上海市位育高级中学2021届高三上学期期中考试数学试卷（2020.11） Word版含答案

位育中学高三期中数学试卷
2020.11
一. 填空题
1. 设集合，，则
2. 计算：
3. 已知复数满足，为虚数单位，则
4. 已知函数，则此函数的反函数是
5. 已知、满足，则的最大值为
6. 已知行列式，则
7. 某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，
已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为
8. 已知数列是无穷等比数列，其前项和记为，若，，则

9. 在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，
则每个项目都有该校教师参加的概率为 （结果用数值表示）
10. 已知、是椭圆的左、右焦点，过原点且倾斜角为60°
的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的长轴长为

11. 已知点、在以为直径的圆上，若，，，则

12. 已知球是三棱锥的外接球，，，点为
的中点，且，则球的体积为
二. 选择题
13. 下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
14. 若函数的图像关于直线对称，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
15. 对于函数（），我们可以发现有许多性质，如：
（）等，下列关于的性质中一定成立的是（ ）
A. B. （）
C. （） D. （）
16. 函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，
若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
三. 解答题
17. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点.
（1）若三棱柱的体积为，求三棱柱的高；
（2）若，求二面角的大小.
18. 已知函数（为实常数）.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当为奇函数时，对任意的，不等式恒成立，
求实数的最大值.
19. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.
（1）若组成的红旗是长与宽的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积；
（2）求组成的红旗图案的最大面积.
20. 已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于、两点，为坐标原点.
（1）求抛物线方程；
（2）证明：的值与直线倾斜角的大小无关；
（3）若为抛物线上的动点，记的最小值为函数，求的解析式.
21. 设数列的各项都是正数，若对于任意的正整数，存在，使得、、
成等比数列，则称数列为“型”数列.
（1）若是“型”数列，且，，求的值；
（2）若是“型”数列，且，，求的前项和；
（3）若既是“型”数列，又是“型”数列，求证：数列是等比数列.
参考答案
一. 填空题
1. 2. 3. 4.
5. 3 6. 7. 19 8. 8
9. 10. 11. 12.
二. 选择题
13. B 14. A 15. C 16. C
三. 解答题
17.（1）6；（2）.
18.（1）是奇函数；（2）.
19.（1）；（2）.
20.（1）；（2）证明略；（3）.
21.（1）2；（2）；（3）证明略.