第3课时
三角形内角和定理及推论
【知识与技能】
应用几何推理、证明解决几何问题.
【过程与方法】
经历探索推理的论证过程，感受几何中逻辑推理的内涵，培养符号化语言.
【情感与态度】
培养严谨的证明意识，提高思维能力，体会几何学的实际价值.
【教学重点】
重点是学会应用理性推理的方法.
【教学难点】
难点是形成演绎推理的思路.
一、回顾迁移，严谨论证
自主学习：阅读课本第80~81页.
【教学说明】组织学生用五分钟时间阅读、理解课本第80页证明“三角形内角和等于180°”的知识.
教师让学生小组合作，回顾交流，完善证明“三角形内角和等于180°”的方法以及表达格式，总结辅助线的作法.
辅助线引入：为了计算和证明的需要，在原来图形上添加（画）线，叫做辅助线，辅助线常常画成虚线.
新知探究：证明“三角形的内角和等于180°”.
已知：△ABC,如图.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
【分析】以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角，这不是证明，但它却给我们以启发.现在我们通过作图来实现这种转化，给出证明.
【证明】如图，延长BC到点D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B.
则CE∥BA.（同位角相等，两直线平行）
∴∠A=∠1.（两直线平行，内错角相等）
∵B,C,D在同一条直线上，（所作）
∴∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.
【归纳结论】证明命题式证明题的基本步骤：
1.分清命题的条件和结论，根据条件画出图形，在图形上标出有关字母与符号；
2.结合图形，写出已知，求证；
3.分析因果关系，找出证明途径；
4.有条理地写出证明过程.
教师提问：直角三角形中的两个锐角之间有着怎样的关系？请用几何语言证明.
由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论.
推论1：直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°.
【证明】
在△ABC中
∵∠C=90°（已知）
∴∠A+∠B=180°－90°=90°(三角形内角和等于180°)
推论2:有两个角互余的三角形是直角三角形.
二、范例学习，应用所学
例1证明：对顶角相等.
已知：如图所示，直线AB、CD相交于O，∠AOC与∠DOB是对顶角.
求证：∠AOC=∠DOB.
【证明】∵∠AOC+∠AOD=180°
∠AOD+∠DOB=180°
∴∠AOC=∠DOB（同角的补角相等）
例2如图所示，∠1与∠2互为补角，∠3=∠B，试判断∠C与∠AED的大小关系，并证明.
【解】∠C=∠AED.理由如下：
∵∠1与∠2互为补角，而∠1与∠5也互为补角，∴∠5=∠2.∴BD∥EF.∴∠3=∠4,而∠3=∠B,∴∠4=∠B,∴DE∥BC,∴∠C=∠AED.
【教学说明】通过例题发现三角形内角的各个定理及其推论.
三、合作交流，探索思路
1.已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC∥DF，BC∥EF.
2.根据命题的题设和结论，画出图形并写出已知、求证.
（1）等角的余角相等.
（2）两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直.
四、随堂练习，巩固深化
1.课本第81~82页练习1、2.
2.完成练习册中相应作业.
五、师生互动，课堂小结
1.提问：
（1）什么是证明？
（2）证明命题的步骤有哪些?
（3）书写格式有什么特点？
2.证明命题式证明题的基本步骤：
（1）分清命题的条件和结论，根据条件画出图形，在图形上标出有关字母与符号；
（2）结合图形，写出已知，求证；
（3）分析因果关系，找出证明途径；
（4）有条理地写出证明过程.
1.课本第84~85页习题13.2的5、6、7、8.
2.完成练习册中相应作业.
本节采用“回顾迁移，严谨论证——范例学习，应用所学——合作交流，探索思路”几个环节使学生能应用几何推理、证明解决几何问题，经历探索推理的论证过程，感受几何中逻辑推理的内涵，培养符号化语言，培养严谨的证明意识，提高思维能力，体会几何学的实际意义.
1第2课时
证明
【知识与技能】
了解公理、定理、证明的内涵，会进行简单的推理.
【过程与方法】
经历探索证明的过程，弄清证明的基本方法以及书写格式，体会演绎推理的意义.
【情感与态度】
培养严谨的推理能力和表述能力，感受证明的几何价值.
【教学重点】
重点是掌握推理方法.
【教学难点】
难点是培养演绎推理意识.
一、创设情境，引入新课
1.定义引入：
在数学研究中，首先要确定数学的研究对象，例如，我们研究方程时，要明确什么是方程，在数学上称之为“定义”.
2.公理引入：在日常生活、实践中大家常常把公认的并且长期检验所取得的真命题，把它们作为论证其它命题的根据，这样的最原始的真命题我们称之为公理.
3.素材提供：
（1）如果两个角有公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角称为对顶角.
（2）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
（3）两点确定一条直线.
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
4.定理引入：有些命题，如“对顶角相等”，“三角形的内角和等于180°”，“等角的补角相等”等，它们的正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判定其它命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
5.证明引入：前面我们议到的话题：并不是所有命题都正确，只有经过演绎推理来论证，我们把这种推理的过程叫做证明.
二、范例学习，应用所学
例1（课本78页例3）
已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
【证明】∵∠1=∠2（已知）
又∵∠1=∠3（对顶角相等）
∴∠2=∠3（等式性质）
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
可见，证明是由条件（已知）出发，经过一步一步的推理，最后推出结论（求证）的过程.
证明中的每一步推理都要有根据，不能想当然.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的定理.
例2（课本79页例4）
已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
【证明】∵OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,（已知）
∴OE⊥OF.（垂直的定义）
【教学说明】通过例题体会证明的过程，感悟证明要有理有据，不能凭空想象.
三、随堂练习，巩固深化
课本第78~79页练习.
四、师生互动，课堂小结
提问：
1.定义、命题、公理的概念是如何确定的？有何异同点？
2.什么叫证明？
3.如何进行推理以及表达？你有什么想法.
4.你是否总结出了证明的常规思路？
证明是由条件（已知）出发，经过一步一步的推理，最后推出结论（求证）的过程.
证明中的每一步推理都要有根据，不能想当然.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的定理.
1.课本第80页练习.
2.完成练习册中相应的作业.
采用创设情境、范例学习使学生了解公理、定理、证明的内涵，会进行简单的推理，经历探索证明的过程，弄清证明的基本方法以及书写格式，体会演绎推理的意义，培养严谨的推理能力和表述能力，感受证明的几何价值.
113.2
命题与证明
第1课时
命题
【知识与技能】
了解命题的概念，会判定一个命题的真假.
【过程与方法】
经历探究命题以及结构的过程，体会命题的内涵.
【情感与态度】
培养学生严谨的推理和论证意识，感悟几何思想的应用价值.
【教学重点】
重点是认识命题的内涵和结构.
【教学难点】
难点是区别命题的题设和结论.
一、创设情境，探究新知
1.问题引入
有一根比地球赤道长1m的铜线将我们生活的地球赤道绕一圈.想一想，铜线与地球赤道之间的空隙有多大（假设地球是球形的）？能放进一个苹果吗？
2.阅读课文
教师提问：前面一节课中，我们探索三角形内角和等于180°时，大家采用剪、拼的手法，将一个三角形的三个角拼在一起，成为一个平角，只是接近180°的某个值，但不是准确的180°.
教师引导：研究几何图形，从观察和实验得到的认识，有时会有误差，难以使人确信其结果一定正确.因此，就得在观察的基础上有依据地说明理由.也就是说，要判断数学命题的真假，需要进行必要的逻辑推理.
二、情境合一，继续探究
1.教师引入：在日常生活中，大家经常要遇到下面的表达语言.
例如：（1）福州市是福建省的省会.
（2）3+7＜11.
（3）邻补角互补.
（4）有共同顶点的两个角是对顶角.
（5）对顶角相等.
（6）上海是在湖北.
请同学们观察，判断上述语言是否正确？
【归纳结论】在逻辑学中，凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.
2.教师提问：下列句子都是命题吗？哪些是命题？
（1）今天下雨了.
（2）画一条直线.
（3）我回家.
（4）两直线平行，同位角相等.
（5）以A为圆心，2
cm为半径画圆.
3.每个命题都有题设、结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……那么……”的形式.有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”、“那么”.如命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以写成“对顶角相等”.
以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p,那么q”,或者说成“若p,则q”，其中p是这个命题的条件（题设），q是这个命题的结论.
三、辨析应用,发展思维
1.课堂演练：下列各命题的题设是什么？结论是什么？
（1）若x＜0，则|x|=+x.
（2）如果两个角是同位角，那么它们相等.
（3）只含有一个未知数且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.
（4）形状和大小相同的两个三角形面积相等.
2.教师提问：在演练题中，哪些命题是真命题，哪些命题是假命题？
四、拓展延伸，互动交流
1.观察交流：
（1）两直线平行，同旁内角互补.
（2）同旁内角互补，两直线平行.
（3）对顶角相等.
（4）相等的两个角是对顶角.
2.教师提问：
（1）上述四个语句是命题吗？是真命题吗？
（2）它们的题设、结论分别是什么？
（3）1和2与3和4之间，你发现了什么？
3.学生活动
4.教师引入：把一个命题的题设与结论互换，便可以得到一个新的命题，我们称这样的两个命题为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
教师提问：如果原命题是真命题，那么它的逆命题是否也一定是真命题呢？说明一个命题是假命题只需要举出一个反例（符合命题条件，但不满足命题结论的例子，叫做反例）即可.
例1指出下列命题的条件和结论：
（1）两条直线都平行于同一条直线，这两条直线互相平行；
（2）如果∠A=∠B,那么∠A的补角与∠B的补角相等.
【解】（1）“两条直线都平行于同一条直线”是条件，“两条直线互相平行”是结论.
（2）“∠A=∠B”是条件，“∠A与∠B的补角相等”是结论.
例2写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例.
（1）内错角相等，两直线平行；
（2）如果a=0,那么ab=0.
【解】（1）逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题.
(2)逆命题是“如果ab=0,那么a=0”,是假命题.反例，当a=1,b=0时，ab=0.
五、随堂练习，巩固深化
1.（湖北襄阳中考）下列命题错误的是（）
A.所有的实数都可用数轴上的点表示
B.等角的补角相等
C.无理数包括正无理数，0，负无理数
D.两点之间，线段最短
2.（福建厦门中考）已知命题A：任何偶数都是8的整数倍.在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（）
A.2k
B.15
C.24
D.42
3.命题“对顶角相等”的题设是_____________________________，结论是_______________________.
【参考答案】1.C
2.
D3.两个角是对顶角这两个角相等
六、师生互动，课堂小结
1.今天学习了哪些概念？
2.举例说明真假命题的判断.
3.举例说明互逆命题.
1.课本第77页练习1、2、3.
2.完成练习册中的相应练习.
通过本节课学习了解命题的概念，会判定一个命题的真假，经历探究命题以及结构的过程，体会命题的内涵，培养学生严谨的推理和论证意识，感悟几何思想的应用价值.
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