第二章 随机变量及其分布
课时作业9 离散型随机变量
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共计40分)
1．给出下列四个命题：
①在某次数学期中考试中，一个考场30名考生做对选择题第12题的人数是随机变量；②黄河每年的最大流量是随机变量；③某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；④方程x2－2x－3＝0根的个数是随机变量．其中正确命题的个数是( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①②③是正确的，④中方程x2－2x－3＝0的根有2个，是确定的，不是随机变量．
2．一个袋子中有除颜色外其他都相同的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出3个小球，下列变量是离散型随机变量的是( D )
A．小球滚出的最大距离
B．倒出小球所需的时间
C．倒出的3个小球的质量之和
D．倒出的3个小球的颜色的种数
解析：对于A，小球滚出的最大距离不是离散型随机变量，因为滚出的最大距离不能一一列出；对于B，倒出小球所需的时间不是离散型随机变量，因为所需的时间不能一一列出；对于C,3个小球的质量之和是一个定值，可以预见，结果只有一种，不是随机变量；对于D，倒出的3个小球的颜色的种数可以一一列出，是离散型随机变量．
3．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( C )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
解析：对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
4．袋中有10个红球、5个黑球，每次随机抽取1个球，若取得黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为( C )
A．X＝4
B．X＝5
C．X＝6
D．X≤4
解析：若第一次取到黑球，则放回1个红球，第二次取到黑球，再放回1个红球……共放回5个球，说明第六次取到了红球试验终止，故X＝6.
5．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能值为( B )
A．1,2，…，6
B．1,2，…，7
C．1,2，…，11
D．1,2,3，…
6．一串钥匙有5枚，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数ξ的最大可能取值为( D )
A．5
B．2
C．3
D．4
7．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( B )
A．5
B．9
C．10
D．25
解析：X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．
8．抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为( D )
A．0≤X≤5，X∈N
B．－5≤X≤0，X∈Z
C．1≤X≤6，X∈N
D．－5≤X≤5，X∈Z
解析：设x表示第一枚骰子掷出的点数，y表示第二枚骰子掷出的点数，X＝x－y，且(x－y)∈Z.|x－y|≤|1－6|，即－5≤X≤5.
二、填空题(每小题6分，共计18分)
9．一次掷两枚骰子，则点数之和η的取值的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．
10．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为ξ，则ξ＝3表示的试验结果是共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品．
解析：ξ＝3表示前2次均是正品，第3次是次品．
11．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是300,100，－100，－300.
解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．
三、解答题(共计22分)
12．(10分)某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内得分为ξ，写出ξ的可能取值．
解：ξ的可能取值为0,1,2.
ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品．
ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了．
ξ＝2表示在两天检查中没有发现次品．
13．(12分)某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只，公司要求至少要买50只，但不得超过80只．商厦有优惠规定：一次购买少于或等于50只的无优惠；多于50只的，超出的部分按原价的7折优惠．已知水杯原来的价格是每只6元．这个人一次购买水杯的只数ξ是一个随机变量，那么他所付款η是否也为一个随机变量呢？ξ，η有什么关系呢？
解：所付款η也是一个随机变量，且η＝50×6＋(ξ－50)×6×0.7＝4.2ξ＋90，ξ∈[50,80]，ξ∈N.
——素养提升——
14．(5分)若实数x∈R，记随机变量ξ＝则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为( A )
A．1
B．0
C．－1
D．1或0
解析：∵不等式≥1，可化为－1＝≥0，它等价于解得0
15．(15分)某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目做答．记某选手抽到科技类题目的道数为X.
(1)试求出随机变量X的可能取值．
(2)X＝1表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？
解：(1)由题意得X的可能取值为0,1,2,3.
(2)X＝1表示的试验结果是“恰好抽到一道科技类题目”．
从三类题目中各抽取一道有C·C·C·A＝180种不同的结果．
抽取1道科技类题目，2道文史类题目有C·C·A＝180种不同的结果．
抽取1道科技类题目，2道体育类题目，有C·C·A＝18种不同的结果．
所以可能出现180＋180＋18＝378种不同的结果．课时作业10 离散型随机变量的分布列
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共计40分)
1．设随机变量X的分布列如下，则下列各项中正确的是( A )
X
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.1
0.2
0.4
A.P(X＝1.5)＝0
B．P(X>－1)＝1
C．P(X<3)＝0.5
D．P(X<0)＝0
解析：由分布列知X＝1.5不能取到，∴P(X＝1.5)＝0，正确；而P(X>－1)＝0.9，P(X<3)＝0.6，P(X<0)＝0.1.故A正确．
2．已知随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
则常数c的值为( A )
A.
B.
C.或
D．以上答案都不对
解析：由离散型随机变量的分布列的性质知9c2－c＋3－8c＝1，∴c＝或.
又∵∴c＝.
3．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么( C )
A．n＝3
B．n＝4
C．n＝10
D．n＝9
解析：由ξ<4知ξ＝1,2,3，所以P(ξ<4)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＝，解得n＝10.
4．设某项试验的成功概率是失败概率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于( C )
A．0
B.
C.
D.
解析：设试验失败的概率为p，则2p＋p＝1，∴p＝.
5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝.
6．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是( C )
A．P(ξ＝2)
B．P(ξ≤2)
C．P(ξ＝4)
D．P(ξ≤4)
解析：15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，CC表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便，6个交通方便的村庄，故P(ξ＝4)＝.
7．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是( B )
A.
B.
C．[－3,3]
D．[0,1]
解析：设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝，
由解得－≤d≤.
8．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则以为概率的事件是( D )
A．都不是一等品
B．恰有一件一等品
C．至少有一件一等品
D．至多有一件一等品
解析：P(都不是一等品)＝＝，
P(恰有一件一等品)＝＝，
P(至少有一件一等品)＝1－＝，
P(至多有一件一等品)＝1－＝.
二、填空题(每小题6分，共计18分)
9．已知随机变量Y的分布列如下：
Y
1
2
3
4
5
6
P
0.1
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则x＝0.1，P(Y>3)＝0.45，P(1解析：由0.1＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，得x＝0.1.
P(Y>3)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＋P(Y＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45.
P(110．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1、2、3，c为常数，则P(0.5<ξ<2.5)＝.
解析：首先应根据概率和为1，求出字母c的取值，然后由0.5<ξ<2.5，即ξ＝1、2，求出概率．
由概率和为1，得1＝c(＋＋)＝c，故c＝.
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，
∴P(0.5<ξ<2.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.
11．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分．设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝.
解析：取出的4个球中红球个数可能为4、3、2、1，黑球相应个数为0、1、2、3，其分值为ξ＝4、6、8、10.P(ξ≤6)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝6)＝＋＝.
三、解答题(共计22分)
12．(10分)已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
(1)求η1＝ξ的分布列；
(2)求η2＝ξ2的分布列．
解：(1)η1＝ξ的分布列为
η1
－1
－
0
1
P
(2)η2＝ξ2的分布列为
η2
0
1
4
9
P
13.(12分)老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(2)他能及格的概率．
解：(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
——素养提升——
14．(5分)若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2，令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝0.8.
解析：由Y＝－2，且Y＝3X－2得X＝0，故P(Y＝－2)＝0.8.
15．(15分)有一种密码，明文由三个字母组成，密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成．编码规则如下表．明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成．(如明文取的三个字母为AFP，则与它对应的五个数字(密码)就为11223)
(1)假设明文是BGN，求这个明文对应的密码；
(2)设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数．
①求P(ξ＝2)；
②求随机变量ξ的分布列．
解：(1)这个明文对应的密码是12232.
(2)①∵表格的第一、二列均由数字1,2组成，∴当ξ＝2时，明文只能取表格第一、第二列中的字母．∴P(ξ＝2)＝＝.
②由题意可知，ξ的取值为2,3.∴P(ξ＝3)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.
∴ξ的分布列为
ξ
2
3
P课时作业11 条件概率
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共计40分)
1．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)等于( B )
A.
B.
C.
D.
解析：P(B|A)＝＝＝.
2．已知P(A|B)＝，P(AB)＝，则P(B)＝( B )
A.
B.
C.
D.
解析：∵P(A|B)＝，∴P(B)＝＝＝.
3．为考察两种药物预防疾病的效果，科研人员进行了动物实验，结果如下表，则在服用甲药品的前提下，未患病的概率是( C )
患病
不患病
总计
服用甲药品
10
45
55
服用乙药品
20
30
50
总计
30
75
105
A.
B.
C.
D.
解析：在服用甲药品的前提下，未患病的概率
P＝＝.
4．抛掷红、蓝两个骰子，事件A表示红骰子出现4点，事件B表示蓝骰子出现的点数是偶数，则P(A|B)为( D )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意，P(B)＝，P(AB)＝，所以P(A|B)＝＝.
5．某种元件用满6
000小时未坏的概率是，用满10
000小时未坏的概率是.现有一个此种元件，已经用过6
000小时未坏，则它能用到10
000小时的概率( A )
A.
B.
C.
D.
解析：设A＝{用满10
000小时未坏}，B＝{用满6
000小时未坏}，显然P(AB)＝P(A)，所以P(A|B)＝＝＝＝.
6．甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女同学有15名．则在碰到甲班同学时正好碰到一名女同学的概率为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：设“碰到甲班同学”为事件A，“碰到甲班女同学”为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝×，所以P(B|A)＝＝.
7．抛掷两枚质地均匀的骰子，在已知它们点数不同的情况下，至少有一枚出现6点的概率是( A )
A.
B.
C.
D.
解析：设“至少有一枚出现6点”为事件A，设“两枚骰子的点数不同”为事件B，则n(B)＝6×5＝30，n(AB)＝10，所以P(A|B)＝＝.
8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，这些球除颜色外其他都相同．先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，用A表示“从甲罐取出的球是红球”的事件；再从乙罐中随机取出一个球，用B表示“从乙罐取出的球是红球”的事件，则P(B|A)的值为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：当事件A发生时，乙罐中有5个红球，3个白球，3个黑球，则P(B|A)＝.
二、填空题(每小题6分，共计18分)
9．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的，而且三好学生中，女生占一半．现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为.
解析：设事件A表示“任选一名同学是男生”；事件B为“任选一名同学为三好学生”，则所求概率为P(B|A)．依题意得P(A)＝＝，P(A∩B)＝＝.故P(B|A)＝＝＝.
10．一种耐高温材料，能承受200度高温不熔化的概率为0.9；能承受300度高温不熔化的概率为0.45.现有一些这样的材料，在能承受200度高温不熔化的情况下，还能承受300度高温不熔化的概率是.
解析：设“能承受200度高温不熔化”为事件A，“能承受300度高温不熔化”为事件B，则P(B|A)＝＝＝.
11．某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班共分成4个小组，第一小组有学生10人，其中团员x人，如果要在班内任选一名学生当代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概率是，则x的值是4.
解析：设A＝{在班内任选一个学生，该学生属于第一小组}，B＝{在班内任选一个学生，该学生是团员}，则由已知P(AB)＝，P(B)＝，P(A|B)＝＝，解得x＝4.
三、解答题(共计22分)
12．(10分)一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则
(1)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率？
(2)先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率？
解：(1)设先摸出一个白球为A，放回，第二个摸出仍为白球为B，则P(B|A)＝＝.
(2)设先摸出一个白球为A，不放回，第二个摸出仍为白球为B，则P(B|A)＝＝.
13．(12分)抛掷质地均匀的红、蓝两枚骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(AB)．
(2)当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两枚骰子的点数之和大于8的概率是多少？
解：(1)设x为掷红色骰子得到的点数，y为掷蓝色骰子得到的点数，则所有可能的事件与(x，y)一一对应，由题意作图(如图)．
显然，P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.
(2)方法1：P(B|A)＝＝.
方法2：P(B|A)＝＝＝.
——素养提升——
14．(5分)已知P(B)>0，A1∩A2＝?，则下列式子成立的是( B )
①P(A1|B)>0；
②P((A1∪A2)|B)＝P(A1|B)＋P(A2|B)；
③P(A1|B)≠0；
④P(
|B)＝1.
A．①②③④
B．②
C．②③
D．②④
解析：①P(A1|B)≥0，故①错误；②正确；③P(A1|B)≥0；④P(12|B)≥0.
15．(15分)坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个咸鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮咸鸭蛋的概率；
(2)第1次和第2次都拿出绿皮咸鸭蛋的概率；
(3)在第1次拿出绿皮咸鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮咸鸭蛋的概率．
解：设“第1次拿出绿皮咸鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮咸鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮咸鸭蛋”为事件AB.
(1)从5个咸鸭蛋中不放回地依次拿出2个咸鸭蛋的基本事件数为n(Ω)＝5×4＝20.又n(A)＝3×4＝12.
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝3×2＝6，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮咸鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮咸鸭蛋的概率为P(B|A)＝＝＝.课时作业12 事件的相互独立性
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共计35分)
1．下列事件A、B是独立事件的是( A )
A．一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{第二次为反面}
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到白球}，B＝{第二次摸到白球}
C．掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数}
D．A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁}
解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果不可能同时发生，A、B应为互斥事件；D是条件概率，事件B受事件A的影响．
2．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则两粒种子都发芽的概率是( D )
A．0.26
B．0.08
C．0.18
D．0.72
解析：两粒种子都发芽的概率是P＝0.8×0.9＝0.72.
3．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：两户中至少有一户获得扶持资金的概率P＝×＋×＋×＝.故选C.
4．在某道路A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：从题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为、、.在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为××＝.
5．从某地区的儿童中预选体操学员，已知这些儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( D )
A.
B.
C.
D.
解析：这两项都不合格的概率是(1－)(1－)＝，所以至少有一项合格的概率是1－＝.
6．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则p＝( B )
A.
B.
C.
D.
解析：记“系统A发生故障”和“系统B发生故障”分别为事件A和B，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件C，则P(C)＝P()P(B)＋P(A)P()＝·p＋(1－p)＝，解得p＝，故选B.
7.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是( A )
A.
B.
C.
D.
解析：由题知逆时针跳一次的概率为，顺时针跳一次的概率为.则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝××＝，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝××＝.所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.
二、填空题(每小题6分，共计18分)
8．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则
(1)2个球不都是红球的概率.
(2)2个球都是红球的概率.
(3)至少有1个红球的概率.
(4)2个球中恰好有1个红球的概率.
解析：(1)，(2)，(3)，(4)中的事件依次记为A，B，C，D，则P(A)＝1－×＝；P(B)＝×＝；
P(C)＝1－(1－)×(1－)＝；
P(D)＝×(1－)＋(1－)×＝.
9．某人有8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门．一天该人醉酒回家，每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是.
解析：由已知每次打开家门的概率为，则该人第三次打开家门的概率为(1－)(1－)×＝.
10．已知A，B，C为三个彼此互相独立的事件，若事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，事件C发生的概率为，则发生其中两个事件的概率为.
解析：由题意可知，所求事件的概率P＝×(1－)×＋×(1－)×＋(1－)××＝＋＋＝.
三、解答题(共计27分)
11．(12分)某大街在甲、乙、丙三个地方设有交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方通过(即通过绿灯)的概率分别是、、，对于该大街上行驶的汽车，求：
(1)在三个地方都不停车的概率；
(2)在三个地方都停车的概率；
(3)只在一个地方停车的概率．
解：记汽车在甲地遇到绿灯为事件A，汽车在乙地遇到绿灯为事件B，汽车在丙地遇到绿灯为事件C，则P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝，P(C)＝，P()＝.
(1)在三个地方都不停车的概率为
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)在三个地方都停车的概率为
P(
)＝P()P()P()＝××＝.
(3)只在一个地方停车概率为
P(BC＋A
C＋AB
)＝P(BC)＋P(A
C)＋P(AB
)＝P()P(B)P(C)＋P(A)·P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝××＋××＋××＝.
12．(15分)某省电视台举行歌唱大赛，大赛依次设初赛，复赛，决赛三个轮次的比赛．已知某歌手通过初赛，复赛，决赛的概率分别为，，，且各轮次通过与否相互独立．记该歌手参赛的轮次为ξ.
(1)求ξ的分布列；
(2)记“函数f(x)＝3sinπ(x∈R)是偶函数”为事件A，求A发生的概率．
解：(1)ξ的可能取值为1,2,3.
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝×＝.
ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
(2)因为f(x)＝3sinπ(x∈R)是偶函数，所以ξ＝1或ξ＝3.P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＝＋×＝.
——素养提升——
13.(5分)在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是( B )
A.
B.
C.
D.
解析：设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，ABC，AB，AC互斥，所以P(E)＝P((ABC)∪(AB)∪(AC))＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＝××＋××(1－)＋×(1－)×＝.
14．(15分)随机抽取某城市一年(365天)内100天的空气质量指数AQI的监测数据，结果统计如下：
(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位：元)与空气质量指数AQI(记为ω)的关系式为S＝试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；
(2)若以上表统计的频率作为概率，求该城市某三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率．(假定这三天中空气质量互不影响)
解：(1)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由200(2)记“空气质量为轻度污染”为事件B，由题意知P(B)＝，则P()＝，记“三天中恰有一天空气质量为轻度污染”为事件C，则P(C)＝××＋××＋××＝0.441.
故三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率为0.441.课时作业13 独立重复试验与二项分布
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共计40分)
1．如果随机变量ξ～B(6，)，则P(ξ＝3)的值为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：P(ξ＝3)＝C()3(1－)3＝.
2．小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：P＝C()(1－)2＝.
3．每次试验的成功率为p(0A．Cp3(1－p)7
B．Cp7(1－p)3
C．p3(1－p)7
D．p7(1－p)3
解析：成功率为p，则不成功的概率为1－p.前7次都未成功概率为(1－p)7，后3次成功概率为p3，故C正确．
4．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( A )
A．[0.4,1]
B．(0,0.4]
C．(0,0.6]
D．[0.6,1)
解析：∵P(ξ＝1)≤P(ξ＝2)，
∴C·p(1－p)3≤Cp2(1－p)2，
∴4(1－p)≤6p，∴0.4≤p≤1.故选A.
5．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：设此射手射击四次命中次数为ξ，
∴ξ～B(4，p)，依题意可知．P(ξ≥1)＝，
∴1－P(ξ＝0)＝1－C(1－p)4＝，
∴(1－p)4＝，p＝.
6．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为( B )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：由1－C(1－)n>0.9得()n<0.1，∴n≥4.
7．将一枚硬币连掷7次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，那么k的值为( D )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由题意，知C()k()7－k＝C()k＋1·()7－k－1，∴C＝C，∴k＋(k＋1)＝7，∴k＝3.
8．在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为( C )
A. B. C. D.
解析：设事件A在每次试验中发生的概率为x，由题意有1－C(1－x)3＝，得x＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××(1－)2＝.
二、填空题(每小题6分，共计18分)
9．若血色素化验的准确率为p，则在10次化验中，有两次不准的概率为45(1－p)2p8.
解析：由题意知，血色素化验的准确率为p，则不准确的概率为1－p，由独立重复试验的概率公式得C(1－p)2p8＝45(1－p)2p8.
10．冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为.
解析：第七次取出的是甲种饮料．
p＝[C·()4(1－)2]·()＝.
11．一个袋中有除颜色外完全相同的5个白球，3个红球，现从袋中每次取出1个球，取出后记下球的颜色后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则P(ξ＝12)＝C
×()10×()2.(写出表达式不必算出最后结果)
解析：记事件A：“取到红球”，则：“取到白球”．
P(A)＝，P()＝，
ξ＝12表示事件A在前11次试验中恰有9次发生且第12次试验也发生，
所以P(ξ＝12)＝C()9()2×＝C×()10×()2.
三、解答题(共计22分)
12．(10分)粒子A位于数轴上x＝0处，粒子B位于x＝2处，这两个粒子每秒向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率是，向左移动的概率是.
(1)求3秒后，粒子A在x＝1处的概率；
(2)若粒子A，B同时移动，求2秒后，粒子A，B均在x＝2处的概率．
解：(1)3秒后粒子A在x＝1处，则粒子A在三次移动中有一次向左移动，故所求概率为C××()2＝.
(2)由题意，知粒子A在两次移动中均向右，粒子B向左、向右各移动一次，故所求概率为C×()2×C××＝.
13．(12分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列．
解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名观众中，“体育迷”有25名观众，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意得，X～B(3，)，从而X的分布列为
X
0
1
2
3
P
——素养提升——
14．(5分)把n个不同的球随机地放入编号为1,2，…，m的m个盒子内，则1号盒恰有r个球的概率为.
解析：方法1：把1个球随机地放入m个不同的盒内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为，这样n个球随机地放入m个不同的盒子内相当于做n次独立重复试验，故1号盒恰有r个球的概率为
C()r(1－)n－r＝.
方法2：把n个不同的球任意放入m个不同的盒子内共有mn个等可能的结果，其中1号盒内恰有r个球的结果数为C(m－1)n－r，故所求概率为.
15．(15分)一个口袋中有2个白球和n个红球(n≥2，且n∈N
)，每次从袋中摸出2个球(每次摸球后把这2个球放回袋中)，若摸出的2个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．设一次摸球中奖的概率为p.
(1)试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率p；
(2)若n＝3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为f(p)，当n为何值时，f(p)取得最大值？
解：(1)一次摸球从(n＋2)个球中任选2个，有C种选法，其中2个球的颜色相同，有(C＋C)种选法，∴一次摸球中奖的概率p＝
＝.
(2)若n＝3，则一次摸球中奖的概率为.
三次摸球是独立重复试验，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是C××(1－)2＝.
(3)由题意，得三次摸球恰有一次中奖的概率是f(p)＝C·p·(1－p)2＝3p3－6p2＋3p,0∵f′(p)＝9p2－12p＋3＝3(p－1)(3p－1)，∴f(p)在(0，)上是增函数，在(，1)上是减函数，
∴当p＝时，f(p)取最大值，此时p＝＝(n≥2，且n∈N
)，∴n＝2，即n＝2时，f(p)取得最大值．课时作业14 离散型随机变量的均值
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共计40分)
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)＝( A )
A.
B．2
C.
D．3
解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝＝.
2．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为( C )
A．2×0.44
B．2×0.45
C．3×0.44
D．3×0.64
解析：E(ξ)＝0.6n＝3，∴n＝5，∴ξ～B(5,0.6)，
∴P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.
3．已知η＝2ξ＋3，且E(ξ)＝，则E(η)＝( C )
A.
B.
C.
D.
解析：E(η)＝E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝2×＋3＝.
4．设随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
且E(ξ)＝1.6，则a－b等于( C )
A．0.2
B．0.1
C．－0.2
D．－0.4
解析：根据题意，
解得所以a－b＝－0.2.
5．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1
000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( B )
A．100
B．200
C．300
D．400
解析：E(X)＝1
000×0.9×0＋1
000×0.1×2＝200.
6．李先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，途中(不绕行)共要经过6个十字路口，假设每个十字路口发生堵车的概率均为，则李先生在一次上班途中遇到堵车次数ξ的数学期望为( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由题意，知ξ～B(6，)，所以E(ξ)＝6×＝1.
7．已知两台独立工作的电脑产生故障的概率分别为a，b，则产生故障的电脑台数的均值为( B )
A．ab
B．a＋b
C．1－ab
D．1－a－b
解析：设产生故障的电脑台数为随机变量X，则X的所有可能取值为0,1,2，其分布列为
X
0
1
2
P
(1－a)(1－b)
a(1－b)＋(1－a)b
ab
所以E(X)＝a(1－b)＋(1－a)b＋2ab＝a－ab＋b－ab＋2ab＝a＋b，故选B.
8．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：根据题意，X的所有可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，结合p的实际意义，可得0二、填空题(每小题6分，共计18分)
9．在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是140.
解析：设此人获利为随机变量X，则X的取值是300，－100，其概率分布列为：
X
300
－100
P
0.6
0.4
所以E(X)＝300×0.6＋(－100)×0.4＝140.
10．某班有50名学生，其中男生30名，女生20名，现随机选取1名学生背诵课文，若抽到女生的人数记为X，则E(X)＝.
解析：易知X服从两点分布，且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，故E(X)＝.
11．某保险公司开发了一项保险业务，若在一年内事件E发生，则公司要赔偿a元，设一年内E发生的概率为p，为使公司的收益的均值等于a的10%，公司应要求顾客交保险金a(p＋0.1)元．
解析：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：
ξ
x
x－a
p
1－p
p
因此，公司每年收益的期望值为E(ξ)＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap，为使公司收益的期望值等于a的10%，只需E(ξ)＝0.1a，即x－ap＝0.1a，故可得x＝(0.1＋p)a.
三、解答题(共计22分)
12．(10分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达北门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号通道、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令X表示走出迷宫所需时间．
(1)求X的分布列．
(2)求X的数学期望(均值)．
解：(1)X的所有可能取值为1,3,4,6.
P(X＝1)＝，P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，P(X＝6)＝，
所以X的分布列为：
X＝k
1
3
4
6
P(X＝k)
(2)E(X)＝1×＋3×＋4×＋6×＝(小时)．
13．(12分)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．
解：设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj(j＝0,1)独立．
(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,10,50,200，且
P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝，
P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，
P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)
＝·＝＝，
P(X＝0)＝1－－－＝.
综上知X的分布列为
X
0
10
50
200
P
从而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．
——素养提升——
14．(5分)李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
1
2
3
P
！
？
！
请小王同学计算ξ的数学期望，尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同，则Eξ＝2.
解析：设“！”处的数为x，“？”处的数为y，则2x＋y＝1，Eξ＝4x＋2y＝2(2x＋y)＝2.
15．(15分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
解：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A的对立事件为“X＝5”，
因为P(X＝5)＝×＝，
所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，
即这2人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．由已知可得，
X1～B(2，)，X2～B(2，)，
所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，
从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.因为
E(2X1)>E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．课时作业15 离散型随机变量的方差
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共计40分)
1．已知随机变量ξ的分布列为：
ξ
－1
0
1
P
则在下列式子①E(ξ)＝－，②D(ξ)＝，③P(ξ＝0)＝中，正确的有( C )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：由分布列可知P(ξ＝0)＝，根据公式可求得E(ξ)＝－，D(ξ)＝，所以①③正确．
2．随机变量X服从二项分布X～B(100,0.2)，那么D(4X＋3)的值为( B )
A．64
B．256
C．259
D．320
解析：由题意知，D(X)＝100×0.2×(1－0.2)＝16，所以，D(4X＋3)＝42×D(X)＝16×16＝256.
3．已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝，P(X＝a)＝，E(X)＝，则D(2X－1)＝( D )
A.
B．－
C.
D.
解析：由题意，知1×＋a×＝，解得a＝2，∴D(X)＝(1－)2×＋(2－)2×＝，∴D(2X－1)＝22D(X)＝4×＝.
4．设10≤x1A．D(X1)>D(X2)
B．D(X1)＝D(X2)
C．D(X1)D．D(X1)与D(X2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关
解析：由题意可知E(X1)＝E(X2)，又由题意可知，X1的波动性较大从而有D(X1)>D(X2)．
5．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.4)，则E(η)和D(η)分别是( B )
A．2和2.4
B．4和2.4
C．6和2.4
D．4和5.6
解析：因为ξ～B(10,0.4)，所以E(ξ)＝10×0.4＝4，D(ξ)＝10×0.4×(1－0.4)＝2.4.又ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ，所以E(η)＝8－E(ξ)＝8－4＝4，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.
6．已知ξ服从二项分布B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n，p的值为( B )
A．n＝4，p＝0.6
B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3
D．n＝24，p＝0.1
解析：E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3np＋2＝9.2，
∴np＝2.4.
D(3ξ＋2)＝9D(ξ)＝12.96.
∴D(ξ)＝1.44，即np(1－p)＝1.44.
∴1－p＝0.6.∴p＝0.4，n＝6.
7．同时抛掷两枚均匀硬币10次，设两枚硬币同时出现反面向上的次数为X，则D(X)等于( A )
A.
B.
C.
D．5
解析：由题意知，离散型随机变量
X
服从二项分布，设事件
A＝“两枚硬币同时出现反面向上”，则P(A)＝C()2＝，所以X～B
(10，)，故D(X)＝10××＝.
8．已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过考试的高校个数为随机变量X，则D(X)＝( A )
A.
B.
C.
D.
解析：由已知X的取值可能为0,1.
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝＋×＝，
∴E(X)＝0×＋1×＝，
D(X)＝×＋×＝.
二、填空题(每小题6分，共计18分)
9．若随机变量ξ的分布列如下：
ξ
0
1
x
P
p
若E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝0.49.
解析：先确定x、p，由分布列性质得
p＝1－(＋)＝，
E(ξ)＝0×＋1×＋x×＝1.1，
解得x＝2，可得D(ξ)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.
10．随机变量ξ的分布列为：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是.
解析：由已知得
解得
所以，D(ξ)＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＝.
11．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设ξ为途中遇到红灯的次数，则离散型随机变量ξ的方差为.
解析：由题意知ξ～B(3，)，
所以D(ξ)＝3××＝.
三、解答题(共计22分)
12．(10分)有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求E(ξ)与D(ξ)．
解：这3张卡片上的数字和ξ这一随机变量的可能取值为6,9,12，且“ξ＝6”表示取出的3张卡片上都标有2，则P(ξ＝6)＝＝；
“ξ＝9”表示取出的3张卡片上有两张为2，一张为5，则P(ξ＝9)＝＝；
“ξ＝12”表示取出的3张卡片上有两张为5，一张为2，则P(ξ＝12)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
6
9
12
P
则期望E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8，
方差D(ξ)＝×(6－7.8)2＋×(9－7.8)2＋×(12－7.8)2＝3.36.
13．(12分)如图所示是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市中随机抽取3位居民(看作有放回抽样)，求月均用水量在3吨至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．
解：(1)由频率分布直方图，知0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.
(2)由题意，知X～B(3,0.1)．
因此P(X＝0)＝C×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C×0.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C×0.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C×0.13＝0.001.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001
E(X)＝3×0.1＝0.3，
D(X)＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27.
——素养提升——
14．(5分)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取1球，有放回地摸取5次，设摸得白球的个数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝( B )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意知X～B(5，)，所以E(X)＝5×＝3，解得m＝2，所以X～B(5，)，故D(X)＝5××＝.
15．(15分)有A，B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
其中ξA，ξB分别表示A，B两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A，B两种钢筋哪一种质量较好．
解：先比较ξA与ξB的均值，
因为E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.
E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.
所以它们的均值相同，再比较它们的方差．
因为D(ξA)＝(110－125)2×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，
D(ξB)＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165.
所以D(ξA)因此，A种钢筋质量较好．课时作业16 正态分布
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共计40分)
1．图中不是正态曲线的是( D )
解析：正态曲线关于直线x＝μ对称，由于选项D的图形不是轴对称图形，故选D.
2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( B )
A．10与8
B．10与2
C．8与10
D．2与10
解析：由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.
3．正态总体N，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率为( D )
A．0.46
B．0.997
4
C．0.03
D．0.002
6
解析：P(－24，∴数据落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率为1－0.997
4＝0.002
6.
4．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，7)，若P(ξ<2)＝P(ξ>4)，则μ与D(ξ)的值分别为( C )
A．μ＝，D(ξ)＝
B．μ＝，D(ξ)＝7
C．μ＝3，D(ξ)＝7
D．μ＝3，D(ξ)＝
解析：∵随机变量ξ服从正态分布N(μ，7)，P(ξ<2)＝P(ξ>4)，∴μ＝3，D(ξ)＝7.故选C.
5．随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为( A )
A.
B.
C．5
D．3
解析：因为ξ服从正态分布N(3,4)，且P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，所以＝3，解得a＝.故选A.
6．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为( D )
A．0.682
6
B．0.997
4
C．0.317
4
D．0.954
4
解析：∵X～N(50,102)，μ＝50，σ＝10，
∴P(304.
7．已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.5%和99.7%.某校为高一年级1
000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布N(165,52)，则适合身高在155～175
cm范围内的校服大约要定制( B )
A．683套
B．955套
C．972套
D．997套
解析：∵155＝165－2×5,175＝165＋2×5，∴适合身高在155～175
cm范围内的校服大约要定制1
000×95.5%＝955套，故选B.
8．把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是( C )
A．曲线C2仍是正态曲线
B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等
C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2
D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的期望大2
解析：正态密度函数为φμ，σ(x)＝e－
eq
\s\up15(
)
，正态曲线对称轴为x＝μ，曲线最高点纵坐标为φμ，σ(μ)＝.所以曲线C1向右平移2个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标φμ，σ(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变．而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移了2个单位，所以期望μ增大了2个单位，所以应选C.
二、填空题(每小题6分，共计18分)
9．若随机变量X的概率密度函数是f(x)＝·e－
eq
\s\up15(
)
(x∈R)，则E(2X－1)＝－5.
解析：由概率密度函数解析式可知其图象的对称轴是直线x＝－2，可得μ＝－2，即E(X)＝－2，因此E(2X－1)＝2E(X)－1＝－5.
10．在某项测量中，测量结果ξ～N(1，σ2)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(－∞，2]内取值的概率为0.9.
解析：∵ξ～N(1，σ2)，∴P(ξ≤0)＝＝0.1，
∴P(ξ≤2)＝P(ξ≤0)＋P(0<ξ≤2)＝0.1＋0.8＝0.9.
11．在某市高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生为9
454人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第1_500名．
解析：∵X～N(98,100)，∴μ＝98，σ＝10，P(886，∴P(ξ>108)＝＝0.158
7，超过108分的人数为0.158
65×9
454≈1
500，故108分大约排在全市第1
500名．
三、解答题(共计22分)
12．(10分)设X～N(10,1)．
(1)证明：P(1(2)设P(X≤2)＝a，求P(10解：(1)证明：因为X～N(10,1)，所以，正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间(1,2)和(18,19)关于直线x＝10对称，
所以φμ，σ(x)dx＝φμ，σ(x)dx，
即P(1(2)因为P(X≤2)＋P(2P(X≤2)＝P(X≥18)＝a，P(2所以，2a＋2P(10即P(1013．(12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.求p0的值．
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ6，P(μ－2σ4，P(μ－3σ4.)
解：由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(7004.
由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(8002.
——素养提升——
14．(5分)设X～N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)＝0.022
75，那么向正方形OABC中随机投掷10
000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.45%)( B )
A．6
038 B．6
587 C．7
028 D．7
539
解析：由题意得P(X≥3)＝[1－P(μ－2σ75，又μ＝1，可得2σ＝2，则σ＝1，则P(0000≈6
587.
15．(15分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值的范围划分等级，如下表：
质量指标值m
m<185
185≤m<205
m≥205
等级
三等品
二等品
一等品
从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：
(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？
(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；
(3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足X～N(218,140)，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？
解：(1)根据抽样调查数据知，一、二等品所占比例的估计值为0.200＋0.300＋0.260＋0.090＋0.025＝0.875，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定．
(2)由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率P＝＝.
(3)“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为170×0.025＋180×0.1＋190×0.2＋200×0.3＋210×0.26＋220×0.09＋230×0.025＝200.4.
“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N(218,140)，则E(X)＝218.所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了218－200.4＝17.6.