第3课时
角平分线的判定
【知识与技能】
探索角平分线的逆定理.
【过程与方法】
通过探索角平分线逆定理的过程，体会这个定理的作用，增强几何空间意识.
【情感与态度】
培养良好的逻辑推理能力.
【教学重点】
重点是掌握角平分线的逆定理.
【教学难点】
难点是运用角平分线定理简化证明线段相等的问题.
一、导入新知
写出上面角平分线性质定理的逆命题.
这逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并指出证明.
【归纳结论】角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
【教学说明】通过逆向证明培养学生的逆向思维，巩固理解角的性质定理与逆定理.
二、情境合一，优化思维
思考：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，则点P与∠AOB有什么特殊关系？
【教学说明】通过实际案例使学生从抽象的理解上升到具体的图形关系上来.
三、例题讲解
课本第145页例题
学生活动：参与教师分析，明确证明思路是应用角平分线逆定理进行证明.
【证明】过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB，垂足分别为M，N，Q.
∵BE是∠B的平分线，点P在BE上.
∴PQ=PM.
同理可证：PN=PM.
∴PN=PQ.
∴AP平分∠BAC.
教师提问：从这个范例中，你能发现什么结论呢？
学生活动：思考后回答，三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.
四、运用新知，深化理解
1.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，且OB=OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO=∠CED=90°.
又∵OB=OC，（已知）∠BOD=∠COE，（对顶角相等）
∴△BOD≌△COE（AAS）
∴OD=OE.
∴点O在∠BAC的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
2.如图所示，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD⊥OA于点D，E为OA上一点，∠PEO+∠PFO=180°.求证：OE+OF=2OD.
证明：如图所示，过点P作PM⊥OB于点M.
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，（已知）
∴PD=PM.（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△POD和Rt△POM中，
∴Rt△POD≌Rt△POM，（HL）
∴OD=OM.（全等三角形的对应边相等）
又∵∠PEO+∠PFO=180°，（已知）
∠PFM+∠PFO=180°，（平角定义）
∴∠PED=∠PFM.
又∵PD⊥OA，PM⊥OB，（已知）
∴∠PDE=∠PMF=90°.（垂直定义）
在△PBE和△PMF中，
∴△POE≌△PMF，（AAS）
∴DE=MF，（全等三角形的对应边相等）
∴OE+OF=（OD+DE）+（OM-MF）=OD+DE+OD-DE=2OD.（等量代换）
五、师生互动，课堂小结
教师引导下，学生自主总结，主要问题有：
1.这两个定理之间有何区别？
2.你还能得到哪些结论？
完成练习册中相应的作业.
本节综合学习了角平分线的性质定理和逆定理，经历探索角平分线定理和逆定理的过程，体会这两个定理的作用，培养良好的逻辑思维能力.
1第2课时
角平分线的性质
【知识与技能】
探索角平分线的性质定理.
【过程与方法】
通过探索角平分线定理的过程，体会这个定理的作用，增强几何空间意识.
【情感与态度】
培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.
【教学重点】
重点是掌握角平分线的性质定理.
【教学难点】
难点是运用角平分线定理简化证明线段相等的问题.
一、导入新知
课堂活动：教师在黑板上演示怎样做一个已知角的平分线，要求学生与教师同步操作，在完成课本图的图形后，提出思考问题.
问题思索：
1.为什么所做的OP，就是∠AOB的平分线呢？
2.如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，C，D是垂足，根据你学过的知识，从图中你们得到哪些结论？写出这个问题的已知、求证，并给出证明.
学生活动：讨论、分析，写出已知、求证，并证明如下.
已知：如图所示，OP平分∠BOA，PD⊥OB，垂足为D，PC⊥OA，垂足为C.
求证：PD=PC
【证明】∵OP平分∠AOB.（已知）
∴∠AOP=∠BOP（角平分线定义）
又∵PC⊥OA,PD⊥OB,(已知)
∴∠PCO=∠PDO=90°.（垂直的定义）
在△PCO和△PDO中,
∵
∴△PCO≌△PDO.(AAS)
∴PC=PD.
【归纳结论】上面的证明，主要是让大家能通过严谨的推理解决面前感知得到的结论.
师生共识：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等.
【教学说明】让学生从感性上的认识上升到严格的理性上来.
二、情境合一，优化思维
1.情境思考
如图所示，要在T区建一个超市，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个超市应建在什么地方呢？（在图上标出它的位置，比例尺为1:2
000）.
引导学生分析、解决问题，这里要特别强调：
写已知、求证这两个环节要正确，否则证明将没有意义.
已知：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为点D，E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
【证明】经过点P作射线OP.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
OP=OP，
PD=PE，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），
∴∠AOP=∠BOP，
∴OP是∠AOC的平分线.
∴点P在∠AOB的平分线上.
【教学说明】请部分学生上讲台“板演”，然后引导学生去发现新的结论.
2.师生共识.
由刚才的例子可以得到一个结论：角平分线的逆命题仍然是正确的.
【归纳结论】在一个角内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
三、运用新知，深化理解
1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD，DE，DF分别垂直于AB，AC，E，F是垂足，求证：EB=FC.
第1题图
第2题图
2.求作一点C，使它到∠AOB两边的距离相等，即CM=CN
【参考答案】1.证明：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC，
∴DE=DF(角平分线上点到两边距离相等)
且∠BED=∠CFD=90°
在Rt△BED与Rt△CFD中
∵
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)
2.略
四、师生互动，课堂小结
教师引导下，学生自主总结，主要问题有：
1.什么叫角平分线？
2.你还能得到哪些结论？
1.课本第145页练习第2题.
2.完成练习册中相应的作业.
本节设计了“导入新知——情境合一，优化思维——运用新知——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生探索角平分线的性质定理，经历探索角平分线定理的过程，体会这个定理的作用，发展几何空间意识，培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.
115.4
角的平分线
第1课时
角平分线的作法
【知识与技能】
掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法.
【过程与方法】
通过角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，发展几何空间意识.
【情感与态度】
培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.
【教学重点】
重点是角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法.
【教学难点】
难点是熟记作图的步骤.
一、创设情境，操作感知
1.教师演示：教师拿出如图的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画出一条射线AE，教师指出：“AE是否平分∠A，∠E呢？你能说一说吗？”
学生活动：观察教师的教具演示，发现这个教具中，AD=AB，DC＝BC，那么只要AE通过点C，则就构成两个三角形：△ADC和△ABC，又因为AC是公共边，很容易证出△ADC≌△ABC（SSS）；再运用全等三角形性质推出∠1=∠2，∠3=∠4，即AE就是角平分线
2.折纸验证
课堂活动：让同学们拿出半透明的纸，在上面任画一个角，请你用折叠的方法，找出角的平分线.
学生活动：按上面要求，画课本图15-21如下：
在操作中，
发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
教师引导：请同学们再用量角器量一量，看得出的这个结论对吗？
学生活动：拿出量角器，验证出上述结论是正确的，加深认识.
【教学说明】通过上述设计，目的是让学生从感性认识提升到理性认识.
二、尺规作图
思考1：怎样用直尺和圆规来作角平分线？
提示学生能否从折纸角中得到启示
【教学说明】归纳角的平分线的作法并板书作法.
下面介绍用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线（如图）
作法：
（1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点M,N，如图（1）
（2）分别以点M,N为圆心，以大于MN长为半径（为什么？）在角的内部画弧交于点P，如图（2）
（3）作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的角平分线，如图（3）.
学生活动：证明作法的正确性.
任作一个角，用直尺和圆规作出它的角平分线.
思考2：
（1）你能作一个平角的角平分线吗？
（2）这个作图可以看作是什么？如何写已知，求作？
【教学说明】过直线上一点作已知直线的垂线的步骤：
经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB上一点C（如图）.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：作平角∠ACB的平分线CF.直线CF就是所求作的垂线.
思考3：问题刚才作的点是在直线上的，你能过直线外一点作已知直线的垂线吗？
【教学说明】过直线外一点作已知直线的垂线的步骤：
经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C（如图（2））
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：（1）任意取一点K,使K和C在AB的两旁；
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
（3）分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F;
(4)作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
三、运用新知,深化理解
1.用尺规动手作出∠AOB的平分线OC，以及OB的垂直平分线MN，并保留作图痕迹.
2.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，且CE=BC.
（1）用尺规作图的方法，过点E作AC的垂线，交CD延长线于点F；
（2）求证：△ABC≌△FCE.
【参考答案】1.略
2.(1)略.
（2）作图如图所示.证明：∵EF⊥AC,∠ACB=90°，
∴∠FEC=∠ACB=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=90°,
∵∠ABC+∠FCB=∠FCB+∠FCE,
∴∠ABC=∠FCE.
在△ABC与△FCE中，
∵
∴△ABC≌△FCE(ASA).
四、师生互动，课堂小结
掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法
1.课本第143页练习第1、2题.
2.完成练习册中相应的作业.
本节设计了“创设情境，操作感知——尺规作图——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，经历角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，提高几何空间意识，培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.
1
