【A典学案】冲刺100分 九年级上专题复习第二讲 一元二次方程课件（29张）

第二讲 一元二次方程
人教版 九年级上册
知识清单
1．一元二次方程
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ___________________（a，b，c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
[注意]定义应注意四点：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数为 2；（3）二次项系数不为 0； （4）整式方程．
2．一元二次方程的一般形式
（a，b，c 为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中 分别称为________，________ 和常数项，a，b 分别称为二次项系
二次项 一次项
知识清单
数和一次项系数．
3．直接开平方法
直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用于解形如
(b≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知 x＋a 是 b 的平方根，当 b≥0 时，x＝___________；当 b＜0 时，方程没有实数根．
4．配方法
（1）配方法的基本思想：转化思想，把方程转化为 (b≥0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两边同时开平方．
知识清单
（2）用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化二次项系数为 1，即方程两边同时除以二次项系数；
②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；
③配方，方程两边同时加上 _____________________，并写成 的形式，若 b≥0，直接开平方求出方程的根．
5．公式法
（1）一元二次方程 的求根公式：x＝ ___________．
（2）用公式法解一元二次方程的一般步骤：
一次项系数一半的平方
知识清单
①把一元二次方程化成一般形式： ；
②确定 a，b，c 的值；
③求 的值；
④当 时，则将 a，b，c 及 的值代入求根公式求出方程的根，若 ，则方程无实数根．
6．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（1）将方程变形为右边是 0 的形式；
（2）将方程的左边分解因式；
知识清单
（3）令方程左边的每个因式为 0，转化成两个一次方程；
（4）分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解．
7．一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根．
反之，结论也成立．
知识清单
8．一元二次方程根与系数的关系
若 是一元二次方程 有两根，则
9．列方程解应用题的一般步骤
（1）审核：通过审题弄清已知量和未知量之间的数量关系．
（2）设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法．
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节
知识清单
最重要，决定着能否顺利解决实际问题．
（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．
（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
典例精讲
类型之一 一元二次方程的解法
【例 1】（1）用配方法解方程： ；
（2）用因式分解法解方程： ；
（3）用公式法解方程： ．
典例精讲
[解析]（1）把方程的各项都除以 3，得 ，即
配方，得
即
解这个方程，得 ，
即
（2）原方程变形为 ， (x－3)(x－3－1)＝0，
即(x－3)(x－4)＝0， x－3＝0 或 x－4＝0，

典例精讲
（3）a＝1，b＝1，c＝－1，
变式训练
1．用适当方法解下列方程：
变式训练
解：
（3）原式可化为(x－3)(x－3＋4x)＝0，
∴x－3＝0或5x－3＝0，解得
典例精讲
类型之二 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【例 2】关于 x 的一元二次方程 的实数根是 和 ．
（1）求 k 的取值范围；
（2）如果 且 k 为整数，求 k 的值．
[解析]（1）∵方程有实数根，
解得 k≤0．
∴k 的取值范围是 k≤0．
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，得
典例精讲

则
由已知，得－2－k－1＜－1，解得 k＞－2．
又由（1）知 k≤0，∴－2＜k≤0．
∵k 为整数，
∴k 的值为－1 或 0．
变式训练
2．已知关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．
解：（1）
∵方程有两个不等的实根，
∴20－8k＞0，∴k＜ ；
（2）∵k为正整数，即k为1或2，
∵方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数．
当k＝1时，5－2k＝3；
当k＝2时，5－2k＝1．
∴k＝2．
典例精讲
类型之三 一元二次方程的应用
【例 3】某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27 000 元．根据图所示的对话，请问该单位这次共有多少名员工去天水湾风景区旅游？
典例精讲
[解析]设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游．
∵1000×25＝25000（元）＜27 000 元，
∴员工人数一定超过 25 人．
可得方程[1000－20(x－25)]x＝27 000．
整理，得 ，解得 ．
当 时，1000－20(x－25)＝600＜700，不符合题意，舍去；
当 时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意．
答：该单位这次共有 30 名员工去天水湾风景区旅游．
变式训练
3．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？
变式训练
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则经过1轮后有(1＋x)台电脑被染上病毒，2轮后就有 台电脑被感染病毒，
依题意，得 ，
解得 （舍去）．
∴每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．
由此规律，经过3轮后，有 台电脑被感染．
由于729＞700，
∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
区校真题
1．（福田）一元二次方程(x－2)2＝0 的根是（ ）
A．x＝2 B．
C． D．
2．（龙岗）若关于 x 的一元二次方程 有实数根，则 a 的取值范围为（ ）
A．a≥－2 B．a≠2
C．a＞－2 且 a≠2 D．a≥－2 且 a≠2
B
D
区校真题
3．（宝安）天猫某店铺第 2 季度的总销售额为 662 万元，其中 4 月份的销售额是 200 万元，设 5，6 月份的平均增长率为 x，求此平均增长率可列方程为（ ）
A． B．200＋200(1＋x)2＝662
C． D．200＋200x＋200(1＋x)2＝662
4．（龙华）若 x＝1 是方程 2x2－2x＋c＝0 的一个根，则 c＝ ________．
5．（罗湖）方程 2x－4＝0 的解也是关于 x 的方程 x2＋kx＋2＝0 的一个解，则 k 的值为 __________．
C
0
-3
区校真题
6．（南山）解下列方程：
解：
区校真题
7．（宝安）光明农场准备修建一个矩形苗圃园，苗圃一边靠墙，其他三边用长为 48 米的篱笆围成．已知墙长为 a 米．设苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米．
（1）求当 x 为多少米时，苗圃园面积为 280 平方米；
（2）若 a＝22 米，当 x 取何值时，苗圃园的面积最大，并求最大面积．
区校真题
（1）解：设面积为y，由题意可得
即y与x的函数关系式是y＝－2x2＋48x．
当y＝280时，280＝－2x2＋30x．解得x＝10或14．
∴当x为10或14米时，苗圃园的面积为280平方米．
（2）∵a＝22，∴0＜48－2x≤22，解得13≤x＜24．
∵y＝－2x2＋48x＝－2(x－12)2＋288，
∴当x＝13米时，y＝－2×(13－12)2＋288＝286(平方米)．
综上所述，当x＝13米时，苗圃园的最大值为286平方米．
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1．已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2． （1）求 k 的取值范围；
（2）若 x1＋x2＝3，求 k 的值及方程的根．
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解：（1）∵关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴ ＞0．∴(2k＋1)2－4(k2＋1)＞0．
整理得，4k－3＞0，解得k＞
故实数k的取值范围为k＞
（2）∵方程的两个根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝2k＋1＝3，
解得k＝1，
∴原方程为x2－3x＋2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
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2．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 5G 等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东 5G 基站的数量约 1.5 万座，计划到 2020 年底，全省 5G 基站数是目前的 4 倍，到 2022 年底，
全省 5G 基站数量将达到 17.34 万座．
（1）计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率．
中考链接
解：（1）1.5×4＝6(万座)．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）设2 020年底到2 022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得6(1＋x)2＝17.34，
解得x1＝0.7＝70%，x2＝－2.7(舍去)．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
谢谢
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