第2课时
含30°角的直角三角形的性质
【知识与技能】
1.熟练掌握含30°角的直角三角形的性质.
2.会利用性质解题.
【过程与方法】
通过直尺量取得到直观结论，然后加以证明。
【情感态度】
本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.
【教学重点】
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【教学难点】
巧妙运用性质解题.
一、情境导入，初步认识
用两个全等的含30°角的直角三角尺，试着把它们拼在一起，看能否拼成一个等边三角形，然后以小组为单位一起讨论可从中发现什么结论，并予以证明.
老师指导拼图，得出结论，并一起证明结论.
（1）在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
（2）在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
例1如图是火神山医院房屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4
m，∠A＝30°.立柱BC，DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝AB，DE＝AD.
∴BC＝×7.4＝3.7(m)．
又AD＝AB，
∴DE＝AD＝×3.7＝1.85(m)．
答：立柱BC的长是3.7
m，DE的长是1.85
m.
教师引导学生寻找图中含有30°角的直角三角形，并选择BC，DE所在直角三角形．
由学生口答后，找学生完成板书，其他同学对照．
【教学说明】
通过火神山医院房屋构件图激发学生爱国热情，使学生意识到数学服务与生活的意识。在直接求一条线段不易求的情况下，可以将其转化为求易求的两条线段的和或差进行计算.
智勇大闯关
下面我们将一起进入今天的闯关练习。闯关规则：每一关设置一道题，听到教师口令后再举手抢答（答对有奖哦）！准备好了吗？
例1
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
例2
如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( )
A．3
B．2
C.1.5
D．1
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
例3
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
例4
已知:等腰三角形的底角为15
°,腰长为20.求腰上的高.
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
教学说明：
通过游戏的形式活跃课堂氛围，突出小组团队意识。学生在愉悦中获取知识
三、师生互动，课堂小结
特殊直角三角形，运用性质先判断，30°所对的直角边，长度恰为斜边一半.
四：达标测试
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(
)
A．6米
B．9米
C．12米
D．15米
2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(
)
A．300a元
B．150a元
C．450a元
D．225a元
3.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.
4(共26张PPT)
第十三章
轴对称
13.3.2
等边三角形
学习目标
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点）
2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点）
知识回顾:
(1).等边三角形的性质
1.等边三角形的内角都相等,且都等于60
°
2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.
1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个内角都等于60
°的三角形是等边三角形.
3.有一个内角等于60
°的等腰三角形是等边三角形.
(2)
等边三角形的判定:
导入新课
问题引入
问题1
如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
分离
拼接
A
C
B
问题2
将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
讲授新课
含30°角的直角三角形的性质
一
性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
D
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，
因此AB=AD,
∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD=
AB.
你还能用其他方法证明吗？
证法1
证明：在△ABC
中，∵ ∠C
=90°，∠A
=30°,
∴ ∠B
=60°．
延长BC
到D，使BD
=AB，连接AD，
则△ABD
是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
已知：如图，在Rt△ABC
中，∠C
=90°，∠A
=30°.
求证：BC
=
AB．
A
B
C
D
证明方法：倍长法
∴ BC
=
AB．
∴BC
=
BD．
E
A
B
C
证明2：
在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵
∠B=
60°
，BE=BC.
∴
△BCE是等边三角形，
∴
∠BEC=
60°，BE=EC.
∵
∠A=
30°，
∴
∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°
=
30°.
∴
AE=EC，
∴
AE=BE=BC，
∴
AB=AE+BE=2BC.
∴ BC
=
AB．
证明方法：截半法
知识要点
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：
∵ 在Rt△ABC
中，
∠C
=90°，∠A
=30°，
A
B
C
∴ BC
=
AB．
√
判断下列说法是否正确：
1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．
2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。
3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
雷神三医院施工图
想一想： 图中BC、DE
分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
例1 如图是雷神山医院屋架设计图的一部分，点D
是斜梁AB
的中点，立柱BC，DE
垂直于横梁AC，AB
=7.4
cm，∠A
=30°，立柱BC、DE
要多长？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
解：∵DE⊥AC,BC
⊥AC,
∠A=30
°，
∴BC=
AB,
DE=
AD.
∴BC=
AB=
×7.4=3.7(m).
又AD=
AB,
∴DE=
AD=
×3.7=1.85
(m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
闯关规则：每一关设置一道题，听到教师口令后再举手抢答（答对有奖哦）！准备好了吗？
下面我们将一起进入今天的闯关练习。
例1
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
典例精析
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
D
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
+2分
例2
如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( )
A．3
B．2
C.1.5
D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.
E
C
+3
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
例3
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
解：
理由如下：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，
∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE，
∴△AED≌△BED(ASA)，
+5分
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝
∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴CD＝
AD＝
BD，即CD＝
DB.
方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
例4
已知:等腰三角形的底角为15
°,腰长为20.求腰上的高.
A
C
B
D
15
°
15
°
20
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15°
(已知),
∴∠DAC=
∠B+
∠ACB=
15°+15°=30°，
)
)
∴CD=
AC=
×20=10.
+4分
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
课堂小结
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用要点
含30°角的直角三角形的性质
找准30
°的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：直角三角形中
当堂达标
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(
)
A．6米
B．9米
C．12米
D．15米
2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(
)
A．300a元
B．150a元
C．450a元
D．225a元
B
B
3.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
解：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC=
AE=
BE=2.5．
