上海市杨浦区2021届高三上学期期中考试（0.5模）数学试题 Word版含解析

杨浦区2020学年度第一学期高三期中质量调研数学学科试卷
一、填空题。
函数false的定义域为_____；
已知集合false,false且false非空，则实数false的取值范围_____；
若函数false为奇函数，则最小的正数false_____；
已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为_____；
幂函数false的图像过点false，其反函数为false，则false=_____；
false的二项展开式中，若第9项与第13项系数相等，则第20项为_____；
若false是定义在false上的奇函数，当false时，false，则false=_____；
用false这五个数可以组成_____个没有重复数字的四位奇数。（用数字作答）
若false，则false_____；
false是直角三角形false所在平面外一点，已知三角形的边长false，false，false，false，则直线false与平面false所成角的余弦值为_____；
函数false的定义域false和值域false都是集合false的非空真子集，如果对于false内任意的false，总有false的值是奇数，则满足条件的函数false的个数是_____；
若分段函数false，将函数false，false的最大值记作false，那么当false时，false的取值范围是_____;
选择题。
设直线false与平面false所成的角相等，则直线false的位置关系为( )
平行 B、平行或异面 C、平行或相交 D平行、相交或异面
已知false,则false是“false”的（ ）
充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件
申辉中学从4名有数学特长的同学A、B、C、D中挑1人去参加中学生数学联赛，4名同学各自对结果的估计如下,A：“参赛的是A”；B：“参赛的是B”;C：“参赛的是A或B”；D：“参赛的既不是A也不是C”；已知期中有且只有2人的估计是正确的，则取得参加联赛的是（）
A同学 B、B同学 C、C同学 D、D同学
16、设函数false满足false，false的零点为false，则下列选项中一定错误的是（）
A、false B、false C、false D、false
三、解答题
已知圆锥的体积为false，底面半径false与false互相垂直，且false；false是母线false的中点。
求圆锥的表面积
求异面直线false与false所成角的大小（结果用反三角函数表示）

18.已知在false中，三边false分别对应三个内角false；且false
（1）求角false的大小；
（2）当在false外接圆半径false时，求false面积的最大值，并判断此时false的形状。
19.某地区去年的水价为4.2元/立方米，年用水量为false立方米，今年计划将水价降到2.8元/立方米至4元/立方米之间，而用户期望水价为2.5元/立方米，经测算，下调水价后新增的用水量与实际水价和用户期望水价的差成反比（比例系数为0.5false），该地区的成本为2元/立方米.
今年水价下调后，为保证供水部门的收益不得低于去年的收益，则实际水价false最低价格为多少？（保留2位小数）
试问调价后，今年供水部门收益的最小值为多少？
设函数false的定义域为false，且同时满足以下两个条件：
①存在实数false，使得false；②当false，false时，有false恒成立.
函数false是否满足上述的两个条件，并说明理由；
（2）求证：当false时，false；
（3）若当false时，false，求实数false的取值范围.
函数false，其中false是定义在false上的周期函数，false，false为常数
false，讨论false的奇偶性，并说明理由；
求证:”false为奇函数“的一个必要非充分条件是“false的图像有异于原点的对称中心false”
false，false在false上的最大值为false，求false的最小值。









杨浦区2020学年度第一学期高三期中质量调研数学学科试卷
一、填空题。
函数false的定义域为_____；
【答案】 false
【解析】false，定义域为false；
已知集合false,false且false非空，则实数false的取值范围_____；
【答案】 false
【解析】由数轴可知false；
若函数false为奇函数，则最小的正数false_____；
【答案】 false
【解析】由图可知，移动false，变为false即满足题意；
已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为_____；
【答案】 13
【解析】体对角线公式：false；
幂函数false的图像过点false，其反函数为false，则false=_____；
【答案】 9
【解析】幂函数过false，false，反函数false，false
false的二项展开式中，若第9项与第13项系数相等，则第20项为_____；
【答案】false
【解析】false，false，false
若false是定义在false上的奇函数，当false时，false，则false=_____；
【答案】false
【解析】false 上奇函数,false,false,false
用false这五个数可以组成_____个没有重复数字的四位奇数。（用数字作答）
【答案】false
【解析】分类讨论：不含false，false;含false，两奇两偶，false；三偶一奇，false；共有false种；
若false，则false_____；
【答案】false
【解析】false
false是直角三角形false所在平面外一点，已知三角形的边长false，false，false，false，则直线false与平面false所成角的余弦值为_____；
【答案】false
【解析】由题意得，false在底面的投影false为false的外心，即三条中垂线的交点，false，false。
函数false的定义域false和值域false都是集合false的非空真子集，如果对于false内任意的false，总有false的值是奇数，则满足条件的函数false的个数是_____；
【答案】false
【解析】【法一】因为false所以false中至少一个为奇数，定义域为false的都可以，有false种；定义域为false的函数false，所以有false种；共false种。
【法二】false，则false，且false，false有false种，则false有false种；false或false，若false中不含false，则有false种，false有false中，false共有false种；若false中含有false，则false有两种取法，false共有false种。于是false共有false种。false一共有false种。
若分段函数false，将函数false，false的最大值记作false，那么当false时，false的取值范围是_____;
【答案】false
【解析】数形结合，当false，
当falsefalse，故范围false
选择题。
设直线false与平面false所成的角相等，则直线false的位置关系为( )
平行 B、平行或异面 C、平行或相交 D平行、相交或异面
【答案】 D
【解析】线面角相同，两直线可以相交、平行、异面。
已知false,则false是“false”的（ ）
充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件
【答案】 B
【解析】若false不成立，故必要不充分条件。
申辉中学从4名有数学特长的同学A、B、C、D中挑1人去参加中学生数学联赛，4名同学各自对结果的估计如下,A：“参赛的是A”；B：“参赛的是B”;C：“参赛的是A或B”；D：“参赛的既不是A也不是C”；已知期中有且只有2人的估计是正确的，则取得参加联赛的是（）
A同学 B、B同学 C、C同学 D、D同学
【答案】 A
【解析】若A参赛，则A、C估计正确，B、D估计不正确，选A。
16、设函数false满足false，false的零点为false，则下列选项中一定错误的是（）
A、false B、false C、false D、false
【答案】 C
【解析】
两种情况：①false；②false。且可知false，从而false，选C。
三、解答题
已知圆锥的体积为false，底面半径false与false互相垂直，且false；false是母线false的中点。
求圆锥的表面积
求异面直线false与false所成角的大小（结果用反三角函数表示）
3862070621665E
E

【答案】（1）false （2）false
【解析】（1）false,
false
取false中点false，连接false与false所成角为false(或其补角)，
false，false，
所以异面直线false与false所成角的大小为false。
18.已知在false中，三边false分别对应三个内角false；且false
（1）求角false的大小；
（2）当在false外接圆半径false时，求false面积的最大值，并判断此时false的形状。
【答案】（1）false（2）false是等边三角形，面积最大值为false
【解析】（1）false，∴false，即false，
即false
(2)false外接圆半径false， false，false,false，当且仅当false时等号成立，false的面积false。false的面积的最大值是false，当且仅当false时等号成立，即此时false是等边三角形。
19.某地区去年的水价为4.2元/立方米，年用水量为false立方米，今年计划将水价降到2.8元/立方米至4元/立方米之间，而用户期望水价为2.5元/立方米，经测算，下调水价后新增的用水量与实际水价和用户期望水价的差成反比（比例系数为0.5false），该地区的成本为2元/立方米.
今年水价下调后，为保证供水部门的收益不得低于去年的收益，则实际水价false最低价格为多少？（保留2位小数）
试问调价后，今年供水部门收益的最小值为多少？
【答案】（1）3.43元/立方米（2）2false
【解析】（1）收益：false；false
false，又false，所以false最小值为 3.43.为保证收益不低于去年的收益，则实际水价的最低价格为3.43元/立方米。
（2）false,false, false,当且仅当false，即
false时，等号成立，所以今年供水部门收益的最小值为2false元。
设函数false的定义域为false，且同时满足以下两个条件：
①存在实数false，使得false；②当false，false时，有false恒成立.
函数false是否满足上述的两个条件，并说明理由；
（2）求证：当false时，false；
（3）若当false时，false，求实数false的取值范围.
【答案】（1）符合，见解析；（2）见解析；（3）false
【解析】（（1）满足，存在false,使得false满足条件①，又 false，对于false恒成立，满足条件②
因为false可令false,由 false，所以当false时，false。
对任意的false,设false，由第(2)问得， false，所以false是增函数。
false恒成立，则false的最小值，则 false
函数false，其中false是定义在false上的周期函数，false，false为常数
false，讨论false的奇偶性，并说明理由；
求证:”false为奇函数“的一个必要非充分条件是“false的图像有异于原点的对称中心false”
false，false在false上的最大值为false，求false的最小值。
【答案】（1）false，奇函数；false，非奇非偶函数；（2）证明略（3）false
【解析】（1）false,false时，false，false为奇函数，false时，∵false，∴false不是奇函数，false，false，false，false.∵false，无解，∴false不是偶函数，false是非奇非偶函数。
（2）非充分性:举反例，false有异于远点的对称中心false，但false不是奇函数；必要性：设奇函数false，且false，令false ,false
false，令false，则false的图像关于false对称。
（3）false，取false,
则false，∴false；下证false的最小值为false，
反证法：假设false,false,∵false，
∴false，∴false①；同理∵false，∴false②；∵false，∴false，③；
②-①得false，
③-②得false，矛盾，所以假设不成立，得证。
【法二】false
false
false
false
false
false
当false时， false
false