【A典学案】冲刺100分 九年级上专题复习第一讲 特殊平行四边形课件（37张）

第一讲 特殊平行四边形
人教版 九年级上册
知识清单
1．菱形的定义和性质
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）性质：①菱形的四条边都 _______；②菱形的对角线互相 _______，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点；菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴．
[注意]菱形是特殊的平行四边形，故它具有平行四边形的一切性质．
2．菱形的判定方法
相等
垂直平分
知识清单
（1）有一组邻边相等的_______________是菱形；
（2）对角线互相垂直的_______________ 是菱形；
（3）四条边相等的_______________是菱形．
[辨析]四边形、平行四边形、菱形的关系如图：
平行四边形
平行四边形
四边形
知识清单
3．菱形的面积
（1）由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高；
（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线把菱形分成 4 个全等的直角三角形，故菱形的面
积等于两对角线乘积的一半．
4．矩形的性质
（1）矩形的对边________________；
（2）矩形的对角__________；
平行且相等
相等
知识清单
（3）矩形的对角线____________ 、____________；
（4）矩形的四个角都是直角（或矩形的四个角相等）；
（5）矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的_____________三角形；
（6）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴由__________条，对称中心是对角线的交点．
（7）矩形的面积等于两邻边的___________．
[注意]利用“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质可以得出直角三角形的一个常用的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的_____________．
互相平分 相等
等腰
两
乘积
一半
知识清单
5．矩形的判定
（1）有一个角是直角的_______________是矩形；
（2）有三个角是直角的_______________是矩形；
（3）对角线相等的_______________是矩形．
6．正方形的性质
（1）正方形的对边_______________；
（2）正方形的四边_______________；
（3）正方形的四个角都是_______________；
平行四边形
四边形
平行四边形
平行
相等
直角
知识清单
（4）正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分，每条对角线平分一组对角；
（5）正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有_______条，对称中心是对角线的交点．
7．正方形的判定
（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
（2）有一组邻边相等的___________是正方形；
（3）有一个角是直角的____________是正方形．
四
矩形
棱形
知识清单
[注意]矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形．矩形是有一个内角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；正方形既是矩形，又是菱形．
8．中点四边形
中点四边形就是连接四边形各边中点所得的四边形，我们可以得到下面的结论：
（1）顺次连接四边形四边中点所得的四边形是_______________；
（2）顺次连接矩形四边中点所得的四边形是_________________；
平行四边形
棱形
知识清单
（3）顺次连接菱形四边中点所得的四边形是______________；
（4）顺次连接正方形四边中点所得的四边形是________________；
（5）顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是__________________．
[总结]顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是____________；
顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是_____________．
矩形
正方形
棱形
棱形
矩形
典例精讲
类型之一 菱形的性质与判定
【例 1】如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 分别为边 AB，AD 的中点，连接EF，OE，OF．求证：四边形 AEOF 是菱形．
[解析]证明：∵点 E，F 分别为 AB，AD 的中点，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝AD， ∴AE＝AF．
典例精讲
又∵菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
∴O 为 BD 的中点，
∴OE，OF 是△ABD 的中位线．
∴OE∥AD，OF∥AB，
即四边形 AEOF 是平行四边形．
又∵AE＝AF，
∴四边形 AEOF 是菱形．
变式训练
1．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M，与 BC 相交于点 N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形 BMDN 是菱形；（2）若 AB＝4，AD＝8，求 MD 的长．
变式训练
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°．
∵MN是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，BD⊥MN．
又∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD．
在△DOM和△BON中，
∴△DOM≌△BON，∴DM＝BN．
∴四边形BNDM是平行四边形．
变式训练
（2）∵四边形BMDN是菱形，∴MB＝MD．
设MD的长为x，则MB＝DM＝x，AM＝8－x．
在Rt△AMB中， ，
即 ，解得x＝5．
即MD的长为5．
典例精讲
类型之二 矩形的性质与判定
【例 2】如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC，CE∥AD 且 CE＝AD． （1）求证：四边形 ADCE 是矩形；
（2）若△ABC 是边长为 4 的等边三角形，AC，DE 相交于点 O，在 CE 上截取 CF＝CO，连接 OF，求线段 CF 的长及四边形 AOFE 的面积．
典例精讲
[解析]（1）证明：∵CE∥AD 且 CE＝AD，
∴四边形 ADCE 是平行四边形．
∵在△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．
∴四边形 ADCE 是矩形．
（2）∵△ABC 是等边三角形，边长为 4， ∴AC＝4，∠DAC＝30°，
∴∠ACE＝30°，AE＝2，CE＝ ．
∵四边形 ADCE 为矩形，
典例精讲
∴OC＝OA＝2．
∵CF＝CO，∴CF＝2．
过点 O 作 OH⊥CE 于点 H，
变式训练
2．如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 上的点，AE＝CF，连接 EF，BF，EF 与对角线 AC 交于点 O，且 BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF； （2）若 BC＝ ，求 AB 的长．
变式训练
变式训练
∵∠BEF＝2∠BAC，∠BEF＋∠ABO＝90°，
∴2∠BAC＋∠BAC＝90°，解得∠BAC＝30°．
典例精讲
类型之三 正方形的性质与判定
【例 3】如图，把正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 45°得到正方形 A′B′CD′（此时，点 B′落在对角线 AC 上，点 A′落在 CD 的延长线上），A′B′交 AD 于点 E，连接 AA′，CE．
求证：（1）△ADA′≌△CDE； （2）直线 CE 是线段 AA′的垂直平分线．
典例精讲
[解析]证明：（1）由正方形的性质及旋转，得AD＝DC，∠ADC＝90°，AC＝A′C， ∠DA′E＝45°，∠ADA′＝∠CDE＝90°，
∴∠DEA′＝∠DA′E＝45°．∴DA′＝DE．
∴△ADA′≌△CDE．
（2）由正方形的性质及旋转，得 CD＝CB′，∠CB′E＝∠CDE＝90°，CE＝CE，
∴Rt△CB′E≌Rt△CDE，∴∠B′CE＝∠DCE．
又∵AC＝A′C，∴直线 CE 是线段 AA′的垂直平分线．
变式训练
3．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，BE＝3，CE＝2，点 P 在 BD 上，求 PE 与 PC 的长度和的最小值．
解：连接AP，AE，如图．
∵正方形ABCD关于BD对称，∴PA＝PC．
在△PAE中，PA＋PE＞AE，
当P在AE上时，PA＋PE最小，且等于AE．
在Rt△ABE中，
∴PA＋PE的最小值为 ．即PE与PC的长度和的最小值为
典例精讲
类型之四 与矩形有关的折叠计算问题
【例 4】如图，将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上的 F 点处．已知 CE＝3 cm，AB＝8 cm，求图中阴影部分的面积．
[解析]由已知，得 EF＝DE＝5 cm，
由勾股定理，得
设 BF＝x，则 AF＝AD＝BC＝x＋4， 在 Rt△ABF 中，由勾股定理，得 ，解得 x＝6．
∴阴影部分的面积为
变式训练
4．如图，ABCD 是一张边 AB 长为 2，边 AD 长为 1 的矩形纸片，沿过点 B 的折痕将∠A 翻折，使得点 A落在边 CD 上的点 A′处，折痕交边 AD 于点 E． （1）求∠DA′E 的大小；
（2）求△A′BE 的面积．
变式训练
解：（1）由折叠得Rt△ABE≌Rt△A′BE．
则在Rt△A′BC中，A′B＝2，BC＝1，得∠BA′C＝30°．
又∠BA′E＝90°，∴∠DA′E＝60°．
（2）在Rt△A′BC中，A′B＝2，BC＝1，得A′C＝ ，
设AE＝x，则ED＝1－x，A′E＝x．
在Rt△A′DE中，
即
解得
在Rt△A′BE中， ，A′B＝AB＝2，
区校真题
1．（宝安）如图，已知 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，∠AOB＝60°，作 DE∥AC，CE∥BD，DE，CE相交于点 E．四边形 OCED 的周长是 20，则 BC＝（ ）
A．5 B． C．10 D．
B
区校真题
2．（光明）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 AB 边的中点，点 F 在 DE 上，CF＝CD，过点 F 作 FG⊥FC交 AD 于点 G．下列结论：
①GF＝GD；②AG＞AE；③AF⊥DE；④DF＝4EF．
正确的是（ ）
A．①② B．①③
C．①③④ D．③④
C
区校真题
3．（南山）如图，将菱形纸片 ABCD 折叠，使点 A 恰好落在菱形的对角线交点 O 处，折痕为 EF，若菱形ABCD 的边长为 2 cm，∠B＝60°，那么 EF＝________ cm．

4．（龙华）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 6，E 为 BC 的中点，将△ABE 沿直线 AE 折叠后，点 B 落在点 F 处，AF 交对角线 BD 于点 G，则 FG 的长是__________．
区校真题
5．（宝安）如图，在矩形 ABCD 中，过 BD 的中点 O 做 EF⊥BD，分别与 AB，CD 交于点 E，F．连接 DE，BF
（1）求证：四边形 BEDF 是菱形；
（2）若 M 是 AD 中点，连接 OM 与 DE 交于点 N，AD＝OM＝4，则 ON 的长是多少？
区校真题
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴∠DEO＝∠OFB，∠EDO＝∠OBF．
∵O是BD的中点，∴OB＝OD．
∴△EOD≌△FOB．∴EO＝FO．
又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
（2）∵M是AD中点，OD＝OB，
区校真题
∴MO是△ABD的中位线．
∴MO∥AB，MO＝ AB．
∴ON是△DEB的中位线．∴ON＝ EB．
∵AD＝OM＝4，∴AB＝2MO＝8．
设ON＝x，则EB＝2x，AE＝AB－EB＝8－2x，DE＝EB＝2x．
在Rt△DAE中，由勾股定理得：
解得x＝ ．
综上，ON的长是 ．
区校真题
6．（光明）如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 边上一点，连接 DE，交 AC 于点 H，过点 D 作 DF⊥DE， 交 BC 的延长线于 F，连接 EF 交于 AC 于点 G．
（1）请写出 AE 和 CF 的数量关系：_________；
（2）求证：点 G 是 EF 的中点；
区校真题
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠DAB＝∠DCF＝∠ADC＝90°．
∵DF⊥DE，∴∠DEF＝90°．即∠CDE＋∠CDF＝90°．
∵∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠CDF．
∵AD＝CD，∠DAE＝∠DCF，∴△DAE≌△DCF．∴AE＝CF．
故答案为：AE＝CF或者相等．
（2）过E作EM∥BC交AC于M．
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴∠BAC＝ ∠BAD＝45°．
区校真题
∵EM∥BC，∴∠AEM＝∠B＝90°．∴∠AME＝90°－∠EAM＝45°．
∴∠AEM＝∠EAM．∴AE＝EM．
由（1）得AE＝CF，∴CF＝EM．
∵EM∥BC，∴∠MEG＝∠GFC，∠EMG＝∠GCF．
∴△EMG≌△FCG．∴EG＝FG．∴G为EF的中点．
中考链接
如图，正方形 ABCD，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 DE＝CF，AF 与 BE 相交于点 G．
（1）求证：BE＝AF； （2）若 AB＝4，DE＝1，求 AG 的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，∴AE＝DF．
在△BAE和△ADF中，
∴△BAE≌△ADF(SAS)，
中考链接
（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠GAE＋∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝3．

在Rt△ABE中，

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