【A典学案】冲刺100分 八年级上专题复习第一讲 勾股定理课件（22张）

第一讲 勾股定理
人教版 八年级上册
知识清单
1．勾股定理
定义：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么__________．
各种表达形式：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，则 c ＝________， a ＝________，b ＝________．
作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边．
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系．
（3）用于证明平方关系的问题．
2．勾股定理得逆定理
知识清单
如果三角形的三边长 a，b，c 有下面的关系：__________，那么这个三角形是直角三角形．
3．勾股数
能构成直角三角形的三条边长的三个____________，称为勾股数（或勾股弦数）．
正整数
典例精讲
类型之一 勾股定理中的双解问题
【例 1】小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为 41 m，15 m，第三边上的高为 9 m，请你帮小强计算这块菜地的面积．
[解析]当∠ACB 为钝角时，如图 1 所示，
AB＝41 m，BC＝15 m，BD＝9 m，
∴有
∴AD＝40 m，CD＝12 m，
典例精讲
故 AC＝AD－CD＝40－12＝28(m)
当∠ACB 是锐角时，如图 2 所示，
同理可得 AD＝40 m，CD＝12 m，
∴AC＝AD＋CD＝40＋12＝52(m)，
答：这块菜地的面积是 126 m 或 234 m ．
变式训练
1．如果一个三角形的两边长是 9 和 12，要使其成为一个直角三角形，那么第三边长的平方应为多少？
解：分两种情况：当12是斜边长时，第三边长的平方为 ；
当第三边是斜边时，第三边长的平方为
综上所述，第三边长的平方为63或225时，此三角形是直角三角形．
典例精讲
类型之二 运用勾股定理解决计算问题
【例 2】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点 C 到 AB 的距离 CD 为（ ）
[解析]在 Rt△ABC 中，由直角边 AC 及 BC 的长，利用勾股定理求出斜边 AB 的长，然后借助等积法求出CD 的长，即为点 C 到 AB 的距离．故选 A．
变式训练
2．如图，四边形 ABCD 中，AB∥DC，∠B＝90°，连接 AC，∠DAC＝∠BAC．若 BC＝4 cm，AD＝5 cm， 则 AB＝_______ cm．
解析：如图，过点D作DE⊥AB于点E．
∵在四边形ABCD中，AB∥CD，∴四边形BCDE是长方形，
∴CD＝BE，DE＝BC＝4 cm，∴ ，
∴AE＝3 cm．
∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC．
∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DCA，
∴CD＝AD＝5 cm，∴BE＝5 cm，∴AB＝AE＋BE＝8(cm)．
故答案为：8．
典例精讲
根据勾股定理的逆定理，得∠AFE＝90°， ∴AF⊥EF．
变式训练
3．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式
＋|a－b|＝0，试判别△ABC 的形状．
[解析]
∴△ABC为等腰直角三角形．
典例精讲
类型之四 折叠问题
【例 4】已知方形纸片 ABCD 中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图的方式折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 DE＝______cm．
[解析]设 DE＝x cm，由题意，知 BE＝DE＝x cm，则 AE＝(10－x)cm
在 Rt△ADE 中，由∠A＝90°，AD＝4 cm，得
解得
故答案为：
变式训练
4．如图，在长方形纸片 ABCD 中，AB＝3，BC＝4．现将顶点 A，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为 EF，则重叠部分△AEF 的面积为________．
解：设CE＝x，则AE＝EC＝x，BE＝4－x，
在Rt△ABE中， ，
即 ，整理，得8x＝25，解得
∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF．
∵∠CEF＝∠AEF，∴∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE＝ ，
故答案为： ．
典例精讲
类型之五 勾股定理在实际生活中的应用
【例 5】如图，高速公路的同侧有 A，B 两个村庄，它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为 ．现要在高速公路的
之间设一个出口 P，使 A，B 两个村庄到 P 的距离之和最短，则这个最短距离是多少？
典例精讲
[解析]如图，过点 B 作点 B 关于直线 MN 的对称点 B′，
连接 AB′交 于点 P，则 AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，
点 P 即为到 A，B 距离之和最短的点．
过点 A 作 AE⊥BB′于点 E， 则
由勾股定理，得
即 AP＋BP＝AB′＝10 km．
故这个最短距离是 10 km．
变式训练
5．如图，有 A，B 两个村庄，A 村距河边 10 m，B 村距河边 30 m，两村的水平距离为 30 m，现要在河边建一抽水站，需铺设管道抽水到 A 村和 B 村(河的宽度小于 10 m)．
（1）求铺设管道的最短距离是多少，请画图求解；
（2）若铺设管道每米需要 500 元，则最低费用为多少？
变式训练
解：（1）如图，过点A作AC⊥河于点C，延长AC至点D，
使CD＝AC，连接BD，交河边于点E，连接AE，则抽水站应建在点E处，
才能使铺设的管道最短，最短距离为AE＋BE，即BD的长．
过点B作BF⊥CA，交CA的延长线于点F．
由题意得AC＝10 m，CF＝30 m，BF＝30 m，
∴CD＝AC＝10 m，∴DF＝10＋30＝40(m)．
在Rt△BDF中， ，∴BD＝50 m．
即铺设管道的最短距离是50 m．
（2）最低费用为50×500＝25 000(元)．
区校真题
1．（龙岗）下列条件中，不能判断△ABC 是直角三角形的是（ ）
A．a︰b︰c＝3︰4︰5 B．∠A︰∠B︰∠C＝3︰4︰5
C．∠A＋∠B＝∠C D．a︰b︰c＝1︰2︰ 3
2．（福田）如图，台风过后某小学的旗杆在 B 处断裂，旗杆顶部 A 落在离旗杆底部 C 点 8 米处，已知旗杆长 16 米，则旗杆断裂的地方距底部（ ）
A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米
B
C
区校真题
3．（龙岗）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点 D 是边 BC 上一点．若沿 AD 将△ACD 翻折，点 C 刚好落在 AB 边上点 E 处，则 BD＝__________．
2.5
区校真题
4．（龙华）如图，已知圆柱底面的周长为 24 cm，高为 5 cm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少长 _________cm．
6
区校真题
5．（南山）如图，在四边形 ABDC 中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．
（1）连接 BC，求 BC 的长；
（2）求△BCD 的面积．
解：（1）∵∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，
（2）∵BC＝15，BD＝8，CD＝17，
∴△BCD是直角三角形．
中考链接
已知整式 ，整式 B＞0．尝试化简整式 A．
发现： ，求整式 B．
联想：由上可知， ，当 n＞1 时， 为直角三角形的三边长，如图．填写下表中 B 的值：
中考链接
解：
当2n＝8时，n＝4，
当 时，
故答案为：15；37．
谢谢
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