(共16张PPT)
3.3二元一次方程组及其解法
第1课时
二元一次方程组
在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
若设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，得方程：x+1=2（y-1）.
问题
某班同学在植树节时植樟树和白杨树共45棵.已知樟树苗每棵2元，白杨树苗每棵1元，购买这些树苗用了60元.问樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？
1
思考
1.上述问题中有几个未知数，列一元一次方程能解吗？
2.如果设两个未知数x，y，你能列出几个独立的方程？
设樟树苗买了x棵，白杨树苗买了y棵，
根据两种树苗总数为45棵，
x+y=45.
①
又根据购买树苗的总费用是60元，得
2x+y=60.
②
像这样含有两个未知数的一次方程，叫做二元一次方程.
这里的x，y必须同时满足上面的①②两个方程.因此，我们把上面两个方程加上括号联立在一起，写成：
x+y=45，
2x+y=60，
联立在一起的几个方程，称为方程组.
由两个一次方程组成的含两个未知数的方程组就叫做二元一次方程组.
下列方程组中不是二元一次方程组的是
（填序号）.
③④⑤
问题
我国古代算书《孙子算经》中有一题：今有雉（鸡）兔同笼，上有35头，下有94足，问雉、兔各几何？
2
设有雉x只，兔y只.根据头数、足数可得二元一次方程组：
x+y=35，
①
2x+4y=94，
②
含有两个未知数的一次方程
二元一次方程
二元一次方程组
两个
1.若方程(m－2)x
|m－1|
+
(n+3)y
n－8
=
6是关于x，y的二元一次方程，则m=
，n=
.
0
9
2.下列方程中，是二元一次方程的是（
）
D
3.下列方程中，是二元一次方程组的是（
）
A
4.根据题意，列出二元一次方程组；
（1）小华买了60分与80分的邮票共10枚，花了7元2角，那么，60分和80分的邮票各买了多少枚？
设60分的邮票买了x枚，80分的邮票买了y枚.
x+y=10，
60x+80y=720.
（2）甲、乙两人共植树138棵，甲所植的树比乙所植的树的
多8棵，试问甲、乙两人各植树多少棵？
设甲植树x棵，乙植树y棵.
x+y=138，
x
–
y=8.(共18张PPT)
第2课时
代入消元法
用含
x
的代数式表示
y
.
①2x+9=y
–
3
②4x
–
3y=72
y=2x+12
填表
x
4
3
2
1
0
y
0
1
2
3
4
x+y
36x+12y
4
4
4
4
4
144
120
96
72
48
上面各组值x，y对应值中，有哪一组都适合二元一次方程组
的两个方程？你能类比一元一次方程的解的概念得出二元一次方程组的解的概念吗？
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程.
思考
问题1中，我们得到方程组：
x+y=45，
①
2x+y=60，
②
怎样求出其中x，y的值呢？
由①得，
y=45
–
x，
③
把③代入②，得
2x+（45
–
x）=60，
解方程，得
x=15.
把x=15代入③，得
y=30.
通过“代入”，消去了一个未知数，二元转化成一元求解了！
解二元一次方程组的基本思想是“消元”，也就是要消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化成解一元一次方程.
从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
例1
解方程组：
2x+3y=
–
7，
①
x+2y=3，
②
分析：要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示.方程②中x的系数是1，因此，可以先将方程②变形，用含y的代数式表示x，再代入方程①求解.
解
由②，得
x=3
–
2y.
③
把③代入①，得
2（3
–
2y）+3y=
–7.
解得
y=13.
把y=13代入③，得
x=
–
23.
所以
x=
–
23，
y=13.
已知方程x
–
2y=6，用x表示y，则y=________；
用y表示x，则x=________.
2y
+
6
用一个未知数表示另一个未知数
代入消元
解一元一次方程得到一个未知数的值
求另一个未知数的值
代入法的核心思想是消元
1.把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：
解：
2.二元一次方程组
的解为（
）
x+2y=10
y=2x
x=4
y=3
A.
x=2
y=4
C.
x=3
y=6
B.
x=4
y=2
D.
C
3.用代入法解下列方程组：
解：（1）把①代入②，得7x+5（x+3）=9，
解得
，代入①，得
，
∴方程组的解为
解：（2）由①，得y=
–
4x+15.③
把③代入②得3x
–
2（–
4x+15）=3.
解得x=3.把x=3代入③，得y=3.
∴方程组的解为
4.小婷知道
和
都是二元一次方程ax+by+4=0的解，她想知道
是否也是方程ax+by+4=0的解，你能帮帮她吗？说说你的方法.
解：∵
和
都是二元一次方程ax+by
+4=0的解，∴
解得
代入二元一次方程ax+by+4=0，得-3x+y+4=0.
将
代入-3x+y+4=0，得-3×3+4+4=-1≠0，
∴
不是方程-3x+y+4=0的解.(共18张PPT)
第3课时
加减消元法
复习回顾
根据等式性质填空：若a=b，那么a±c=______.
若a=b，那么ac=______.
思考
若a=b，c=d，那么a+c=b+d
吗?
b±c
bc
等于
思考
解问题1中的方程组，除代入消元法外，是否还有别的消元法？
x+y=45，
①
2x+y=60.
②
x+y=45，
①
2x+y=60.
②
根据等式的基本性质可这样来考虑：
从方程②的两边各自减去方程①的两边，得
2x
–
x
=
60
–
45.
解方程，得
x=15.
把x=15代入①，得
y=30.
所以
x=15，
y=30.
把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法.
例2
解方程组：
4x+y=14，
①
8x+3y=30，
②
分析：在这个方程组中，直接将两个方程相加或相减，都不能消去未知数x或y，怎么办？我们可以对其中一个（或两个）方程进行变形，使得这个方程组中x或y的系数相等或互为相反数，再来求解.
解法一
将①×2，得，
8x+2y=28
③
②
–
③，得
y=2，
把y=2代入①，得
4x+2=14.
x=3.
所以
x=3，
y=2.
解法二
将①×3，得，
12x+3y=42
③
②
–
③，得
4x=12，
x=3.
把x=3代入①，得
y=2.
所以
x=3，
y=2.
解方程组：
练习
①
②
解：
①+②，得
4x=8.解得x=2.
把x=2代入①，
得2+2y=9.
解得
∴这个方程组的解为
例3
解方程组：
4x+2y=
–
5，
①
5x
–
3y=
–
9.
②
分析：比较方程组中的两个方程，y的系数的绝对值比较小，将①×3，②×2，就可使y的系数绝对值相等，再用加减法即可消去y.
①×3，得，
12x+6y=
–
15.
③
②×2，得
10x
–
6y=
–
18.
④
③+④，得
22x=
–
33，
x=
把x=
代入①，得
–
6+2y=
–
5.
y=
.
所以
加减消元法
条件：
步骤：
方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍
变形
加减
求解
回代
写出解
1.用加减法解下列方程组：
解：（1）②-①，得a=1.把a=1代入①，得
2×1+b=3.解得b=1.
∴这个方程组的解为
解：（2）②-①×4，得7y=7.解得y=1.把y=1
代入②，得2x+1=3.解得x=1.
∴这个方程组的解为
①
②
③
代入法
加减法
解：由①得
将③代入②，得
代入③，得
解：①×4-②
，得
代入①，得
2.
解方程组：
3.解下列方程组：
解：（1）整理得
①+②，得4y=28.解得y=7.把y=7代入①，得3x-7=8，解得x=5.
∴这个方程组的解为
解：（2）整理得
①×3-②,得2v=4.解得v=2.把v=2代入①，得8u+18=6.
解得
.∴这个方程组的解为
4.已知方程组
的解满足方程x+y=8,求m的值.
解：①+②，得5x+5y=2m+2.
又∵x+y=8，
∴5×8=2m+2.
解得m=19.
故m的值为19.(共13张PPT)
第4课时
灵活运用消元法解方程组
交流
用代入法、加减法解方程组的基本思路、具体步骤各是什么？用代入法、加减法解题时各应注意些什么？
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示y(或x)；
②将变形后的方程代入另一个方程中，消去y(或x)，得到一个关于x(或y)的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；
④把x(或y)的值代入方程中，求y(或x)的值；
⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解.
用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）如果某个未知数的系数的绝对值相等时，采用加减消去一个未知数.
（2）如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等，再加减消元.
（3）对于较复杂的二元一次方程组，应先化简，再作如上加减消元的考虑.
例4
解方程组：
2（x
–
150）=5（3y+50），
①
10%·x+6%·y=8.5%×800.
②
解
将原方程组化简，得
2x
–
15y=550，
③
5x+3y=3
400.
④
③+④×5，得
27x=17
550.
x=650.
将x=650代入④，得
5×650+3y=3
400.
y=50.
所以
解方程组：
练习
①
②
解
将原方程组化简，得
5x
+3y=15，
③
5x
–
3y=15.
④
③+④，得
10x=30.
x=3.
将x=3代入③，得
y=0.
所以
1.解方程组
（1）
①
②
解
将原方程组化简，得
8x
–
9y=2，
③
6x
–
3y=4.
④
④×3
–
③，得
10x=10，
x=1.
将x=1代入④，得
y=
.
所以
（2）
①
②
解
将原方程组化简，得
7m+n=24，
③
12m+n=24.
④
③
–
④，得
m=0.
将m=0代入③，得n=24.
所以
（3）
①
②
x+y=60，
30%·x+60%·y=10%×60.
解
将原方程组化简，得
x
+y=60，
③
3x
+6y=60.
④
③×3
–
④，得
–
3y=120，
y=
–
40.
将y=
–
40
代入③，得
x=100.
所以
2.已知二元一次方程组
的解为
求a，b的值.
ax+by=13，
（a+b）x
–
ay=9
x=3，
y=2.
解
根据题意，得
3a
+2b=13，
①
3（a+b）–
2a=9.
②
将方程组化简，得
3a
+2b=13，
③
a+3b=9.
④
④×3
–
③，得
7b=14，
b=2.
将b=2
代入④，得
a=3.
所以
