求实数false的最大值.
【解析】（1）因为false，所以false，又false，
所以false是首项为2，公比为2的等比数列，
所以false，所以false；
（2）false，记false，
当false时，false，此时false不存在，
当false时，false，
当false时，false，
当false时，false，
当false时，false不存在；
（3）由题意得false对false有解，
因为false，所以当false时，false，当false时，false，
所以false，
所以false对false恒成立，
即false对false恒成立，
因为false，所以false，所以false，
所以实数false的最大值是false.
21. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
设false为不等于false的正常数，false各项均为正，首项为false，且false前false项和为false，已知对任意的正整数false，当时false，false恒成立.
（1）求数列false的通项公式；
（2）若数列false是首项为false，公差为false的等差数列，存在一列数false：恰好使得false且false，求数列false的通项公式；
（3）当false时，设false，问数列false中是否存在不同的三项恰好成等差数列?若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由
【解析】（1）因为当false时，false恒成立，
所以当false时，令false， 得false，即false，
又false，适合，所以false；
（2）因为数列false是首项为1，公差为3的等差数列，所以false，
所以false，所以false，
因为false，所以false，解得false，所以false；
（3）当false时，false，因为false，
所以数列false是递减数列，
假设数列false中存在三项false成等差数列，其中false，
则false，即false，
当false时，false，
若false，则false（数列false是递减数列），矛盾，
所以false，所以false，
因为数列false是递减数列，false，而false，
故只能false，解得false，此时false，故存在false成等差数列.
【注】填空12选自2020届闵行一模
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列false满足false，false（false），false（false）false．
（1）当false时，写出false所有可能的值；
（2）当false时，若false且false对任意false恒成立，求数列false的通项公式；
（3）记数列false的前false项和为false，若false、false分别构成等差数列，求false．
【解析】（1）当false时，false，
即false是以false为首项、false为公差的等差数列，
所以false……2分
可得：false，false，所以false，false，
所以false或false或false或false. ……………………………4分
（2）当false时，false，
即false是首项为false、公差为false的等差数列.
所以false，
所以false，false,
因为false且false，
所以false，false …………………6分
所以false,
所以false,false………8分
所以false. ………10分
（3）由已知得falsefalse …………………………………①
若false、false分别构成等差数列，
则falsefalse…②
falsefalse， ……………………………③
falsefalse， ……………………………④
由②+③得：falsefalse
因为false是等差数列，false必为定值
所以false
或false
即falsefalse或falsefalse ………………12分
而由①知false，即false，
所以false，即false或false（舍）
故false …………………………………………14分
所以false. 同理，由③+④得：
falsefalse，
所以false或false，由上面的分析知false，
而false，故false，
即false或false（舍）
所以false ………………16分
所以false， 从而false（false）
所以false…18分