【A典学案】冲刺100分 七年级上专题复习第二讲 有理数及其运算课件（39张）

第二讲 有理数及其运算
人教版 七年级上册
知识清单
1．有理数
（1）有理数 （2）有理数
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了 _______、_________、___________的直线叫数轴；
（2）数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，零用_____表示，正有理数用__________的点表示，负有理数用___________的点表示；
（3）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；正数大于0，负数小
整数
分数
正整数
零
负整数
正分数
负分数
正有理数
零
负有理数
正整数
正分数
负整数
负分数
原点 正方向 单位长度
原点
原点右边
原点左边
知识清单
于0，正数大于负数．
3．相反数
（1）概念：如果两个数只有_______不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这个两个数互为相反数，特别地，0的相反数是___；
（2）几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的_____，并且与原点的距离______ ．
4．绝对值
（1）概念：在数轴上，一个数所对应的点与_______的距离叫做这个数的
符号
0
两侧
相等
原点
知识清单
绝对值；
（2）绝对值的求法：正数的绝对值是它_______，负数的绝对值是它的
__________，0的绝对值是 _____．
5．有理数的加法
（1）法则：同号两数相加，取______的符号，并把绝对值_______；异号两数相加，绝对值相等时和为_____，绝对值不相等时，取绝对值较____的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同_____相加，仍得这个数．
本身
相反数
0
相同
相加
0
大
0
知识清单
（2）运算律：①交换律：a＋b＝________；②结合律：(a＋b)＋c＝
_______________．
6．有理数的减法
（1）法则：减去一个数，等于加上这个数的__________；
（2）字母表示：a－b＝a＋ _______ ．
7．有理数的乘法
（1）法则：两数相乘，同号得 ___ ，异号得 ____ ，并把绝对值 相乘 ；任何数与0相乘，积仍为 ____ ．
b＋a
a＋(b＋c)
相反数
(－b)
正
负
0
知识清单
（2）推广：几个不为0的有理数相乘，积的符号由 _________ 的个数决定，当 ________ 为奇数个时，积为 ____ ；当 _______ 为偶数个时，积为 _____ ．
（3）倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数，如－2与_____；____与____．
（4）运算律：①交换律：a·b＝ ________ ；②结合律：(a·b)·c＝ ________ ；③乘法对加法的分配律：a(b＋c)＝ ___________ ．
8．有理数的除法
（1）法则一：两个有理数相除，同号得 _____ ，异号得 ____ ，并把绝
负因数
负因数
负
负因数
正
b·a
a·(b·c)
ab＋ac
正
负
知识清单
对值 _______ ；0除以任何非0的数都得 _____ ．
（2）法则二：除以一个数等于乘这个数的 ______ ．
9．有理数的乘方
（1）意义：一般地，求n个相同因数a的 ____ 的运算叫做乘方；即＝an，其中乘方的结果叫做 _____ ，a叫做 _______ ，n叫做 _______ ；
（2）乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是 _______ ，负数的奇数次幂是 ________ ，负数的偶数次幂是 ______ ．
相除
0
倒数
积
幂
底数
指数
正数
负数
正数
知识清单
10．有理数的混合运算的运算顺序
先算 _______ ，再算 ______ ，最后算 _______ ；如果有括号，就先算 _________________ ．
11．科学记数法
一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中 ___ ≤a＜ ___ ，n是 __________ ，这种记数方法叫做科学记数法．
乘方
乘除
加减
括号里面的
1
10
正整数
典例精讲
类型之一 有理数的分类
【例1】把下列各数分别填在相应的括号内
正数：｛ ｝； 负数：｛ ｝；
正整数：｛ ｝； 正分数：｛ ｝；
负整数：｛ ｝； 负分数：｛ ｝．
典例精讲
[解析]正数： ；
负数： ；
正整数：｛13，＋6｝；
正分数： ；
负整数：｛－2｝；
负分数：
变式训练
1．把下列各数分别填在相应的大括号内．

（1）整数集合：{ }；
（2）分数集合：{ }；
（3）负数集合：{ }；
（4）自然数集合：{ }．
变式训练
【答案】（1）整数集合：{－5，10，0，2020，－69}；
（2）分数集合： ；
（3）负数集合： ；
（4）自然数集合：{10，0，2020}．
典例精讲
类型之二 相反数和绝对值
【例2】绝对值等于3的数有____个，它们分别是_____，它们表示的是一对 ______数．
[解析]正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此，绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数．
故答案为：2；3，－3；相反．
变式训练
2． 如果a的相反数是2，那么a等于（ ）
A．－2 B．2 C． D．
【答案】A
典例精讲
类型之三 数轴
【例3】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．ab＞0
C．a＋b＞0 D．|a－b|＞1
[解析]由数轴可得：－2＜b＜－1，0＜a＜1，则|a|＜|b|，故选项A错误；
ab＜0，故选项B错误；a＋b＜0，故选项C错误；|a－b|＞1，正确．
故选D．
变式训练
3．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试化简|a－1|－|b－a|．
【答案】|a－1|－|b－a|＝a－1＋(b－a)＝a－1＋b－a＝b－1．
典例精讲
类型之四 科学记数法
【例4】在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米，数字19400000000用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1.94×10 B．0.194×10
C．19.4×10 D．1.94×10
典例精讲
[解析]用科学记数法表示一个大于10的数，就是把这个数表示为a×10 (其中a是整数位数只有一位的数，n是正整数)的形式．因此，准确地理解科学记数法的概念，紧紧抓住a，n的条件是解决此类题的关键．根据科学记数法表示数的规律，当原数大于10时，10的幂指数n＝原数整数位数－1，
则19 400 000 000＝1.9×10 ．
故选A．
变式训练
4．某机构对30万人的调查显示，沉迷于手机上网的初中生大约占7%，则这部分沉迷于手机上网的初中生人数，可用科学记数法表示为（ ）
A．2.1×10 B．21×10
C．0.21×10 D．2.1×10
【答案】因为30万×7%＝300 000×7%＝21 000＝2.1×10 ．故选D．
典例精讲
类型之五 有理数的运算
【例5】计算：
典例精讲
[解析]（1）原式＝
（2）原式＝
或原式＝
变式训练
5．计算：
变式训练
【答案】（1）原式＝
（2）原式＝
（3）原式＝
（4）原式＝
典例精讲
类型之六 利用运算律简化运算
【例6】计算：
[解析] 原式＝
变式训练
6．计算：
【答案】原式
典例精讲
类型之七 有理数运算的应用
【例7】某粮食加工厂刚加工了10箱袋装大米，每箱20袋，每袋800克．其中有一箱因为灌装机出现故障，每袋少了50克．厂长责令质检员只能称一次，就要查出是哪一箱出现问题．质检员小明思考了一下，他将10个箱子从1到10作了编号，然后从1号箱子中取出1袋大米，从2号箱子中取出2袋大米，依此类推．这样一共取了55袋大米，将它们一起称量，称得质量为43 800克，随后就找出了是哪一箱．你能明白其中的道理吗？
典例精讲
[解析]55袋大米的标准质量应为800×55＝44 000（克），但是实际质量是43 800克，少了200克．
∵每袋中少了50克，200÷50＝4，
∴是4号箱子中的大米不足．
变式训练
7．某出租车周日下午以钟楼为出发点，在东西方向的大街上行驶，规定向东为正，向西为负，行驶里程按照先后顺序记录如下（单位：km）：
＋9，－3，－5，＋4，－8，＋6，－3，－6，－4，＋10．
（1）最后出租车离开钟楼多远？在钟楼的什么方向？
（2）若每千米的收费价格是2.4元，该出租车周日下午的营业额是多少？
变式训练
【答案】（1）＋9－3－5＋4－8＋6－3－6－4＋10＝0，故该出租车正好在钟楼处．
（2）2.4×(|＋9|＋|－3|＋|－5|＋|＋4|＋|－8|＋|＋6|＋|－3|＋|－6|＋|－4|＋|＋10|)
＝2.4×58＝139.2（元）．
即该出租车周日下午的营业额是139.2元．
区校真题
1．（罗湖）在|－1|，(－1) ，(－1) ，－(－1)这四个数中，与－1互为相反数的数的个数有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．（南山）根据国家气象局统计，全球平均每年发生雷电次数约为16 000 000次，将16 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．1.6×10 B．1.6×10
C．16×10 D．1.6×10
C
B
区校真题
3．（宝安）已知有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中不正确的是（ ）
A．a＋b＜0 B．b－a＞0
C．ab＞0 D．|a|－|b|＞0
4．（坪山）下列运算正确的是（ ）
A．8－(－2)＝8＋2 B．
C．(－3)×(－4)＝－7 D．2－7＝(＋2)＋(＋7)
C
A
区校真题
5．（百外）a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则化简|a－b|－|a－c|的结果是_________________．
6．（罗湖）某品牌冰箱启动后开始降温，如果冰箱启动时的温度是10℃，每小时冰箱内部的温度降低5℃（降至设定温度后即停止降温），那么3小时后冰箱内部温度是 __________．
2a－b－c
－5℃
区校真题
7．（福田）计算：
（1）－8－(－9)＋(－3)；
【解答】（1）原式＝－8＋9－3＝－2；
（2）原式＝9－8－1＝0；
（3）原式＝1＋3－2＝2．
区校真题
8．（南山）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将 化为分数形式
由于 ＝0.777…，设x＝0.777…①
则10x＝7.777…②
②－①得9x＝7，解得x＝ ，于是得 ＝ ．
同理可得
区校真题
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
【基础训练】
（1） ＝_________， ＝__________；
（2） 将化为分数形式，写出推导过程；
【能力提升】
（3） ＝_______， ＝_____；（注：＝0.315 315…，＝2.018 18…）
【探索发现】
（4）①试比较 与1的大小： _______1（填“＞”、“＜”或“＝”）
区校真题
②若已知 ，则 ＝___．（注： ）
【解答】（1）由题意知 ，故答案为：
（2）
设x＝0.232 323……①，则100x＝23.232 3……②，
②－①，得：99x＝23，解得： ，∴
（3）同理
故答案为：
区校真题
（4）①
故答案为：＝．
②

故答案为： ．
中考链接
1．下列各数中，负数是（ ）
A．－(－2) B．－|－2| C．(－2) D．(－2)
2．4月24日是中国航天日．1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米，将439 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×10 B．4.39×10
C．4.39×10 D．439×10
B
C
中考链接
3．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是－4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是__________
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