课
题
§13.3.1等腰三角形（一）
课
型
新授课
嗯嗯人
课
时
1
教学目标
一、知识与技能：1.经历剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形；
2.了解等腰三角形是轴对称图形；能够探索、归纳、验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质。二、过程与方法：??
?
1.通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，发展学生合情推理能力和演绎推理能力。
2.通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，培养学生观察、分析、归纳问题的能力，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识。三、情感、态度与价值观：????
通过引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
教
学重
点难
点
重点：探索并证明等腰三角形的性质。难点：运用等腰三角形的性质解决有关问题。
教学方法
启发式、合作探究式
学法指导
通过学生动手、动脑、动口发现问题，提出问题，进而解决问题。
教
学准
备
课件、学案、三角板、等腰三角形纸片
教学过程
一、创设情境，激发兴趣建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?提出问题，引入今天所讲的课题——等腰三角形。1、欣赏图片、品味对称
欣赏图片，在老师的描述中感受图片的美。2、温故知新回顾等腰三角形概念及定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰所夹的角叫做底角。3、出示本节课学习目标。【活动一】巧剪美图
，大秀风采观看视频，学生动手操作，完成剪一剪。提出问题：展开这个图形,得到什么图形？学生观察发现三角形ABC中AB=AC,所以三角形ABC是等腰三角形。【活动二】细心观察，大胆猜想上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？对称轴是什么？学生思考后回答是，对称轴是折痕所在的直线。重合的线段重合的角（2）把剪出的等腰三角ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：学生反复折叠等腰三角形，通过观察，讨论发现结论，并填写上表。根据表格所填内容，学生猜想等腰三角形的性质：小组讨论后得出两个猜想：猜想一：等腰三角形的两个底角相等。猜想二：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。教师提出问题：得出两个猜想以后，需要严格的推理证明，猜想才能成立。如何证明两个角相等呢？学生思考后回答：通过证明两个三角形全等。教师继续提问问题：如何构造全等三角形呢？在教师的引导下，学生得出由添加辅助线的方法来构造两个全等的三角形，从而证明∠B=∠C【活动三】小组讨论：如何添加辅助线呢？学生讨论总结得出三种作辅助线构造两个三角形全等的方法教师提示学生先画图，然后写出已知求证，最后再证明。已知：如图△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C教师以底边中线为例出示课件（1）证法一：作底边上的中线证明:
作底边的中线AD，则有BD=CD
AB=AC
在△ABD和△ACD中
BD=CD
AD=AD
∴
△ABD≌
△ACD（SSS）∴
∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）学生自己在学案上完成另外两种方法的证明。找两位同学黑板板书步骤。（2）证法二：作底边上的高线证明：作底边BC的高线AD，则∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ABD和Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C（3）证法三：作顶角的角平分线证明：作顶角∠BAC的角平分线AD，则∠1＝∠2在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠B＝∠C．通过以上三种方法证明了猜想是正确的，因此我们得到等腰三角形的第一个性质：等腰三角形的两个底角相等(简写成等边对等角)。符号语言：∵在△ABC中,AB=AC∴∠B=∠C(等边对等角).教师提示学生注意：等边对等角指的是在同一个
三角形中的边和角.【活动四】小组讨论教师提出问题：如何证明等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合呢？教师提示：由△ABD≌△ACD，你还能发现什么？。小组讨论，看看你有什么新的发现？
学生讨论后得出：①BD=CD
→AD为底边BC上的中线
②∠BAD=∠CDA
→AD为顶角∠BAC的平分线③∠ADB=∠ADC
又∵
∠ADB+∠ADC=180°∴
∠ADB=∠ADC=
90°
→AD是底边BC上的高
AD既是顶角的平分线、底边上的中线又是底边上的高。教师学生一块总结：等腰三角形的第二个性质，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(简称“三线合一”）。知一线得二线
课件出示三线合一的三种几何语言，学生回答（1）∵AB=AC，∠1=∠2（已知）
∴
BD=CD，AD⊥BC（2）∵AB=AC，BD=CD（已知）
∴∠1=∠2，AD⊥BC（3）∵AB=AC，
AD⊥BC
（已知）
∴BD=CD，∠1=∠2
注意：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（或顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴。
教师提出问题：等腰三角形的两个性质已经学完了，回到上课开始提出的问题建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，知道为什么了吗？学生思考：同学举手回答得出由“三线合一”可知绳子一定会垂直房梁，而绳子肯定是竖直的，所以房梁是水平的．【小试牛刀】1、（1)若等腰三角形顶角为30°,则它的另外两个角为_____________若等腰三角形一个底角为30°,则它的另外两个角为
____________变式一：若等腰三角形一个内角为30°,则它的另外两个角为___________变式二：若等腰三角形一个内角为90°,则它的另外两个角为___________变式三：若等腰三角形一个内角为120°,则它的另外两个角为__________学生做完举手回答，教师提出求角度数时，要分类讨论。2、如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°）,点D是BC边的中点
(1)
∠B=
度，∠C=
度
，
∠BAD=
度
，∠DAC=
度
(2)写出图中所有相等的线段.注意：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角中的一个，而底角只能是锐角。【典型例题】如图，在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数。学生首先解决以下问题：1、图中有哪几个等腰三角形？△ABC
△ABD
△BCD2、有哪些相等的角？∠ABC=∠ACB=∠BDC
∠A=∠ABD3、这两组相等的角之间还有什么关系？∠BDC=2∠A
∠ABC+∠ACB+∠
A=180°在老师的引导下小组讨论完成分析：解这类题一般要与三角形的内角和定理相配合，利用方程去解决。本题共三个等腰三角形（△ABC,△BDC,△DAB），可以先设∠A=x°,根据等腰三角形的性质一和外角性质分别表示出∠ABC
、∠C和∠BDC，由三角形内角和定理即可求出△ABC各角的度数。讲解证明过程：
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∠A=∠ABD
（等边对等角)设∠A=x,则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=
∠C=
∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，在△ABC中，
∠A=36°，
∠ABC=∠C=72°。教师提出：在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解。
巩固练习
1、如图，在△ABC中，AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠B=_______,∠C=_______学生举手口答过程。2、如图，在△ABC中，AB=AC,
点D、E在BC上，
且AD=AE，求证：BD=CE
归纳总结
本节课学习了哪些主要内容？
学生先回答，老师点评总结小结：等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。性质2：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）。注意以下几个问题：（1）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（或顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴。（2）等腰三角形常用辅助线：作底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线。（3）求等腰三角形角的度数时，如果没有明确是底角还是顶角必须分类讨论。
板书设计
13.3.1等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。性质2：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）。
作业布置
必做题：课本81页习题13.3
1、4、7题选做题：如图，∠MPN=20°，PA=AB=BC=CD，则∠CDM=_______，∠DCN=________.(共22张PPT)
13.3.1
等腰三角形
第十三章
轴对称
人民教育出版社
|八年级
|
上册
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角
板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重
物的绳子正好经过三角板底边中点，就说
房梁是水平的，你知道为什么吗?
创设情境，激发兴趣
欣赏图片、品味对称
欣赏图片、品味对称
1、理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)
2、经历等腰三角形性质的探究，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)
△ABC
是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
细心观察、大胆猜想
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B
与∠C.
∠1
与∠2
∠ADB
与∠ADC
合作探究、彰显智慧
重合的角和线段有怎样的数量关系？
1
2
底角
BD=CD
∠B=∠C
∠1
=∠2
∠ADB=∠ADC
AD为顶角的平分线
AD为底边上的高
AD为底边上的中线
AB=AC
AD=AD
1
2
A
B
C
D
等腰三角形除了两腰相等外，通过观察，你还能发现其他的结论吗？
合作探究、彰显智慧
猜想一：等腰三角形的两个底角相等。
猜想二：等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线,底边上的高互相重合。
重合的角：
重合的线段：
等腰三角形的两个底角相等。
A
B
C
D
已知：
求证：
想一想：
1.如何证明两个角相等？
议一议：
2.如何构造两个全等的三角形？
在△ABC中，AB=AC
∠B=?C
证明猜想、感悟性质
已知：
如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：
∠B=
∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，
则BD=CD.
AB=AC
(
已知
)，
BD=CD
(
已作
)，
AD=AD
(公共边)，
∴
△BAD≌
△CAD
(SSS).
∴
∠B=
∠C
(全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
证一证
方法一：作底边上的中线
性质1:等腰三角形的两个底角相等。
(简写成等边对等角).
总结归纳
符号语言：
∵在△ABC中,AB=AC
∴∠B=∠C(等边对等角).
注意：等边对等角指的是在同一个
三角形中的边和角.
如何证明等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线,底边上的高互相重合呢？
A
B
C
D
性质1:等腰三角形的两个底角相等。
(简写成等边对等角).
总结归纳
符号语言：
∵在△ABC中,AB=AC
∴∠B=∠C(等边对等角).
注意：等边对等角指的是在同一个
三角形中的边和角.
如何证明等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线,底边上的高互相重合呢？
A
B
C
D
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角
板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重
物的绳子正好经过三角板底边中点，就说
房梁是水平的，你现在知道为什么吗?
由“三线合一”可知绳子一定
会垂直房梁，而绳子肯定是竖直的，
所以房梁是水平的．
利用性质，解决问题
例1、（1)若等腰三角形顶角为30°,则它的另外两个角为
；
（2）若等腰三角形一个底角为30°,则它的另外两个
角为___________________；
变式一：若等腰三角形一个内角为30°,则它的另外两个
角为_
；
变式二：若等腰三角形一个内角为90°,则它的另外两个
角为___________________；
变式三：若等腰三角形一个内角为120°,则它的另外两个
角为___________________；
（分类讨论思想)
注意：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角中的一个，而底角只能是锐角。
75°,75°
30°,120°
75°,75°或30°,120°
45°,45°
30°,30°
小试牛刀
2、如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°）,点D是BC边的中点
(1)
∠B=
度，∠C=
度
，
∠BAD=
度
，∠DAC=
度;
(2)写出图中所有相等的线段.
AB=AC
BD=CD=AD
45
45
45
45
A
B
C
D
小试牛刀
解得
x=36°，
解:∵AB=AC，∴∠ABC=∠C
∵BD=BC
∴∠ABC=∠C=∠BDC
∴∠BDC=∠A+∠ABD=
2x,
∴∠ABC=∠C=∠BDC=
2x,
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°
∴∠C=∠BDC，
∴∠A=∠ABD
∵BD=AD，
设∠A=
x,
∴
x+2x+2x=180°
则∠ABD=
x
如图，在△ABC中
，AB=AC，点D在AC上，且
BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
方程思想
典型例题
A
B
C
D
1、如图，在△ABC中，AB=AD=DC,∠BAD=20°，
则∠B=_______,
∠C=_______.
80°
40°
跟踪训练
2.如图，在△ABC中，AB=AC,
点D、E在BC上，
且AD=AE，求证：BD=CE
证明:作AH
⊥BC于H
∵
在△ABC中,AB=AC
∴
BH=CH
∵在△ADE中,
AD=AE
∴
DH=EH
∴
BH-DH=CH-EH
∴
BD=CE
证明:∵AB=AC,
AD=AE
∴∠B=∠C,
∠ADE=∠AED
∵∠ADB+∠ADE=180°
∠AED+∠AEC=180°
∴∠ADB=∠AEC
在△ABD和△ACE中
∠B
=
∠C
∠ADB=∠AEC
AB=AC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴BD=CE
H
谈谈你的收获！
顶角平分线（底边的中线、底边上的高）所在的直线是它的对称轴。
性质1：等边对等角
（等腰三角形两个底角相等）
性质2：三线合一
（等腰三角形顶角平分线、
底边上的中线、
底边上的高相互重合）
归纳总结、畅所欲言
求有关等腰三角形的问题，作顶角平分线、底边中线，底边的高是常用的辅助线；
必做题：课本81页习题13.3
1、4、7题
选做题：如图，∠MPN=20°，PA=AB=BC=CD，
则∠CDM=_____，∠DCN=_____。
D
C
B
N
M
P
A
课后作业
教师寄语：
“认真听讲只能及格，用心探究才能优秀”！学习是一个不断探索与发现的过程，只要我们用心思考、善于发现、及时总结，定会勇往直前、勇攀高峰！
