基本不等式1
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文档简介
班级 小组 姓名
基本不等式（一）
编写人：李小强 审核人：符玉霞
（使用说明）1.认真阅读课本第88—89页的内容。牢记基本不等式、算术平均数、几何平均数，时间不超过20分钟，AA完成所有题目，BB完成除（**）外的所有题目，CC完成不带（*）的题目。2.认真限时完成，书写规范；3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏；4.必须记住的内容：不等关系与不等式的性质
（一）教学目标
(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释
(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。基本不等式的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质
(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力
教学重点：基本不等式的证明和几何解释
教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵
（3）学法与教学用具
先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案
新知识预习
1. 基本不等式的概念
基本不等式_________________
算术平均数_________________
几何平均数_________________
二、新课导学
这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗
提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为x、y，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
提问2：那4个直角三角形的面积和呢？
提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？
三、合作探究：
（1）一般地，对于任意实数 x、y，我们有，当且仅当x=y时，等号成立。
证明:
设x=,y=,则由这个不等式可以得出下列结论：
如果a,b都是非负数，那么，当且仅当_____时，等号成立。
我们称上述不等式为基本不等式，其中称为a,b的__________，为a,b的_________。因此，基本不等式又被称为均值不等式。
基本不等式的一种几何解释。
如图1所示,AB是圆O的直径，AC=a, CB=b,过点C作交圆O上半圆于D，
连接AD，BD，由射影定理可知：
CD=，而OD=，
因为ODCD
所以
当且仅当C于O重合，即a=b时，等号成立。
四、典例分析：
例1 设a,b均为正数，证明不等式.
例2．设为正数，证明下列不等式成立：
（1）； （2）
例3.求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋
例4．求证：．
五、总结提升
※ 学习小结（用数学语言描述）
1．算术平均数与几何平均数的概念；
2．基本不等式及其应用条件；
六、当堂检测：
1．下列不等式证明过程：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，，则。
⑤若则
⑥若，则
⑦若，则
其中正确的序号是 。
*2. a，b，c是不全相等的实数，求证：
*3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
*4.已知都是正数，求证．
x
y
E
A
B
C
D
F
G
H
D
B
C
A
o
基本不等式（一）
编写人：李小强 审核人：符玉霞
（使用说明）1.认真阅读课本第88—89页的内容。牢记基本不等式、算术平均数、几何平均数，时间不超过20分钟，AA完成所有题目，BB完成除（**）外的所有题目，CC完成不带（*）的题目。2.认真限时完成，书写规范；3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏；4.必须记住的内容：不等关系与不等式的性质
（一）教学目标
(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释
(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。基本不等式的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质
(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力
教学重点：基本不等式的证明和几何解释
教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵
（3）学法与教学用具
先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案
新知识预习
1. 基本不等式的概念
基本不等式_________________
算术平均数_________________
几何平均数_________________
二、新课导学
这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗
提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为x、y，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
提问2：那4个直角三角形的面积和呢？
提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？
三、合作探究：
（1）一般地，对于任意实数 x、y，我们有，当且仅当x=y时，等号成立。
证明:
设x=,y=,则由这个不等式可以得出下列结论：
如果a,b都是非负数，那么，当且仅当_____时，等号成立。
我们称上述不等式为基本不等式，其中称为a,b的__________，为a,b的_________。因此，基本不等式又被称为均值不等式。
基本不等式的一种几何解释。
如图1所示,AB是圆O的直径，AC=a, CB=b,过点C作交圆O上半圆于D，
连接AD，BD，由射影定理可知：
CD=，而OD=，
因为ODCD
所以
当且仅当C于O重合，即a=b时，等号成立。
四、典例分析：
例1 设a,b均为正数，证明不等式.
例2．设为正数，证明下列不等式成立：
（1）； （2）
例3.求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋
例4．求证：．
五、总结提升
※ 学习小结（用数学语言描述）
1．算术平均数与几何平均数的概念；
2．基本不等式及其应用条件；
六、当堂检测：
1．下列不等式证明过程：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，，则。
⑤若则
⑥若，则
⑦若，则
其中正确的序号是 。
*2. a，b，c是不全相等的实数，求证：
*3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
*4.已知都是正数，求证．
x
y
E
A
B
C
D
F
G
H
D
B
C
A
o