第3课时
三角形中几条重要线段
【知识与技能】
领会三角形中的高、角平分线、中线的知识,会应用它们解决实际问题.
【过程与方法】
经历探究三角形中的高、角平分线、中线的过程,掌握其应用方法,培养空间观念.
【情感与态度】
在互动交流中形成几何推理意识,感悟几何学逻辑推理的价值.
【教学重点】
重点是应用三角形中的高、角平分线、中线的概念.
【教学难点】
难点是画钝角三角形的高线.
一、创设情境,探究新知
1.动手操作.
问题:过三角形ABC三个顶点分别作它们对边的垂线.
【教学说明】在黑板上画出锐角、直角、钝角三角形各一个,要求学生在练习本上画图,并请一些同学上讲台“演示”.
教师提问:三角形中的三条垂线是否能交在一点?
导入高的定义:
从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段,叫做三角形的高线,也叫做三角形的高.
2.动手折叠.
教师要求:请同学们用折纸的方法得到三角形的高.
注意:钝角三角形的三条高的交点在三角形外面,直角三角形三条高的交点在三角形直角的顶点上,锐角三角形三条高的交点在三角形内部.
二、操作感知,形成概念
【合作交流1】
交流内容:折纸,感悟三角形角的平分线.
交流方法:用剪刀剪出一块任意三角形,然后对折一个内角.
引出三角形的角平分线定义:
在三角形中,一个角的平分线与这个角对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
学生活动:在折纸讨论的基础上,认识角平分线定义,发现三角形三条角平分线交于一点,且交点在三角形内部.
【合作交流2】
交流内容:画三角形的中线.
画图方法:
(1)画一个锐角三角形,一个直角三角形,一个钝角三角形.
(2)寻找出三边的中点.(用刻度尺)
(3)把顶点与它们对边的中点连接.
学生活动:动手画图,发现画出来的三条线段交于一点.
引出中线定义:在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线.
三角形三条中线的交点是三角形的重心.
教师提问:要取三角形一边的中点,除了用刻度尺来确定,还有别的方法吗?
三、随堂练习,巩固深化
1.不一定在三角形内部的线段是()
A.三角形的角平分线B.三角形的中线
C.三角形的高D.三角形的中位线
2.小华在电话中问小明:“已知一个三角形三边长分别是4,9,12,如何求这个三角形的面积?”小明提示说:“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是()
3.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的角平分线,已知∠ABC=80°,则∠DBC=________.
4.如图,在△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB于点D.则图中共有____个直角三角形.
5.如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的角平分线.
(1)若∠BED=40°,∠BAD=25°,求∠ABD的度数;
(2)在△BED中作BD边上的高EM;
(3)在(1)的条件下,若△ABC的面积为40,求△ADC的面积.
【参考答案】1.C
2.C
3.40°
4.3
5.解:(1)∵∠BED=40°,∠BAD=25°,
∴∠ABE=∠BED-∠BAD=40°-25°=15°,
∵BE为△ABD的角平分线,
∴∠ABD=2∠ABE=2×15°=30°.
(2)BD边上的高EM如图所示.
四、师生互动,课堂小结
1.今天学习了哪些概念?
2.三角形“三线”如何区别?它们的交点是否都在三角形内部?
1.课本第73页练习1、2、3.
2.补充:
如图,AE,AD分别是△ABC的高和角平分线,且∠B=40°,∠C=60°,求∠BAD和∠DAE的度数.
3.完成练习册中相应的作业.
本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程,遵循从感性到理性的渐进认识规律,体现了知识的发生过程,体现了数学学习的必然性.教学先从学生折纸开始,让学生体验三角形中线、角平分线的存在及其性质,而后通过尺规作图,加深学生对中线、角平分线的认识,增加了数学学习的兴趣.在讲三角形高的过程中,学生也想用折纸折出三角形高,结果碰到困难(钝角三角形),使新、旧知识大碰撞,加速知识同化.在探究三角形稳定性时,课堂出现很多三角形结构,并让同学解释,使学生认识到数学来源于生活同时也服务于生活的真谛,增强学生学习数学的热情,整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终,培养学生动手、合作、概括的能力.
1第2课时
三角形中角的关系
【知识与技能】
理解三角形三个内角等于180°的推导过程,会应用三角形内角和定理解决实际问题.
【过程与方法】
经历观察、思考、互动的过程,提高合情推理的能力,发展条理化的思维意识.
【情感与态度】
让学生养成有条理地思考的习惯以及说理有据的意识,体会三角形角的关系在现实生活中的实际价值.
【教学重点】
重点是应用三角形内角和定理.
【教学难点】
难点是对三角形内角和定理的认识.
一、创设情境,探究新知
动手操作:
1.剪出一块三角形,并将这个三角形三个角剪下拼接在一起,形成平角.
2.试一试,有几种不同的方法.
3.评析:在探究的过程中,引入了几何学中的“辅助线”,这里必须说明辅助线的作用以及表达辅助线的书写文字.
【归纳结论】三角形的内角和等于180°.
二、范例学习,应用所学
例1(课本70页例2)
已知:如图,BD是△ABC的高,∠ABD=54°,∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数.
例2已知:B处在A处的南偏西45°方向,C处在A处的南偏东15°方向,C处在B处的北偏东80°方向,求从C处看A、B两处的视角∠ACB的度数.
注意:学生先独立画出图形.
三、随堂练习,巩固深化
1.在△ABC中,∠A=20°,∠B=60°,则△ABC的形状是()
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
2.(湖北随州中考)将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为_______度.
3.如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=35°,∠AOB=75°,则∠C=_____度.
【参考答案】1.D
2.75
3.70
四、师生互动,课堂小结
互动复习:
1.本节课推导三角形内角和定理,运用了哪些方法?
2.对于几何问题中的辅助线的添法,你有什么看法?
1.课本第71页练习1、2、3、4
2.完成练习册中的相应作业.
让学生亲自动手,通过量、剪、拼等活动发现、证实三角形内角和是180°,并会应用这一知识解决生活中简单的实际问题;让学生在动手获取知识的过程中,培养学生的创新意识、探索精神和实践能力.并通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动,向学生渗透“转化”的数学思想,使学生体验成功的喜悦,激发学生主动学习数学的兴趣.
1第13章
三角形中的边角关系、命题与证明
13.1
三角形中的边角关系
第1课时
三角形中边的关系
【知识与技能】
了解三角形的概念,掌握三角形三边关系.
【过程与方法】
经历探索三角形中的三条边之间的关系,感受几何学中基本图形的内涵.
【情感与态度】
让学生养成有条理地思考的习惯以及说理有据的意识,体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值.
【教学重点】
重点是了解三角形的分类,弄清三角形三边关系.
【教学难点】
难点是对两边之差小于第三边的领悟.
一、创设情境,探究新知
1.投影图片,把事先收集的与三角形有关系的生活图片运用投影仪播放,让学生对三角形有一个感性认识.如下图:
【教学说明】通过播放图片,引导学生认识三角形,并提出图中能找出的几个三角形具有什么样的特性.教师引导学生进行讨论.
【归纳结论】由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形.
2.给出一个三角形,如图,并标上字母,引导学生体会用符号来表示一个三角形的方法,认识三角形的基本元素:边、角、顶点等.
【教学说明】在这个过程中,教师要让学生学会运用大小写字母来表示三角形的边与角,如图的三角形可记作△ABC,三边可记作AB、AC、CA;三个角可记作∠A、∠B、∠C,或可用三个字母表示为∠BAC、∠ABC、∠ACB.
注意:表示边时要用两个大写字母,或一个小写字母.注意小写字母标注的规律:通常顶点大写字母所对的边就是这个顶点的小写字母.
3.教师给出不同类型的三角形,引导学生从边和角两种角度观察、分类.
(1)从边的角度来分类有:
不等边三角形
等腰三角形(包括等边三角形)
【教学说明】对于等腰三角形来说,相等的两边称为腰,第三边称为底边.两腰所夹的角称为顶角,腰与底边的夹角称为底角;而等边三角形的三边都相等,它是等腰三角形的特例.
(2)从角的角度来分类有:
锐角三角形(三个内角均为小于90°的角)
直角三角形(有一个内角是90°)
钝角三角形(有一个内角大于90°)
二、联系实际,合作探究
【问题1】
国庆节的晚上,小明从甲地到乙地后再往丙地走,并到达丙地,小红从甲地直接到丙地,如图所示,请你谈谈小明和小红谁走的路程长,依据是什么?
学生活动:发现小红走的路程短,小明走的路程长.依据是:两点之间线段最短.
【问题2】
在一个三角形中,任意两边的长度之和与第三边的长度之间有着怎样的关系呢?
教师在黑板上画出按角分类的三个三角形,请三位同学量出三边的长度,再进行比较.
(1)三角形任意两边之和大于第三边.
(2)三角形任意两边之差小于第三边.
三、范例学习,应用所学
例1(课本68页例1)等腰三角形中,它的周长是18
cm.
(1)如果腰长是底边长的2倍,求各边长.
(2)如果一边长为4
cm,求另两边长.
例2有两根长度分别为8
m和5
m的钢管,再用一根长度为3
m的钢管能将它们焊接成一个三角形钢架吗?为什么?长度为4
m呢?长度为2
m呢?
四、随堂练习,巩固深化
1.如图,图中共有___个三角形,它们分别是__________.图中以AC为边的三角形是___________________
2.(青海西宁中考)下列线段能构成三角形的是(
)
A.2,2,4
B.3,4,5
C.1,2,3
D.2,3,6
3.(湖北宜昌中考)已知三角形两边长分别为3和8,则该三角形第三边的长可能是(
)
A.5
B.10
C.11
D.12
4.(江苏淮安中考)若一个三角形三边长分别为2,3,x,则x的值可以为____(只需填一个整数)
5.若三角形三边长满足(a-b)2+|a-c|=0,则△ABC的形状是_________.
6.(江苏扬州中考)若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm,则它的周长为_______cm.
【参考答案】
1.6
△ABC、△ACD、△ADE、△ABD、△ACE、△ABE
△ABC、△ACD、△ACE
2.B
3.B
4.4(答案不唯一)
5.等边三角形
6.35
五、师生互动,课堂小结
1.由学生进行归纳总结.
2.教师提示:(1)三角形分类中,可以按边和角进行分类,可分成三类.(2)判定三条线段能否构成三角形,只须用较小两边相加与第三边进行比较.
【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法,从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象,同时使知识系统化.
1.课本第69页练习1、2、3.
2.完成练习册中的相应作业.
本堂课的设计主要是从学生的角度出发,思路为:创设情景——激发学习欲望——联系实际——鼓励学生动手、观察、猜想——鼓励学生大胆发表自己的想法.通过学习使学生了解三角形的概念,掌握三角形三边关系.
经历探索三角形中的三条边之间的关系,感受几何学中基本图形的内涵,让学生养成有条理的思考的习惯以及说理有据的意识,体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值.
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