人教版初中数学八年级上册
§13．3．2．2
含30°角的直角三角形的性质
教学目标
（一）教学知识点
1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．
2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
（二）过程与方法
1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．
2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．
（三）情感与价值观要求
1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．
2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．
教学重点
含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
教学难点
1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
2．引导学生全面、周到地思考问题．
教学方法
探索发现法．
教具准备
两个全等的含30°角的三角尺；
多媒体课件；
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？
问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
Ⅱ．导入新课
（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）
[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下三角形．
其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
[生]图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．
[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？
[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半．
[师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？
[生]可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=BC．所以BD=AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD是斜边AB的一半．
[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．下面我们一同来完成这个定理的证明过程．
证明：．
∵∠ACB=60°，
∴∠ACD=90°．
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
∴BC=BD=AB．
借助这个图形,我们找到了Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系
归纳结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30
°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形的性质：
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言:
∵在Rt△ABC中,
∠C=90
°,
∠A＝30°
∴BC=
1/2
AB（或AB=2BC）
注意：该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用！
直角三角形性质的作用：
1.见直角三角形，找30°角
2.见30°角，构造直角三角形
练习1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，且斜边AB＝12.
则BC=______；
变式2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B=2∠A，
且斜边AB＝12.
则BC=———；
练习2：在△ABC中，∠A：∠B：
∠C
＝1:2:3，且AB＝12.
则BC=———
[师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．
（演示课件）
[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE
垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所
以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB．
解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知
BC=AB，DE=AD，
所以BD=×7.4=3.7（m）．
又AD=AB，
所以DE=AD=×3.7=1.85（m）．
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．
[师]下面我们来做练习．
Ⅲ．反馈练习
1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，BD=6cm，
则AB的长度是________
变式2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，AB=6cm，
则BD的长度是_________
变式3：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，
求证：AB=4BD。
证明：在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC．
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴∠BCD=30°．
∴BC=2BD．
∴AB=4BD．
Ⅳ．课时小结
这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．
Ⅴ．课后作业
课本P81:1,2,3,4题．
板书设计
§14．3．2．2
等边三角形（二）
一、定理的探究
定理：在直角三角形中，有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
二、范例分析
三、随堂练习
四、课时小结
五、课后作业
-
4
-(共23张PPT)
----含30°角的直角三角形的性质
八年级上册数学
13.3.2第2课时
教学目标：
1.
继续探索等边三角形有关概念的应用。
2.
理解30°角的直角三角形的有关结论及应用。
教学重点：掌握30°角的直角三角形的有关性质。
教学难点：对30°角的直角三角形的性质应用。
。
。
3.有一角等于60°的等腰三角形
等
边
三
角
形
判
定
性质与边角关系
概
念
图
形
名称
A
B
C
三边相等的三角形是等边三角形
。
2.三个内角相等，每个内角等于60°
3.
三线合一
4.是轴对称图形.
2.三角相等
1.三边相等
1.三边相等
用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.
【活动1】
结论：短直角边=斜边
活动2：用两个全等的含30°角的直角三角尺，
你能拼出一个等边三角形吗？请说说
你的理由。
B
A
C
D
30°
活动2：用两个全等的含30°角的直角三角尺，
你能拼出一个等边三角形吗？请说说
你的理由。
B
A
C
D
30°
∵
∠B=
∠D=60°
∠BAC+
∠DAC
=30°+30°=60°
∴△ABD是等边三角形
∴
AB=BD=AD
∴BC=
BD
=
AB
活动2：用两个全等的含30°角的直角三角尺，
你能拼出一个等边三角形吗？请说说
你的理由。
B
A
C
D
30°
∵
∠B=
∠D=60°
∠BAC+
∠DAC
=30°+30°=60°
∴△ABD是等边三角形
∴
AB=BD=AD
∴BC=
BD
=
AB
借助这个图形,我们找到了Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系
归纳结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30
°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形的性质：
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
∵在Rt△ABC中,
∠C=90
°,
∠A＝30°
∴BC=
AB（或AB=2BC）
几何语言：
B
A
C
30°
注意：该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用！
直角三角形的性质：
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形性质的作用：
1.见直角三角形，找30°角
2.见30°角，构造直角三角形
练习1：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，且斜边BC＝12.
则AC=———；
A
B
C
变式1：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，且BC+AC＝12.
则AC=———；
A
B
C
变式2：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C=2∠B，
且斜边BC＝12.
则AC=———；
A
B
C
练习2：
在△ABC中，∠A：∠B：
∠C
＝1:2:3，
且AB＝12.
则BC=———；
例
如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,
AB＝7.4m,∠A＝30°，立柱BC
、
DE要多长?
A
B
D
E
C
30°
7.4
∴BC=
AB
=
×
7.4
=3.7（m）
A
B
D
E
C
解：∵AB=7.4m
D是AB的中点
∵DE⊥AC，BC⊥AC
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）
答：立柱BC长为3.7m，DE长为1.85m。
∴AD=
AB=
×
7.4=3.7（m）
∴∠AED=∠ACB=90°
∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°
∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠A=30°
∴DE=
AD
=
×
3.7
=1.85（m）
30°
7.4
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边
AB上的高，∠A=30°，BD=6cm，
则AB的长度是
A
D
B
C
24cm
30°
6
？
60°
30°
12
变式2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD
是斜边AB上的高，∠A=30°，AB=6cm，
则BD的长度是
A
D
B
C
1.5cm
30°
6
？
60°
30°
3
变式3：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD
是斜边AB上的高，∠A=30°，
求证：AB=4BD。
A
D
B
C
30°
60°
30°
今天我学了什么
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于
的一半。
斜边
今天我学了什么
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
直角三角形性质的作用：
1.见直角三角形，找30°角
2.见30°角，构造直角三角形
课本81页1.2.3.4题
今天的作业
下课了!
