第5课时
用HL判定直角三角形全等
【知识与技能】
学会判定直角三角形全等的特殊方法，提升合情推理能力，并熟练运用判定两个直角三角形全等的方法.
【过程与方法】
通过探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题；熟练掌握两个三角形全等的判定方法.
【情感与态度】
感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值.
【教学重点】
重点是掌握判定直角三角形全等的特殊方法.
【教学难点】
难点是应用“HL”解决直角三角形全等的问题；三角形全等判定方法的运用.
一、回顾交流
1.课堂演练
已知如下图所示，BC=EF,AB⊥BE垂足为B,DE⊥BE垂足为E,AB=DE.
求证：AC=DF
【分析】要证AC=DF,必须寻找与AC,DF有关的三角形，然后证明它们全等，这里由已知条件分析可得∠ABC=∠FED=90°,AB=DE,BC=EF,利用SAS可证明出这两个直角三角形全等
【证明】（学生板演）
2.问题迁移
如果将上题AB=DE改成AC=DF,其他条件不变，你能证明出AB=DE吗？
引导：画一个任意Rt△ABC使得∠C=90°，然后画出△A1B1C1满足条件B1C1=BC，A1B1=AB,再把画好的Rt△A1B1C1剪下来看看是否能与Rt△ABC完全重合.
3.作图
已知Rt△ABC,其中∠C为直角，求作：Rt△A1B1C1,使∠C1为直角,A1C1=AC,A1B1=AB.
作法：
①作∠MC1N=∠C=90°；
②在C1M上截取C1A1=CA；
③以A1为圆心，AB长为半径画弧，交C1N于点B1,
④连接A1B1，
则Rt△A1B1C1就是所求作的直角三角形
直角三角形全等判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（记为“斜边，直角边”或“HL”）
二、例题分析
例1
(课本第108页例7)已知:如图∠BAC=∠CDB=90°,AC=DB，求证：AB=DC.
【证明】∵∠BAC=∠CDB=90°（已知）
∴△BAC,△CDB都是直角三角形
又∵AC=DB（已知）
BC=CB（公共边）
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）
∴AB=DC（全等三角形的对应边相等）
例2（课本第107页例8）已知:如图AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF
求证：BF=DE
【分析】本题需要两次证明三角形全等，首先证明△ABC≌△CDA(SSS)，得出∠1=∠2，再由“边角边”定理证明△DAE≌△BCF，最后证出BF=DE
【证明】在△ABC和△CDA中
∵AB=CD(已知)
BC=DA（已知）
CA=AC（公共边）
∴△ABC≌△CDA（SSS）
∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)
在△BCF和△DAE中
∵BC=DA(已知)
∠1=∠2（已证）
CF=AE（已知）
∴△BCF≌△DAE(SAS)
∴BF=DE(全等三角形的对应边相等)
例3
（课本第110页例9）证明：全等三角形的对应边上的高相等.
【分析】本题关键是写出已知，然后进行证明.
已知:如图△ABC≌△A′B′C′,AD,A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，
求证：AD=A′D′
【证明】∵△ABC≌△A′B′C′（已知）
∴AB=A′B′，∠B=∠B′（全等三角形的对应边、对应角相等）
∵AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°（垂直的定义）
在△ABD和△A′B′D′中
∠B=∠B′(已证)
∠ADB=∠A′D′B′（已证）
AB=A′B′（已证）
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)
∴AD=A′D′（全等三角形的对应边相等）
【教学说明】引导学生思考，证明直角三角形全等与证明普通三角形全等的区别.
三、运用新知，深化理解
1.课本第109页练习1、2.
2.课本第110~111页练习1、3.
四、师生互动，课堂小结
1.直角三角形是特殊的三角形，一般三角形所具有的性质，直角三角形都具备，因此判定两个直角三角形全等时，完全可以用前面学过的判定方法：“SAS,ASA,AAS,SSS”，此外，还有“斜边、直角边”即“HL”；有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
2.选择合适的判定定理证明相应的问题；以及将文字题转化为符号语言，并与图形结合，写出已知、求证.
1.课本第109页练习第3题.
2.课本第110~111页练习第2、4题.
3.完成练习册中的相应作业.
本节设计“回顾交流——例题分析——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生学会判定直角三角形全等的特殊方法，发展合情推理能力，并熟练运用判定两个三角形全等的方法，经历探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题；熟练掌握两个三角形全等的判定方法，感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值.
1第4课时
用AAS判定三角形全等
【知识与技能】
理解用“角角边”来判定两个三角形全等的方法，增强推理意识.
【过程与方法】
通过探索判定两个三角形全等的方法，挖掘思维潜能.
【情感与态度】
培养合情推理的意识，提升证明问题的能力.
【教学重点】
重点是应用“角角边”判定两个三角形全等.
【教学难点】
难点是怎样运用已学过的判定三角形全等的方法解决实际问题.
一、创设情境，引入新课
已知如右图所示，D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C
求证:AD=AE
【分析】找到和已知条件有关的△ACD和△ABE，利用“ASA”证明出它们全等，从而得到AD=AE.
【证明】在△ACD与△ABE中
∠A=∠A
AC=AB
∠C=∠B
∴△ACD≌△ABE(ASA)
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）
变式问题：如果将上题中的已知条件∠B=∠C，改写成∠AEB=∠ADC，你能证出AD=AE吗？试一试！
【分析】在△ACD中,∠C=180°-∠A-∠ADC,同样∠B=180°-∠A-∠AEB.所以有∠A=∠A,∠ADC=∠AEB可转化出∠B=∠C.再利用“ASA”来证明△ACD≌△ABE.从而有AD=AE.
我们发现：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.即“AAS”.
我们可这样证明
【证明】在△ACD与△ABE中
∠A=∠A（已知）
∠ADC=∠AEB（已知）
AC=AB（已知）
∴△ACD≌△ABE(AAS)
∴AD=AE
【教学说明】根据全等三角形的性质，由已知全等三角形的判定定理推导出新的判定定理.
二、新课讲解
1.全等三角形判定定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等记为“角角边”或“AAS”.
2.填一填
三、例题分析
已知如右图，点B、F、C、D在同一直线上,AB=ED,AB∥ED,AC∥EF,求证：△ABC≌△EDF.
【分析】由定理“AAS”知需找出两组对应角相等，根据已知条件AB∥ED,AC∥EF，可利用平行线的性质.
【证明】∵AB∥ED,AC∥EF（已知）
∠B=∠D，∠ACB=∠EFD（两直线平行，内错角相等）
在△ABC与△EDF中
∠B=∠D(已证)
∠ACB=∠EFD（已证）
AB=ED（已知）
∴△ABC≌△EDF（AAS）
四、运用新知，深化理解
1.如图，AC、BD交于点E，添加怎样的两个条件，直接用“AAS”证明△ADE≌△BCE？
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.请说明△ADC≌△CEB的理由.
【参考答案】
1.解：可添加∠B=∠A，EC=ED；或∠C=∠D，BE=AE；
∵∠B=∠A，EC=ED，
又∠BEC=∠AED，
∴△ADE≌△BCE（AAS）.
2.解：∵BE⊥CE于点E（已知），
∴∠E=90°（垂直的意义），
同理∠ADC=90°，
∴∠E=∠ADC（等量代换）.
在△ADC中，
∵∠1+∠2+∠ADC=180°
（三角形的内角和等于180°），
∴∠1+∠2=90°（等式的性质）.
∵∠ACB=90°（已知），
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3（同角的余角相等）.
∴△ADC≌△CEB(AAS).
五、师生互动，课堂小结
1.证明两个三角形全等的常用方法是什么？你是怎样正确选择的？
2.证明线段相等可以有哪些方法？证明角相等可以有哪些方法？
3.你在探究中学会了添加哪些辅助线？
1.课本第114~115页A组复习题3、7.
2.完成练习册中的相应作业.
本节设计“引入新课——新课讲解——例题分析——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”五个环节，使学生理解用“角角边”来判定两个三角形全等的方法，增强推理意识，通过探索判定两个三角形全等的方法，挖掘思维潜能，培养合情推理意识，提升证明问题的能力.
1第3课时
全等三角形的判定定理——SSS
【知识与技能】
理解应用“边边边”来判定两个三角形全等的方法，拓展推理证明能力.
【过程与方法】
经历探索用“边边边”判定两个三角形全等的过程，认识三角形的稳定性，进一步提高思维能力.
【情感与态度】
培养良好的逻辑思维能力以及合作学习的习惯，感受几何的应用价值.
【教学重点】
重点是掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法.
【教学难点】
难点是如何根据实际问题学会选择应用已学过的判定三角形全等的方法来解决.
一、创设情境，引入新课
一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如右图所示的残片，你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，你能否利用你所学到的知识来加以说明？
【分析】方法1，量出AB边和∠A,∠B的度数，可以截到与原来相同的玻璃图形，
方法2，把玻璃片放在纸板上，然后用直尺画出一块完整的玻璃图形，再剪下来去玻璃店配.
问题：方法1利用了什么定理？（“角边角”）
方法2利用了什么定理？（三边对应相等）
二、新课讲解
1.已知△ABC
求作：△A1B1C1，使A1B1=AB，B1C1=BC，C1A1=CA.
作法：①作线段B1C1=BC，
②分别以点B1，C1为圆心，BA,CA的长为半径画弧，两弧相交于点A1，
③连接A1B1，A1C1.
则△A1B1C1就是所求作的三角形.
（将所求作的△A1B1C1与△ABC重叠，看能否重合）
全等三角形判定定理3：三边对应相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”.
2.三角形的稳定性
只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
三、例题分析
例1
已知如右图所示，AD=BC,AB=DC,DE=BF,求证：BE=DF
【分析】要证明BE=DF，由图可看出，只要证明△ABE≌△CDF.由已知AB=DC,AE=CF两组条件，只要证出∠A=∠C.但图形上现成的另一对三角形难以找出，因此添加辅助线DB.这样可由△ABD≌△CDB.来推得∠A=∠C.
【证明】连接BD,在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB（SSS）
∴∠A=∠C
又∵DE=BF,AD=BC
∴AE=CF
∴△DCF≌△BAE（SAS）
∴BE=DF
例2
已知如图,点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE.AC=DF.BE=CF
求证：AB∥DE,AC∥DF
【分析】证明平行问题，可从平行线判定定理考虑，即证明∠B=∠DEF,∠F=∠ACB.而证明角相等,可从两组角所在的两个三角形方面去考虑，可证△ABC≌△DEF，由已知条件利用“SSS”即可证明.
【证明】∵BE=CF(已知)
∴BE+EC=CF+CE(等式的性质)
即BC=EF
在△ABC和△DEF中
∵AB=DE(已知)
AC=DF（已知）
BC=EF（已证）
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠B=∠DEF∠ACB=∠F(全等三角形的对应角相等)
∴AB∥DEAC∥DF(同位角相等，两直线平行)
四、运用新知，深化理解
1.课本第105页练习1、3.
2.已知如图所示，AB=DC，AD=BC求证：∠A=∠C
第2题图
第3题图
3.已知如图所示AB=CD,BC=DA,E,F是AC上的两点，且AE=CF.
求证：BF=DE
五、师生互动，课堂小结
1.“SSS”公理：三边对应相等的两个三角形全等.
2.三角形的稳定性：一个三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定.
1.课本第111~112页习题14.2的3、7.
2.完成练习册中的相应作业.
本节设计“创设情境，引入新课——新课讲解——例题分析——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”五个环节，使学生理解应用“边边边”来判定两个三角形全等的方法，拓展推理证明能力，经历探索用“边边边”判定两个三角形全等的过程，认识三角形的稳定性，进一步发展思维能力，培养良好的逻辑思维能力以及合作学习的习惯，感受几何的应用价值.
1第2课时
全等三角形的判定定理——ASA
【知识与技能】
理解“角边角”判定两个三角形全等的方法.
【过程与方法】
经历探究“角边角”判定两个三角形全等的过程，能进行有条理的思索.
【情感与态度】
培养严谨的表述能力，体会几何中逻辑推理的应用价值.
【教学重点】
重点是学会运用“角边角”判定两个三角形全等的方法.
【教学难点】
难点是如何进行推理分析.
一、复习回顾
回忆“边角边”定理.
由两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等吗？为什么？
如下图：AB=AB,∠B=∠B,AB1=AC.
但△ABB1与△ABC不全等.
二、新课讲解
已知△ABC
求作：△A1B1C1，使∠B1=∠B，B1C1=BC，∠C1=∠C
作法：①作线段B1C1=BC
②在B1C1的同旁，分别以B1,C1为顶点作∠MB1C1=∠ABC,∠NC1B1=∠C,B1M与C1N交于点A1.
则△A1B1C1就是所求作的三角形
（学生用剪刀剪下拼凑看能否重合）
全等三角形判定定理2：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，记为“角边角”或“ASA”.
三、例题分析
1.举例说明
例
已知：如下图所示，∠1=∠2,∠3=∠4,求证：△ADC≌△BCD
【证明】∵∠1=∠2,∠3=∠4（已知）
∴∠1+∠3=∠2+∠4
即∠ADC=∠BCD
在△ADC和△BCD中
∠1=∠2(已知）
DC=CD（公共边）
∠ADC=∠BCD（已证）
∴△ADC≌△BCD（ASA）
【归纳结论】在证明三角形全等时要善于把间接的条件转化为可以直接判定三角形全等的条件.
2.阅读课本第101~102页例3、例4.
在阅读中总结出证明方法，形成证明模式.
四、运用新知，深化理解
课本第102页练习1、2、3.
五、师生互动，课堂小结
角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
1.课本第112页习题14.2的第5题.
2.完成练习册中的相应作业.
本节设计“复习回顾——新课讲解——例题分析——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”五个环节，使学生理解“角边角”判定两个三角形全等的方法，经历探究“角边角”判定两个三角形全等的过程，能进行有条理的思索，培养严谨的表述能力，体会几何中逻辑推理的应用价值.
114.2
三角形全等的判定
第1课时
全等三角形的判定定理——SAS
【知识与技能】
理解判定两个三角形全等的方法之一——“边角边”定理，深化证明思维.
【过程与方法】
经历探究“边角边”判定两个三角形全等的定理的过程，能进行有条理的思索.
【情感与态度】
培养严谨的分析能力，体会几何学的应用价值.
【教学重点】
重点是运用“边角边”的判定定理解决实际问题.
【教学难点】
难点是如何寻找适合“边角边”的判定定理来证明全等的两个三角形.
一、复习回顾
1.上节课我们学习了全等三角形及其有关性质.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2.如图，如果△ABC≌△DEF请说出对应边、对应顶点、对应角.
二、新课讲解
三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？
1.只给定一个元素：
①一条边长为4cm；
②一个角为45°.
若只给一条边时，这条边所对应的顶点位置无法确定，能画很多不同的三角形,
若只给一个角时，组成这个角两边的线段长度无法确定，可以画很多不同的三角形.
2.若给定两个元素：
①两条边长分别为4cm、5cm；
②一条边长为4cm,一个角为45°;
③两个角分别为45°、60°.
结论：给定两个条件仍不能确定一个三角形的形状和大小.
3.若给定三个条件：
①三个角；
②两边一角；
③两角一边；
④三条边.
4.研究两边及其夹角的情况：
利用尺规作图画出已知角和已知边
已知△ABC
求作：△A1B1C1，A1B1=AB，∠B1=∠B，B1C1=BC.
作法：
①作∠MB1N=∠B，
②在B1M上截取B1A1=BA，在B1N上截取B1C1=BC,
③连接A1C1.
则△A1B1C1(上图(2))就是所求作的三角形.
同学们将这两个三角形重叠，看能否完全重合？
三角形全等判定定理1：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.记为“边角边”或“SAS”(S表示边,A表示角)
注意：边角边中的角要是两边的夹角.
三、例题分析
1.举例说明
例
已知：如下图所示，在AB，AC上各取一点E，D，使AE=AD.连接BD，CE相交于点O，∠1=∠2，求证：∠B=∠C.
【分析】要证明两个角相等，学过的方法有：(1)两直线平行，同位角相等或内错角相等；(2)利用三角形全等的性质，本题利用方法二证明.
【证明】在△AEO与△ADO中，AE=AD，∠1=∠2，AO=AO
∴△AEO≌△ADO(SAS)
∴∠AEO=∠AOD（全等三角形对应角相等）
又∵∠AEO=∠EOB+∠B,∠ADO=∠DOC+∠C,
∵∠EOB=∠DOC（对顶角相等）
∴∠B=∠C.
评析：在分析问题时要把条件分析透彻，如该题先证得△AEO≌△ADO后，推出OD=OE,∠AEO=∠ADO,∠EOA=∠DOA,这些结论在进一步证明中不一定全用到，但当分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识，有利于进一步思索.
2.阅读课本第99页例1、例2.
指导学生分析例题，并从中归纳出证明的思路、方法.
四、运用新知，深化理解
（江苏常州中考）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE.求证：△ACD≌△CBE.
【证明】
∵C是AB的中点（已知），∴AC=CB（线段中点的定义）.
∵CD∥BE（已知），
∴∠ACD=∠B（两直线平行，同位角相等）.
在△ACD和△CBE中，
AC=CB（已证）
∠ACD=∠B（已证）
CD=BE（已知）
∴△ACD≌△CBE（SAS）.
五、师生互动，课堂小结
1.边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
2.在应用定理时要注意：对应的两边及这两边所夹的角相等.
1.课本第100页练习1、2、3.
2.完成练习册中的相应作业.
本节设计“复习回顾——新课讲解——例题分析——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”五个环节，使学生理解判定两个三角形全等的方法之一——“边角边”定理，深化证明思维，经历探究“边角边”判定两个三角形全等的定理的过程，能进行有条理的思索，培养严谨的分析能力，体会几何学的应用价值.
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