4.2
牛顿第二定律(二)——等时圆问题
同步练习
1.(多选)如图所示,Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆,O、a、b、c、d位于同一圆周上,c为圆周的最高点,a为最低点,O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环(未画出),两个滑环从O点无初速释放,一个滑环从d点无初速释放,用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a、b所用的时间。下列关系正确的是( )
A.t1=t2
B.t2>t3
C.t1D.t1=t3
2.如图所示,在竖直平面内建立直角坐标系xOy,该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道,其中A、C、M三点处于同一个圆上,C是圆上任意一点,A、M分别为此圆与y轴、x轴的切点,B点在y轴上且在A点上方,O′为圆心。现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放,它们将沿轨道运动到M点。如所用时间分别为tA、tB、tC,则tA、tB、tC的大小关系是( )
A.tAB.tA=tCC.tA=tC=tB
D.由于C点的位置不确定,无法比较时间大小关系
3.如图所示,光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线,AC∶BC∶DC=5∶4∶3,AC杆竖直。各杆上分别套有一质点小球a、b、d,a、b、d三小球的质量比为1∶2∶3。现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放,不计空气阻力,则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为( )
A.1∶1∶1
B.5∶4∶3
C.5∶8∶9
D.1∶2∶3
4.如图所示,有一半圆,其直径水平且与另一圆的底部相切于O点,O点恰好是下半圆的圆心,它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑轨道AOB、COD、EOF,它们的两端分别位于上下两圆的圆周上,轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端,则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为( )
A.tAB=tCD=tEF
B.tAB>tCD>tEF
C.tABD.tAB=tCD5.(多选)如图所示,让物体分别同时从竖直圆上的P1、P2处由静止开始下滑,沿光滑的弦轨道P1A、P2A滑到A处,P1A、P2A与竖直直径的夹角分别为θ1、θ2。则( )
A.物体沿P1A、P2A下滑加速度之比为sin
θ1∶sin
θ2
B.物体沿P1A、P2A下滑到A处的速度之比为cos
θ1∶cos
θ2
C.物体沿P1A、P2A下滑的时间之比为1∶1
D.若两物体质量相同,则两物体所受的合外力之比为cos
θ1∶cos
θ2
6.如图所示,在竖直平面内有半径为R和2R的两个圆,两圆的最高点相切,切点为A,B和C分别是小圆和大圆上的两个点,其中AB长为R,AC长为2R.现沿AB和AC建立两条光滑轨道,自A处由静止释放小球,已知小球沿AB轨道运动到B点所用时间为t1,沿AC轨道运动到C点所用时间为t2,则t1与t2之比为( )
A.1?:
B.1?:2
C.1?:
D.1?:3
7.如图所示,AB为竖直平面内某圆周的竖直直径,CD
为过O点且与AB成60°夹角的固定光滑细直杆,两细直杆上各套有一个小球,小球可视为质点。两小球分别从C点由静止释放,小球从C点运动到D点所用的时间为t1,另一小球从C点运动到B点所用的时间为t2,则t1∶t2等于(
)
A.1∶1
B.2∶1
C.∶1
D.∶2
8.在斜坡上有一根旗杆长为L,现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部,又知OB=L。则小环从A滑到B的时间为(
)
A.
B.
C.
D.2
9.(多选)在设计三角形屋顶时,为了使雨水能尽快地从屋顶流下,并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。在屋顶宽度(2L)一定的条件下,下列说法正确的是(
)
A.屋顶的倾角应该是60°
B.屋顶的倾角应该是45°
C.雨水流下的最短时间是
D.雨水流下的最短时间是2
10.在倾角为α的传送带正上方,有一发货口A。为了使货物从静止开始从A点沿光滑斜槽以最短时间到达传送带,则斜槽与竖直方向夹角β应为(
)
A.α
B.α/2
C.α/3
D.2α
11.如图所示,在竖直平面内有半径为R和1.5R的两个圆,两圆的最高点相切,切点为a,b和c分别是小圆和大圆上的两个点,其中ab长为1.6R,ac长为3R.现沿ab和ac建立两条光滑轨道,自a处由静止释放小球,已知小球沿ab轨道运动到b点所用时间为t1,沿ac轨道运动到c点所用时间为t2,则t1与t2之比为( )
A.2∶3
B.5∶8
C.∶
D.∶
12.通过空间任一点A做无限多个斜面,若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下,那么在同一时刻这些小物体所在的位置所构成的面是(
)
A.球面
?
B.抛物面
?
C.水平面
D.无法确定
13.水平地面上固定有一半径为R的半球面,其斜上方P点与球心O之间的距离L=R,P点距离地面的高度5R/4,重力加速度g。要使某一质点从P点由静止开始沿一光滑斜直轨道在最短时间内滑到球面上,则此轨道与竖直方向之间的夹角θ为多大?所需的最短时间t是多少?
?
14.如图所示,在同一竖直线上有A、B两点,相距为h,B点离地高度为H,现在要在地面上寻找一点P,使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板,满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等,求O、P两点之间的距离。
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