运动的合成和分解专题

第五章 曲线运动
§5.2.1 运动的合成和分解专题
(小船渡河问题归类、绳子末端速度的分解)
【学习目标】
1、灵活应用运动的合成与分解解决实际问题。
【自主学习】
一、知识回顾
1．什么是分运动、合运动 举例说明:
2．怎样求解运动的合成、分解 举例说明:
二、导学平台
1．小船过河问题(运动的合成)
【例1】一条宽度为L的河，水流速度为v水，已知船在静水中的速度为v船，那么：
（1）怎样渡河时间最短？
（2）若v船>v水，怎样渡河位移最小？
（3）若v船解析：（1）如右上图所示，设船头斜向上游与河岸成任意角θ．这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为v1＝v船sinθ，渡河所需的时间为：t＝L/v1＝L/v船sinθ
可以看出：L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当θ＝90°时，sinθ＝1（最大）．所以，船头与河岸垂直时，渡河时间最短．最短时间：tmin＝L/v船
你怎样理解 .
（2）如右下图所示，渡河的最小位移即河的宽度．为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量为0．这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ．根据三角函数关系有v船cosθ－v水＝0 cosθ＝ v水/v船 θ＝arccos( v水/v船) 因为0≤cosθ≤1，所以只有在v船>v水时，船才有可能垂直河岸渡过．（或者由三角形几何关系知道）
（3）如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，设船头与河岸成θ角，合速度v与河岸成α角（取小于90°的一边）．可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短．那么在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心、v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大．根据cosθ＝v船/v水，船头与河岸的夹角应为θ＝arccos (v船/v水) 船漂下的最短距离： xmin＝(v水－v船cosθ) L/v船sinθ
此时渡河的最短位移： s＝L/cosθ＝Lv水/v船
2．如绳子末端速度分解等具体问题的处理方法(运动的分解)
【例2】如图所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳速度大小为v1，当船头的绳索与水平面夹角为θ时，船的速度多大？
解析：我们所研究的运动合成问题，都是同一物体同时参与的两个分运动的合成问题，而物体相对于给定参照物（一般为地面）的实际运动是合运动，实际运动的方向就是合运动的方向．为什么 。
本例中，船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以A点为例说明：一是A点沿绳的收缩方向的运动，二是A点绕O点沿顺时针方向的转动，所以，船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1和垂直于绳的速度v2，如图所示．由图可知：
点评：不论是力的分解还是速度的分解，都要按照它的实际效果进行．本例中，若将拉绳的速度分解为水平方向和竖直方向的分速度，就没有实际意义了，因为船并不存在竖直方向上的分运动．这与对拉力的分解是不同的.?
三、典型例题
【例1】小船在200m宽的河中横渡，水流速度为2m/s，船在静水中的航速是4m/s。求：（1）当小船的船头始终正对对岸时，它将在何时、何处到达对岸？（2）要使小船到达正对岸，应如何行驶？耗时多少？（3）小船怎样过河时间最短，最短时间是多少？（4）小船怎样过河位移最小，最小位移是多少？（5）若小船航向跟上游河岸成30°角，它将行驶多长时间，在何处到达对岸？
F
v
例题2、如图所示，在河岸上用绳拉船，为了使船匀速靠岸，拉绳的速度必须是（ ）
A、加速拉 B、减速拉 C、匀速拉 D、先加速后减速
四、随堂练习
1．如图所示，木块在水平桌面上移动的速度是v，跨过滑轮的绳子向下移动的速度是______（绳与水平方向之间的夹角为α）
2．小船要由河南岸渡到河北岸，已知水平向东流，速度为10m/s，船对水的速度是20m/s。现在要想在最短的时间内到达北岸，船与水流方向应保持的夹角是：（ ）
A． B ． C． D．。
3．小船在静水中的速度是3m/s，要想使小船垂直横渡流速是1.５m／s的河，则小船应向与上游河岸成 角的方向开出。若小船垂直横渡这条河所用的时间为2min30s，则河宽是 m。若要小船渡河的时间为最短，则小船应向与上游河岸成 角方向开出，到达对岸时，小船沿河岸漂下 m。
4.一船在静水中的速度为6 m/s，要横渡流速为8 m/s的河，下面说法正确的是
A.船不能渡过此河 B.船能行驶到正对岸
C.若河宽60 m，过河的最少时间为10 s
D.船在最短时间内过河时，船对地的速度为6 m/s
5．一轮船以船头指向始终垂直于河岸方向以一定的速度向对岸行驶，水匀速流动，则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系，下列说法中正确的是（ ）
A.水流速度越大，路程越长，时间越长 B. 水流速度越大，路程越短，时间越短
C. 水流速度越大，路程越长，时间不变 D. 路程和时间都与水速无关