上海市闵行区七宝高级中学2021届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析

2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷
一、填空题
1.已知全集false，集合false，则false_________.
2.若函数false，则false_________.
3. false_________.
4.已知数列false为等差数列，且false，则false_________.
5.设函数false在false上是减函数，则实数的取值范围是_________.
6.已知false，则false的取值范围是_________.
7.若函数false在区间false上的零点个数为false个，则实数false的取值范围是_________.
8.已知两变量false、false之间的关系为false，则以false为自变量的函数false的最小值是_________.
9.已知函数false（false且false），false若对任意实数false均有false，则false的最小值为_________.
10.设函数false，false若false恰有false个零点，则下述结论中：①false恒成立，则false的值有且仅有false个；②存在false，使得false在false上单调递增；③方程false一定有false个实数根，其中真命题的序号为_________.
11.函数false的图像绕着原点旋转弧度falsefalse，若得到的图像仍是函数图像，则false可取值的集合为_________.
12.对任意闭区间false，用false表示函数false在false上的最大值，若有且仅有一个正数false使得false成立，则实数false的取值范围是_________.
二、选择题
13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ）
A.false与false B.false与false C.false与false D.false与false
14.若数列false的前false项和为false，则“false是递增数列”是“false为递增数列”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
15.已知集合false都是非空集合，若命题“false中的元素都是false中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ ）
A.false B.false中至多有一个元素不属于false
C.false中有不属于false的元素 D. false中有不属于false的元素
16.单调递增的数列false中共有false项，且对任意falsefalse，false和false中至少有一个是false中的项，则false的最大值为（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
三、解答题
17.如图，已知长方体false中，false，false，false.
3629025279400（1）求异面直线false与false所成角的大小；
（2）求点false到平面false的距离.
18.已知在false中，角false的对边分别为false,且false.
（1）求false的值；
（2）若false，求false的面积.
某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率false与日产量false（万枚）间的关系为：false，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利false元，每出现false件次品亏损false元.
将日盈利额false（万元）表示为日常量false（万枚）的函数；
为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率false）.
20.已知双曲线false过点false，且右焦点为false.
（1）求双曲线false的方程；
（2）过点false的直线false与双曲线false的右支交于false两点，交false轴于点false，若false，false，求证：false为定值.
（3）在（2）的条件下，若点false是点false关于原点false的对称点，求证：三角形false的面积
false；
21.若实数列false满足条件false，则称false是一个“凸数列”.
（1）判断数列false和false是否为“凸数列”?
（2）若false是一个“凸数列”，证明：对正整数false，当false时，
有false；
（3）若false是一个“凸数列”证明：对false，有false.
2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷
一、填空题
1.已知全集false，集合false，则false_________.
【解析】false，所以false.
2.若函数false，则false_________.
【解析】令false，解得false，所以false.
3. false_________.
【解析】falsefalse.
4.已知数列false为等差数列，且false，则false_________.
【解析】由等差数列的性质，得false.
5.设函数false在false上是减函数，则实数的取值范围是_________.
【解析】由题意得false，所以false.
6.已知false，则false的取值范围是_________.
【解析】令false，
则false.
7.若函数false在区间false上的零点个数为false个，则实数false的取值范围是_________.
【解析】令false，得false，即false，
故当false时，零点分别为false，所以false.
8.已知两变量false、false之间的关系为false，则以false为自变量的函数false的最小值是_________.
【解析】由false得false，所以false，
显然false，所以false，故false，
所以false，当且仅当false时取等号，
故以false为自变量的函数false的最小值是4.
42716454914909.已知函数false（false且false），false若对任意实数false均有false，则false的最小值为_________.
【解析】作出false的图像，如图所示，
则false过点false，所以false，即false，
因为false，所以false，
所以false，当且仅当false时取等号，
故false的最小值为4.
10.设函数false，false，若false恰有false个零点，则下述结论中：①false恒成立，则false的值有且仅有false个；②存在false，使得false在false上单调递增；③方程false一定有false个实数根，其中真命题的序号为_______.
【解析】因为false恰有false个零点，所以false，
所以false，即false，
①false即false，由上述知false，
故false的值有且仅有false个，正确；
②当false时，false，当false时，false，解得false，
又false，故存在false，使得false在false上单调递增，正确；
③false，而false，
所以false可取false，共4个解，正确，
综上，真命题的序号是①②③.
11.函数false的图像绕着原点旋转弧度falsefalse，若得到的图像仍是函数图像，则false可取值的集合为_________.
【解析】false
12.对任意闭区间false，用false表示函数false在false上的最大值，若有且仅有一个正数false使得false成立，则实数false的取值范围是_________.
【解析】①当false时，false，
由false，得false，所以false；
②当false时，false，
由false，得false；
③当false时，false，
由false，得false，所以false；
④当false时，false，
由false，得false，所以false，
⑤当false时，false
由false，得false，
所以false，作出图像，得实数false的取值范围是false.
【变式1】2020-2021年上海市普陀区0.5模12题.
对任意闭区间false，用false表示函数false在上的最大值，若正数false满足false，则false的值为_________.
【解析】①当false时，false，
由false，得false，所以false，无解；
②当false时，false，
由false，得false，无解；
③当false时，false，
由false，得false，所以false，false；
④当false时，false，
由false，得false，所以false，false；
⑤当false时，false
由false，得无解，
综上，false或false.
【变式2】2019-2020年上海市七宝中学高三下三模第11题.
用false表示函数false在闭区间false上的最大值，若正数false满足false，则false的最大值为 .
【解析】①当false时，false，
由false，得false，所以false，无解；
②当false时，false，
由false，得false，无解；
③当false时，false，
由false，得false，所以false，false；
④当false时，false，
由false，得false，所以false，false；
⑤当false时，false
由false，得无解，
综上，false，故false的最大值为false.
二、选择题
13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ D ）
A.false与false B.false与false C.false与false D.false与false
14.若数列false的前false项和为false，则“false是递增数列”是“false为递增数列”的（ D ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
15.已知集合false都是非空集合，若命题“false中的元素都是false中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ D ）
A.false B.false中至多有一个元素不属于false
C.false中有不属于false的元素 D.false中有不属于false的元素
16.单调递增的数列false中共有false项，且对任意falsefalse，false和false中至少有一个是false中的项，则false的最大值为（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
【解析】本题为2016年清华大学自招与领军计划试题.
法一：假设false是false中大于0的最大的4项，对于false来说，
因为false，所以false和false都不是false中的项，
又由题意得false和false中至少有一个是false中的项，
所以false是false中的项，且false，所以false，
对于false来说，因为false，所以false和false都不是false
中的项，又由题意得false和false中至少有一个是false中的项，
所以false是false中的项，且false，所以false，
所以false，矛盾，所以false中大于0的最多有3项，
同理，false中小于0的最多有3项，加上0，故false的最大值为7，
此时存在数列false满足题意，故选C.
法二：假设存在三项false为正，则false都不是false中的项，
所以false是false中的项，且false，
所以false，所以数列false中最多有3个正项，
同理数列false中最多有3个负项，加上0，故false的最大值为7，
此时存在数列false满足题意，故选C.
三、解答题
17.如图，已知长方体false中，false，false，false.
40614606985（1）求异面直线false与false所成角的大小；
（2）求点false到平面false的距离.
【解析】（1）连接false，则false，
所以false即为所求角，或其补角，
false，
false，
false，
在false中，由余弦定理得false，
所以false，即异面直线false与false所成角的大小为false；
（2）false，
false，false，
设点false到平面false的距离为false，由等体积法，得false，
即false，所以false，
所以点false到平面false的距离为false.
18.已知在false中，角false的对边分别为false,且false.
（1）求false的值；
（2）若false，求false的面积.
【解析】（1）由已知及正弦定理得false，
得false，
因为false，所以false，
由正弦定理得false；
（2）因为false，
由余弦定理得false，即false，解得false，
所以false，又false，
所以false.
某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率false与日产量false（万枚）间的关系为：false，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利false元，每出现false件次品亏损false元.
将日盈利额false（万元）表示为日常量false（万枚）的函数；
为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率false）.
【解析】（1）当false时，false，所以false，
当false时，false，
所以false，
所以false；
（2）当false时，false，
令false，则false，
所以false万元，
当且仅当false，即false时取等号，
所以为使日盈利额最大，日产量应为3万枚.
20.已知双曲线false过点false，且右焦点为false.
（1）求双曲线false的方程；
（2）过点false的直线false与双曲线false的右支交于false两点，交false轴于点false，若false，false，求证：false为定值.
（3）在（2）的条件下，若点false是点false关于原点false的对称点，求证：三角形false的面积
false；
【解析】（1）由题意得false，又false，解得false，
所以双曲线false的方程为false；
（2）法一：设false，
由false得false，又点false在双曲线上，
所以false，整理得false，
同理，由false，得false，
因为false两点不重合，所以false，
所以false是方程false的两根，
所以false，为定值；
法二：设false，由题意得直线false的斜率存在，
所以设直线false，所以false，
由false，得false，
所以false，
由false，false得false，
所以false
false，
所以false，为定值；
（3）在（2）法二的基础上，得false，
false，
所以false
false
false，
因为直线false与双曲线false的右支交于false两点，
所以false，
所以false，
所以false
false，
因为false，所以false，
所以false，
所以false，证毕.
21.若实数列false满足条件false，则称false是一个“凸数列”.
（1）判断数列false和false是否为“凸数列”?
（2）若false是一个“凸数列”，证明：对正整数false，当false时，
有false；
（3）若false是一个“凸数列”证明：对false，有false.
【解析】（1）因为false
false，所以数列false不为“凸数列”，
因为false
false，所以数列false为“凸数列”；
（2）由题意得false，所以false，
而false，
所以false，
又false，
所以false，故false，证毕；
（3）①当false时，false即false，
由（2）得false，所以false，
故false，成立；
②当false时，false即false，显然成立，
③当false时，由（2）得false，
所以false，
所以false，故false成立，
综上所述，对false，有false.