人教版八年级数学上册 14.3 因式分解大归类学案

因式分解大归类
知识点：
因式分解：【定义】
把一个单项式或多项式化成几个整式的
乘积
的形式，这种式子变形叫做这个单项式或多项式因式分解，也叫做把个单项式或多项式分解因式。
整式乘法与因式分解的对比
如：，
称这种式子变形为整式的
乘法
。
反过来，，像这种式子的变形过程，称为多项式的因式分解。
一、提公因式法
例1：把分解因式
（温馨提示：方法是先“找”，再“提”）
“找”与的公因式：（1）先看系数：8和12的最大公约数是
；
（2）再找字母部分：和的公因式是
（指数最小的就是它们的公因式），和的公因式是
，所以，与的公因式就是
。
解，原式=
例2：把分解因式
（分析：“找”公因式，是
）
针对性练习：1、找下列各式的公因式
（1）与公因式是
（2）10与的公因式是
（3）
与的公因式是
（4）的公因式是
2、把下列各式分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）10
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
(13)(x－2)2－x＋2
二、利用“平方差公式”进行因式分解
整式乘法的平方差公式：
，
把等号两边互换位置，得到：，这个变形过程是
因式分解
。
即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的
乘积
判断下列多项式是否利用平方差公式进行因式分解，若能，请分解因式：
(1)
（
）
；
（2）（
）
（3）（
）
；
（4）（
）
（5）（
）
；（6）（
）
例题：利用平方差公式进行因式分解：
（1）
(2)
(3)
解：原式
(4)
（5）
(6)
针对性练习：
1．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
2．若，，则=
3．分解因式（注意：必须分解到每个因式都不能分解为止）
（1）
（2）－81
（3）
（4）
4．分解因式：
（1）
（2）
（3）
三、用“完全平方公式”进行因式分解
对比：整式乘法：（1）
（2）
反过来，因式分解：
即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的
可知：整式乘法和
是互逆运算，利用完全平方公式可以因式分解。
完全平方式：把式子和叫做完全平方式
=
=
；=
2．分解因式：（1）
（2）
解，原式
=
=
（3）
（4）
分解因式综合题目：
例题：(1)
(2)
(3)
分析：(1)与“完全平方式”和对比，观察“平方项”的系数特点。
解决办法：（1）先提公因式
。（2）将看作一个整体，即发现有“完全平方式”。（3）观察：这个多项式不是完全平方式。但提出公因式
后，可以得到：
解：(1)
解：原式
（2）
（3）
=
=
针对性练习：
1．分解因式
（1）
（2）
（3）
2．分解因式:
（1）
（2）
3．分解因式（1）
（2）
(3)
四、“”型整式的因式分解
（十字相乘法）
整式乘法：
；
因式分解：
注意“”结构特点：
二次项系数是
，常数项是与的
，一次项系数是与的
。
即：常数项分解成两个因数的积，一次项系数恰好等于
这两个因数的和
。
例1：分解因式：
分析：二次项系数是
，常数项10=
，一次项系数7=
，
解：
=
二、因式分解
（1）
（2）
解
原式=
=
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
拔高：1.分解因式.
(1)(x+y)2-9y2；
(2)a2-b2+a+b；
(3)10b(x-y)2-5a(y-x)2；
2.已知a,b,c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2，试说明△ABC是等边三角形.
3.当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值.
课外作业：
1.
下列运算过程是整式乘法的是（填写序号）
，是因式分解的是
。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2.
在多项式：①
②
③
④中能用完全平方公式分解因式的是（填序号）
。
3.
若多项式是完全平方式，则k的值为
。
4.
用适当的方法对下列各式因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
▲（1）
（2）
7