北师大版高中数学必修四1.3弧度制 课件（21张ppt）

(共21张PPT)
1.3弧度制
60°
90°
规定周角的1/360为1度的角，
问题一：弧度的概念
问题1：在平面几何中，1度的角是怎样
定义的？
这种用度做单位来度量角的制度叫角度制。
提出问题
在日常生活中，度量长度和重量时，根据不同的需要可以用不同的单位来表示。
从而我们知道不同的单位制能给我们解决问题带来方便，那么角的度量是否也能用不同单位制呢？
探究问题
．
．
1、在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的
弧长一一对应.
因此，可用半径度量弧长的方法定义角的大小.
2、当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧
长不相等.
探究问题
观察下表，
思考同样的圆心角所对的弧长与半径有怎样的关系？
弧长/cm
0.80
0.86
1.21
2.35
半径/cm
0.93
1.00
1.40
2.71
弧长与半径之比
0.86
0.86
0.86
0.86
得出结论：当圆的半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数。我们称这个常数为该角的弧度数。
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫
做1弧度的角。“弧度”常用“rad”表示。
1弧度
r
L=r
O
A
B
设弧AB的长为L，
若L=r，
则∠AOB=
L
r
=
1
弧度
若L=2r，则∠AOB
L
r
=
=
2
弧度
问题2：在平面几何中，1弧度的角是怎样
定义的？
3
r
r
3
rad
若L=3r，则∠AOB
L
r
=
=
3
弧度
若圆心角∠AOB表示一个负角，且
它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧
度数的绝对值是
L
r
=
3，
L=3r
O
A
B
r
-3弧度
即∠AOB=－
L
r
=
－3弧度
正角的弧度数
正数
负角的弧度数
负数
零角的弧度数
零
正角
负角
零角
正数
负数
0
任意角的集合
实数集R
任一已知角α的弧度数的绝对值
其中
为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r为圆的半径.
(弧长计算公式)
=
|α|
r
A
2π弧度
l=2
π
r
O
（B）
r
l
r
=
若l=2
π
r，则∠AOB=
此角为周角
即为360°
360°=
2π
弧度
180°=
π
弧度
2π弧度
问题二：度与弧度的换算
由180°=
π
弧度
可得：
1°=
——
弧度
≈
0．01745弧度
180
π
1弧度
=（——）°≈
57．30°=
57°18′
π
180
小问题2：根据度与弧度的换算关系，下表中各特
殊角对应的弧度数分别是多少？
角
度
0o
30o
45o
60o
90o
120o
弧
度
角
度
135o
150o
180o
270o
360o
弧
度
1、用弧度为单位表示角的大小时，
“弧度”二字通常省略不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角,但用“度”（°）为单位不能省略。
2、用弧度为单位表示角时，通常写
成“多少π”的形式。如无特别要求，不用将π化成小数。
注意：
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；
的大小，而　　是圆的　　　所对的圆心角（或该弧）
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一
个与圆的半径大小无关的定值．
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，
直角：
{θ|θ=90°}
钝角：
{θ|90°＜θ＜180°}
平角：
{θ|θ=180°}
周角：
{θ|θ=360°}
0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}；
小于90°角：{θ|θ＜90°}
0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°}
0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
练习：请用弧度制表示下列角度的范围。
三、例题
例1：把67°30′化成弧度。
例2：把
—π
弧度化成度。
5
3
解：
解：
例3
计算：
（1）　　　；（2）　　　．
解：（1）∵
　　
　∴
（2）∵
∴
例4利用弧度制证明扇形面积公式
，其中
是扇形的弧长，R是圆的半径。
弧长公式：
即弧长等于弧所对的圆心角的弧度数的绝对值与半径的乘积。
（1）　　　；（2）　　　；（3）　　　．
把下列各角化成　　　　　　　　　　　　的形式：
例5
四、课堂小结：
1.弧度制定义
2.角度与弧度的互化
3.特殊角的弧度数
0
弧度
150°
135°
120
°
90
°
60
°
45
°
30
°
0°
度
用弧度制表示
（1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
（2）第Ⅱ象限角的集合
思考与作业：