北师大版九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程 同步测试题(word版 含解析)

10490200106934001231900002.5 二次函数与一元二次方程 同步测试题
（满分120分；时间：120分钟）
一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ， ）
?1. 二次函数y＝x2-2x+1的图象与坐标轴的交点个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
?
2. 函数y＝mx2+(m+2)x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A.0 B.0或2 C.0或2或-2 D.2或-2
?
3. 方程x2+3x-1=0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3-x-1=0的实数根x0所在的范围是（ ）
A.-1?
4. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y与自变量x的四组对应值如表所示
x
6.15
6.18
6.21
6.24
y
0.02
-0.01
0.02
0.11
则方程ax2+bx+c=0的根的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
?
5. 已知一次函数y1=4x，二次函数y2=2x2+2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系正确的是（ ）
A.y1>y2 B.y1≥y2 C.y1?
6. 抛物线y=x2+kx-1与x轴交点的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.以上都不对
?
7. 如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（? ? ? ? )
A.-15 C.x<-1且x>5 D.x<-1或x>5
?
8. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点A(1,?0)，对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是(? ? ? ? )

A.(-1,0) B.(-2,?0) C.(-3,?0) D.(-4,0)
?
9. 小明利用二次函数的图象估计方程x2-2x-2=0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2-2x-2=0必有一个实数根在（ ）
x
1.5
2
2.5
3
3.5
x2-2x-2
-2.75
-2
-0.75
1
3.25
A.1.5和2之间 B.2和2.5之间 C.2.5和3之间 D.3和3.5之间
二、 填空题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ， ） ?
10. 函数y1＝-x2+2x+4，y2＝x+2，则使y1≥y2的x的取值范围是________．
?
11. 二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示．当y<0时，自变量x的取值范围是________．
?12. 如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知方程ax2+bx+c=0的解是________，________．
?
13. 已知二次函数y=-x2+4x+m的部分图象如图，则关于x的一元二次方程-x2+4x+m=0的解是________．
14. 已知函数y=x2+ax+6（a是实数）中，y的取值范围是y≥0，若关于x的不等式x2+ax+6?
15. 令a、b、c三个数中最大数记作max{a,?b,?c}，直线y=12x+t与函数y=max{-x2+4,?x-2,?-x-2}的图象有且只有3个公共点，则t的值为________．
?
16. 已知关于x的函数y=(m-1)x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m=________．
?17. 二次函数?y=ax2+3x-c?的对称轴是直线?x=c?，则该函数图象与x轴的交点个数为_______个.
?
18. 已知抛物线C1:y＝x2-3x-10及抛物线C2:y＝x2-(2a+2)x+a2+2a（其中a为常数）．当-2?
19. 已知抛物线y=x2+(m+1)x+m-1与x轴交于A，B两点，顶点为C，则△ABC面积的最小值为________．
?
20. 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，根据图象可以得到方程ax2+bx+c=0的一个根在________与________之间，另一个根在________与________之间．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计60分 ， ） ?
21. 我们在求方程x2+2x-6=0的近似根时，可以将原方程变形为-12x2+3=x，然后在同一直角坐标系中画出函数y=-12x2+3和y=x的图象，发现-4?
22. 已知二次函数y=x2-4x-5，画出这个二次函数的图象，根据图象回答下列问题：
(1)方程x2-4x-5=0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？
?
23. 已知函数y=-x2+2x+c的部分图象如图所示，
（1）写出抛物线与x轴的另外一个交点坐标并求c值；???
（2）观察图象直接写出不等式-x2+2x+c>0的解集．
?
24. 已知二次函数y=-x2+2bx的图象经过原点及x轴上正半轴另一点A，设此二次函数图象的顶点为B．
（1）若△OAB是等腰直角三角形，求b的值；
（2）利用二次函数y=-x2+2bx的图象，试求不等式-x2+2bx+3>0的解集．
?
25. 已知函数y1=x2-2x-3．
（1）画出图象，求当y随着x的增大而减小时x的取值范围？
（2）设图象交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于C点，求△ACB的面积；
（3）直线y2=kx+b经过B，C两点，直接写出x在什么范围时，y1>y2？
?
26. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c>0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k取值范围．
参考答案
一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ）
1.
【答案】
C
【解答】
解：Δ=b2-4ac=4-4=0
函数图象与x轴有一个交点．
当x=0时，y=
…．函数图象与y轴有一个交点，
：二次函数图象与坐标轴有2个交点．
故选：C．
2.
【答案】
C
【解答】
∵ 函数y＝mx2+(m+2)x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴ 当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝-0.5，该函数与x轴有一个交点，
当m≠0时，函数y＝mx2+(m+2)x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，则△＝(m+2)2-4m(12m+1)＝0，解得，m1＝2，m2＝-2，
由上可得，m的值为0或2或-2，
3.
【答案】
C
【解答】
解：方程x3-x-1=0，
∴ x2-1=1x，
∴ 它的根可视为y=x2-1和y=1x的交点的横坐标，
当x=1时，x2-1=0，1x=1，交点在x=1的右边，
当x=2时，x2-1=3，1x=12，交点在x=2的左边，
又∵ 交点在第一象限．
∴ 1故选C．
4.
【答案】
C
【解答】
解：利用图表中数据可得出二次函数的大体图象，如图所示：
即图象与x轴交点个数为2个，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2．
故选：C．
5.
【答案】
D
【解答】
由y=4xy=2x2+2?消去y得到：x2-2x+1=0，
∵ △=0，
∴ 直线y=4x与抛物线y=2x2+2只有一个交点，如图所示，
观察图象可知：y1≤y2，
6.
【答案】
C
【解答】
解：
∵ 抛物线y=x2+kx-1，
∴ 当y=0时，则0=x2+kx-1，
∴ △=b2-4ac=k2+4>0，
∴ 方程有2个不相等的实数根，
∴ 抛物线y=x2+kx-与x轴交点的个数为2个，
故选C．
7.
【答案】
D
【解答】
解：由图象得：对称轴是x=2，
其中一个点的坐标为(5,?0)，
∴ 图象与x轴的另一个交点坐标为(-1,?0)．
利用图象可知：
ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集，
∴ x<-1或x>5．
故选D.
8.
【答案】
C
【解答】
解：抛物线与x轴的另一个交点为B(b,?0)，
∵ 抛物线与x轴的一个交点A(1,?0)，对称轴是x=-1，
∴ 1+b2=-1，解得b=-3，
∴ B(-3,?0)．
故选C．
9.
【答案】
C
【解答】
解：根据表格得，当2.5则方程x2-2x-2=0必有一个实数根在2.5和3之间．
故选C．
二、 填空题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ）
10.
【答案】
-1≤x≤2
【解答】
y1＝-x2+2x+4＝-(x-1)2+5，
在同一直角坐标系中画出y1＝-x2+2x+4，y2＝x+2的图象，如图
解方程-x2+2x+4＝x+2得x＝-1或2，
所以A点和B点的横坐标分别为-1，2．
当y1>y2，即抛物线在一次函数图象上方所对应的自变量的取值范围为-1所以使y1≥y2的x的取值范围是-1≤x≤2．
11.
【答案】
-1【解答】
解：∵ 二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示．
∴ 图象与x轴交在(-1,?0)，(3,?0)，
∴ 当y<0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：-1故答案为：-112.
【答案】
x1=-1,x2=5
【解答】
解：由图象可知对称轴x=2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x=2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是-1．
所以x1=-1，x2=5．
故答案是：x1=-1，x2=5．
13.
【答案】
x1=-1，x2=5
【解答】
解：根据图示知，
二次函数y=-x2+4x+m的对称轴为x=2，与x轴的一个交点为(5,?0)，
根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的另一个交点横坐标与点(5,?0)关于对称轴对称，即x=-1，
则另一交点坐标为(-1,?0)
则当x=-1或x=5时，函数值y=0，
即-x2+4x+m=0，
故关于x的一元二次方程-x2+4x+m=0的解为
x1=-1，x2=5．
故答案为：x1=-1，x2=5．
14.
【答案】
9
【解答】
解：∵ 函数y=x2+ax+6（a是实数）中，y的取值范围是y≥0，
∴ △=a2-24=0，
∴ a2=24，
∵ 关于x的不等式x2+ax+6∴ 2m+6=-a，m(m+6)=6-c，
∴ m=-6+a2，
c=6-m(m+6)=6+6+a2(-6+a2+6)=15-a24，
∴ c=15-244=9．
故答案为：9．
15.
【答案】
1或6516
【解答】
解：在直角坐标系中画出函数y=max{-x2+4,?x-2,?-x-2}的图象，如图所示．
当直线y=12x+t经过(-2,?0)或与抛物线y=-x2+4相切时，
直线y=12x+t与函数y=max{-x2+4,?x-2,?-x-2}的图象有且只有3个公共点．
①若直线y=12x+t经过(-2,?0)，
则有0=12×(-2)+t，
解得t=1；
②若直线y=12x+t与抛物线y=-x2+4相切，
则关于x的方程12x+t=-x2+4即x2+12x+t-4=0有两个相等的实数根，
则△=(12)2-4×1×(t-4)=0，
解得t=6516．
综上所述：t=1或6516．
故答案为1或6516．
16.
【答案】
1或0或1±52
【解答】
解：(1)当m-1=0时，m=1，函数为一次函数，解析式为y=2x+1，与x轴交点坐标为(-12,?0)；与y轴交点坐标(0,?1)．符合题意．
(2)当m-1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x轴有两个不同的交点，
于是△=4-4(m-1)m>0，
解得，(m-12)2<54，
解得m<1+52或m>1-52．
将(0,?0)代入解析式得，m=0，符合题意．
(3)函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与Y轴交于交于另一点，
这时：△=4-4(m-1)m=0，
解得：m=1±52．
故答案为：1或0或1±52．
17.
【答案】
2
【解答】
解：二次函数 y=ax2+3x-c 的对称轴是直线 x=c，
∴ -32a=c，
∴ 2ac=-3，
∴ 一元二次方程 ax2+3x-c=0 的根的判别式
Δ=32-4a(-c)=9+2×2ac=9+2×(-3)=3>0，
∴ 一元二次方程 ax2+3x-c=0 有两个不等的实数根，
∴ 该函数图象与x轴的交点个数为2个.
故答案为：2.
18.
【答案】
-4【解答】
在y＝x2-3x-10中，令y＝0，则x2-3x-10＝0，
解得：x1＝-2，x2＝5，
∴ 抛物线C1与x轴的交点坐标为(-2,?0)，(5,?0)，
在y＝x2-(2a+2)x+a2+2a中，令y＝0，则x2-(2a+2)x+a2+2a＝0，
解得：x1＝a，x2＝a+2，
∵ 当-2∴ a≤-2a+2>-2a+2≤5?，
解得：-4∴ a的取值范围是：-419.
【答案】
1
【解答】
解：
设抛物线与x轴交于A(x1,?0)，B(x2,?0)，令y=0，可得x2+(m+1)x+m-1=0，
∴ x1+x2=-(m+1)，x1x2=m-1，
∴ AB=|x1-x2|=(m+1)2-4m+4=m2-2m+5，点C的纵坐标是-14(m2-2m+5)，
∴ 三角形ABC的面积=12×m2-2m+5×14(m2-2m+5)，
又∵ m2-2m+5的最小值是4，
∴ 三角形ABC的面积的最小值是1．
故答案为1．
20.
【答案】
-1,0,2,3
【解答】
解：∵ 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有两个，一个在-1与0之间，另一个在2与3之间；
∴ 方程ax2+bx+c=0的一个根在-1与0之间，另一个根在2与3之间．
故答案为：-1，0，2，3．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）
21.
【答案】
解：移项，得
x3=6x-12，
在同一平面直角坐标系内画出y=x3与y=6x-12的图象，如图，
方程x3-6x+12=0在实数范围内有0个解．
【解答】
解：移项，得
x3=6x-12，
在同一平面直角坐标系内画出y=x3与y=6x-12的图象，如图，
方程x3-6x+12=0在实数范围内有0个解．
22.
【答案】
解：给出x的部分值，求出相应的y值，
列成如下表格：
按照表格中的数据在平面直角坐标系内，作出5个点：
A(-1,?0)、C(0,?5)、D(2,?-9)、E(4,?-5)、B(5,?0)，
用平滑的曲线将5个点连接起来，即得函数的图象．
(1)由图象可知：x1=-1，x2=5．
(2)由图象可知：当x<-1或x>5时，y>0；
当-1【解答】
解：给出x的部分值，求出相应的y值，
列成如下表格：
按照表格中的数据在平面直角坐标系内，作出5个点：
A(-1,?0)、C(0,?5)、D(2,?-9)、E(4,?-5)、B(5,?0)，
用平滑的曲线将5个点连接起来，即得函数的图象．
(1)由图象可知：x1=-1，x2=5．
(2)由图象可知：当x<-1或x>5时，y>0；
当-123.
【答案】
解：（1）易得对称轴为1，根据抛物线的对称性，可得抛物线与x轴两交点到对称轴的距离相等，
那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为1-(3-1)=-1，纵坐标为0．
∴ 抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,?0)．
将(3,?0)代入y=-x2+2x+c得：
0=-9+6+c，
解得：c=3．
（2）根据图象得二次函数y=-x2+2x+c的图象与x轴交点坐标为(-1,?0)、(3,?0)，
而-x2+2x+c>0，
即y>0，
∴ -1【解答】
解：（1）易得对称轴为1，根据抛物线的对称性，可得抛物线与x轴两交点到对称轴的距离相等，
那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为1-(3-1)=-1，纵坐标为0．
∴ 抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,?0)．
将(3,?0)代入y=-x2+2x+c得：
0=-9+6+c，
解得：c=3．
（2）根据图象得二次函数y=-x2+2x+c的图象与x轴交点坐标为(-1,?0)、(3,?0)，
而-x2+2x+c>0，
即y>0，
∴ -124.
【答案】
解：（1）∵ △OAB是等腰直角三角形，
∴ 设B点横坐标为：a，则OA=2a，
故B点纵坐标为；(a,?a)，
则a=-a2+2ba，-2b2×(-1)=a，则a=b，
故整理得：a2-a=0，
解得：a1=0（不合题意舍去），a2=1，
故b=1；
（2）由（1）得：y=-x2+2x，
则y=-x2+2x+3是y=-x2+2x向上平移3个单位得到的，
故y=0时，0=-x2+2x+3
解得：x1=-1，x2=3，
如图所示：不等式-x2+2bx+3>0的解集为：-1【解答】
解：（1）∵ △OAB是等腰直角三角形，
∴ 设B点横坐标为：a，则OA=2a，
故B点纵坐标为；(a,?a)，
则a=-a2+2ba，-2b2×(-1)=a，则a=b，
故整理得：a2-a=0，
解得：a1=0（不合题意舍去），a2=1，
故b=1；
（2）由（1）得：y=-x2+2x，
则y=-x2+2x+3是y=-x2+2x向上平移3个单位得到的，
故y=0时，0=-x2+2x+3
解得：x1=-1，x2=3，
如图所示：不等式-x2+2bx+3>0的解集为：-125.
【答案】
解：（1）列表
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
0
-3
-4
-3
0
…
描点、连线，画出函数图象如图所示，
∴ 当y随着x的增大而减小时x的取值范围为x≤1．
（2）当y1=x2-2x-3=0时，x1=-1，x2=3，
∴ A(-1,?0)，B(3,?0)；
当x=0时，y1=x2-2x-3=-3，
∴ C(0,?-3)．
∴ AB=4，OB=3，
∴ S△ACB=12AB?OC=12×4×3=6．
（3）在图中画出y2=kx+b的图象，
观察图象，可知：当x<0或x>3时，抛物线在直线的上方，
∴ 当x<0或x>3时，y1>y2．
【解答】
解：（1）列表
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
0
-3
-4
-3
0
…
描点、连线，画出函数图象如图所示，
∴ 当y随着x的增大而减小时x的取值范围为x≤1．
（2）当y1=x2-2x-3=0时，x1=-1，x2=3，
∴ A(-1,?0)，B(3,?0)；
当x=0时，y1=x2-2x-3=-3，
∴ C(0,?-3)．
∴ AB=4，OB=3，
∴ S△ACB=12AB?OC=12×4×3=6．
（3）在图中画出y2=kx+b的图象，
观察图象，可知：当x<0或x>3时，抛物线在直线的上方，
∴ 当x<0或x>3时，y1>y2．
26.
【答案】
解：（1）由图象可知，图象与x轴交于(1,?0)和(3,?0)点，则方程ax2+bx+c=0的两个根为1和3；
（2）由图象可知当10；
（3）由图象可知，y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为x=2，开口向下，
即当x>2时，y随x的增大而减小；
（4）由图象可知，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为2，
若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k必须小于y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值，
则k<2．
【解答】
解：（1）由图象可知，图象与x轴交于(1,?0)和(3,?0)点，则方程ax2+bx+c=0的两个根为1和3；
（2）由图象可知当10；
（3）由图象可知，y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为x=2，开口向下，
即当x>2时，y随x的增大而减小；
（4）由图象可知，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为2，
若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k必须小于y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值，
则k<2．