(共23张PPT)
一、新知引入
1、理解并掌握等腰三角形的性质.
2、经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.
学习目标:
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
腰
等腰三角形中，相等的两边叫做
，
另一边叫做
，两腰的夹角叫做
，腰和底边的夹角叫做
.
底边
顶角
底角
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，
再把它展开，得到的△ABC?是等腰三角形吗？为什么？它是轴对称图形吗？
.
活动（一）：动手操作
A
C
D
B
AC=AB,
△ABC是等腰三角形
二、探究新知
等腰三角形是轴对称图形
1、将剪出的等腰三角形ABC?沿折痕AD对折，找出重合的线段和角，填入表格。
重合的线段
重合的角
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B
与∠C.
∠BAD
与∠CAD
∠ADB
与∠ADC
2、猜想：由这些相等的角和线段，你能发现等腰三角形有什么性质吗？说一说你的猜想.
活动二：细心观察
大胆猜想
性质1：等腰三角形的两个底角相等
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
猜想与结论：
推理论证:
等腰三角形的两个底角相等
已知：在△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=?C.
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证
思考：如何构造两个全等的三角形？
活动三：合作探究
已知：
如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：
∠B=
∠C.
证明：
作底边BC的高线AD．
∴∠ADB=∠ADC=90°
AB=AC
(
已知
)
AD=AD
(公共边)
∴
Rt△BAD
≌
Rt△CAD
(HL)
∴
∠B=
∠C
(全等三角形的对应角相等)
方法一：作底边的高线
在Rt△BAD和Rt△CAD中
A
B
C
D
等腰三角形的两个底角相等
解：∵△BAD≌
△CAD，
由全等三角形的性质易得
BD=CD，∠BAD=∠CAD.
即等腰△ABC顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的中线、底边BC上的高相互重合
.
A
B
C
D
已知：
如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：
∠B=
∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，则
BD=CD
AB=AC
(
已知
)
BD=CD
(
已作
)
AD=AD
(公共边)
∴
△BAD≌
△CAD
(SSS)
∴
∠B=
∠C
(全等三角形的对应角相等)
在△BAD和△CAD中
方法二：作底边上的中线
等腰三角形的两个底角相等
已知：
如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：
∠B=
∠C.
A
B
C
D
方法三：作顶角的平分线
证明：
作顶角的平分线AD，则
∠BAD=∠CAD
AB=AC
(
已知
)
∠BAD=∠CAD
(
已作
)
AD=AD
(公共边)
∴
△BAD
≌
△CAD
(SAS)
∴
∠B=
∠C
(全等三角形的对应角相等)
在△BAD和△CAD中
等腰三角形的两个底角相等
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知）∴∠B=∠C(等边对等角)
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称等边对等角)
A
C
B
归纳总结
用符号语言表示为：
性质2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）
1、∵AB=AC，∠1=∠2(已知)
2、∵AB=AC，
BD=CD
(已知)
3、∵AB=AC，
AD⊥BC(已知)
如图,在△ABC中,
性质2，用符号语言表示为：
A
B
C
D
1
2
BD=CD，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
∠1=∠2，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
BD=CD，∠1=∠2（等腰三角形三线合一）
∴
∴
∴
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、腰上的中线和高，看看它们是否重合？
“三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高
问题：
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是什么？
1、等腰三角形的顶角一定是锐角。
2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以。
3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。
4、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。
5、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶
角的平分线。
判断正误：
（
）
X
X
（
）
X
（
）
√
（
）
小试牛刀
（
）
X
75°，
30°
72°,72°或36°,108°
小试牛刀
30°，30°
.
(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为
;
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为
;
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为
填空：
注意：1.等腰三角形的底角只能是锐角
2.体现了分类讨论的数学思想
例1
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，
且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数
解析：
(1)图中共有几个等腰三角形？
(2)图中有哪些相等的角，设∠A为x，
你能分别表示出图中其它各角吗？
(3)你能求出△ABC各角的度数吗?
D
B
A
C
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
例题解析
在△ABC中,
∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
解得x=36°,
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC=
∠A+
∠ABD=2x,
从而
∠ABC=
∠C=
∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,
∵AB=AC，BD=BC=AD，
解：
例1
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，
且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数
方程思想
1、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30。求∠１和∠ADC的度数．
四、巩固练习
A
B
C
1
2
D
解：
∵AB
=
AC，AD是BC边上的中线
∴
∠ADC=
∠ADB
=
90°
在Rt△ABD中，∠1+∠B=90°
∴
AD⊥BC，∠1
=
∠
2（三线合一）
∴
∠C
=∠B=30°（等边对等角）
∴∠1=90°-∠B=60°
②性质1------
①从整体看-----
③性质2-----
②分类思想，方程思想
轴对称图形
等腰三角形两底角相等（简称“等边对等角”）
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称三线合一）
①作辅助线
1.你学到了哪些知识？
2.你学到的方法和数学思想有？
五、课堂小结
1、必做题：
习题13.3
第1、4、6题
2、选做题：
习题13.3
第14题第十三章
轴对称
《13.3.1等腰三角形(1)》教学设计
教学目标
1、知识与技能目标
（1）了解等腰三角形的有关概念。
（2）掌握等腰三角形的性质，并会运用性质解决相关问题。
2、过程与方法目标
通过探索等腰三角形的性质，体验用实验、猜想、证明获得数学结论的过程。
3、情感态度与价值观目标
（1）通过探究等腰三角形性质的活动，培养学生自主、合作学习的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。
（2）通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识解决问题的能力，发展应用意识。
教学重点及难点
重点：
理解和掌握等腰三角形的性质。
难点：
证明等腰三角形性质1时辅助线的添加和对性质2中“三线合一”的理解和应用。
教具：三角尺和多媒体课件
课时安排：
1课时
教学过程：
1、新知引入
1、在我们日常生活中，处处都能看到几何图形的身影，同学们看一下这些图片中都含有哪种几何图形？
2、知识回顾：
（1）什么是等腰三角形？
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形的有关概念
等腰三角形中，相等的两边叫做
，另一边叫做
，两腰的夹角叫做
，腰和底边的夹角叫做
。
（3）如图，在三角形ABC中，AB=AC说出各部分的名称。
等腰三角形除了两腰相等之外，还有其他什么性质呢？今天我们就来深入探究一下。
二、探究新知
活动1:动手操作
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，
再把它展开，得到的△ABC是等腰三角形吗？为什么？它是轴对称图形吗？
学生上台演示，回答问题。
活动2：细心观察
大胆猜想
1、将剪出的等腰三角形ABC?沿折痕AD对折，找出重合的线段和角，填入表格。
重合的线段
重合的角
2、猜想：由这些相等的角和线段，你能发现等腰三角形有什么性质吗？说一说你的猜想。
学生思考，口述猜想结果。
3、猜想与结论（教师展示猜想结果）
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
师：以上是通过观察得出的猜想，能否通过证明验证猜想的正确性呢？
活动3：合作探究
师：由上面折叠的过程获得启发，我们可知折痕两边的三角形全等，可以构造全等的三角形来证明这些性质。
小组合作探究证明性质1：等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形的性质1的证明：
证法1：如图，在△ABC中，AB＝AC，作底边BC的高线AD．
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．
∴∠B＝∠C．
师：从△ABD≌△ACD中除了能得到∠B＝∠C
,你还能发现什么?
生：∠BAD=∠CAD，AD⊥BC
师生活动，由三角形全等后相等的线段和角，可证明第二个猜想，等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
引导学生用另外两种方法证明性质1和2。
证法2：如图，在△ABC中，AB＝AC，作底边BC的中线AD，
则BD＝CD
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠B＝∠C．
证法3：如图，在△ABC中，AB＝AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，
∴∠1＝∠2．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴∠B＝∠C．
归纳总结：
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称等边对等角)
性质2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）
引导学生用符合语言表示这两个性质：
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称等边对等角)
用符号语言表示为：如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知）
∴∠B=∠C(等边对等角)
性质2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）
用符号语言表示为：
如图,在△ABC中,
1、∵AB=AC，∠1=∠2(已知)
∴
BD=CD，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
2、∵AB=AC，
BD=CD
(已知)
∴
∠1=∠2，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
3、∵AB=AC，
AD⊥BC(已知)
∴
BD=CD，∠1=∠2（等腰三角形三线合一）
问题：“三线合一”是等腰三角形的任意三条线吗？
生：不是，而是等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高。
师：通过前面的推论和验证，我们知道等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是什么？
生：顶角的平分线所在的直线。
师生活动，引导学生用三种方式说出等腰三角形的对称轴，既可以是顶角的平分线所在的直线，也可以说是底边上的中线所在的直线，也可以说是底边上的高所在的直线。
小试牛刀
一、判断正误：
1、等腰三角形的顶角一定是锐角。
（
）
2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以。（
）
3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。（
）
4、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。
（
）
5、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶
角的平分线。（
）
二、填空：
1、等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为（
）。
2、等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为
（
）。
3、等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为（
）。
通过练习，进一步理解等腰三角形的性质，并用分类讨论思想分析等腰三角形中的角或边的问题。
三、应用新知
体验成功
例1
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数。
解析：
(1)图中共有几个等腰三角形？
(2)图中有哪些相等的角，设∠A为x，
你能分别表示出图中其它各角吗？
(3)你能求出△ABC各角的度数吗?
（课件演示）
解：因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．
总结：通过逻辑推理和方程思想求出等腰三角形中的角的度数，让学生进一步巩固等腰三角形的性质“等角对等边”。
四、巩固练习
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30。
求∠１和∠ADC的度数。
先引导学生用学过的两个性质，分析题目中各线段和角的关系，然后通过这些关系最终求出角的度数，并让学生用不同方法求解。
五、课堂小结
1.本节课你有什么收获？
（1）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（或顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴。
（2）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
（3）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
2.老师总结：等腰三角形的“等边对等角”“三线合一”的性质是说明线段相等、角相等的常用方法。
3.你学到了哪些方法和数学思想？
六、作业
1、必做题：
习题13.3
第1、4、6题
2、选做题：
习题13.3
第14题
七、板书设计
13.3.1等腰三角形（1）
1、
定义：
2、
性质1：“等边对等角”
性质2：“三线合一”
3、
轴对称图形
4、
