2021届高三期中学业质量监测
数学参考答案与评分建议
2020.1
选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
BBC
选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
AC
ABD
填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
14.8.2
32n+6r
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分
已知公比q大于1的等比数列{am}满足a1+a3=10,a2=4
1)求{an}的通项公式
设
求数列{bn}的前n项和S
请在①nan;②2lg2an
这三个条件中选择
2+1)(21+1)
补充在上面的横线上,并完成解答
注;:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分
解:(1)因为a4+a3=10,a2=4,所以4+4=10,即292-5q+2=0
分
解得q=2或q=1
因为q>1,所以q=2,此时a1=2.所以a=2
4分
(2)若选①:b=n·a.=n,2
Sn=1×2+2×22+3
故2S
22+2×23+…+(n-1)·2”+n2.②
7分
高三数学参考答案与评分建议第1页
所以Sn=(n-12++2
10分
若?b1211912n9=3n
当n≤4时,Sn
7+
8分
+b2+b3+b)+(b2+b+…+b)
4×(7+1),(n-4)(1+2n-9)
综上,S
2-8n+32,n≥5
若选③
分
(2"+1)(2+1)2+12
18.(本小题满分12分
在△ABC中,设角A,B,C所对的边长分别为a,bc,且(-biC=(a-b)(sinA+simB)
(1)求A
(2)若b=2,且△ABC为锐角三角形,求△ABC的面积S的取值范围
解:(1)因为(c-b)sinC=(a-b)(sinA+siB)
由正弦定理知,(c-b)c=(a-b)(a+b),即
3分
则由余弦定理知
A=女==号
在△ABC中,0
高三数学参考答案与评分建议第2页
(2)由正弦定理知,
sinb
sin
C
得c=2sinC
B
B
√3
故S=1
bcsin
a=3c
13
10分
2
tanb
2
由△ABC为锐角三角形,得0从而tanB>y3,所以
所以△ABC的面积的取值范围是(,23)
2分
19.(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥CD,AD⊥CD,AB=AD=1,CD=2
PD⊥平面ABCD
(1)求证:BC⊥平面PBD
(2)已知PD=2,点E为棱PB的中点,求直线AE与平面DCE所成角的正弦值
解:(1)在直角梯形ABCD中,取CD的中点F,连接BF,则BF=AD=1,CF=1
所以BC=√,又BD=√,DC=2
BD2=CD2,从而BC⊥BD
2分
又PD⊥平面ABCD
平面ABCD
所以BC⊥P
分
因为BC⊥BD,BC⊥PD,BD∩PD=D
BD,PDc平面PBD,所以BC⊥平面PBD.4
B
分
2)因为PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,所以以D为坐标原点,DA,DC,DP分别为
x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-z
则
0),B(1
P(0,0,2),C(0,2,0),于是
AE
DC=(0
设平面DCE的法向量为n=(x,y,z),则
高三数学参考答案与评分建议第3页江苏省南通市海安县2021届高三期中调研考试
数 学
注意事项:
1.
本试卷共150分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
已知复数z满足(2+i)z=1-2i,其中i为虚数单位,则z等于
( )
A.
1
B.
-1
C.
i
D.
-i
2.
已知集合A={x|x2-x>0},则?RA等于
( )
A.
{x|0B.
{x|0≤x≤1}
C.
{x|x<0或x>1}
D.
{x|x≤0或x≥1}
3.
在1,2,3,…,2
020这2
020个自然数中,将能被2除余1,且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列,构成数列{an},则a50=
( )
A.
289
B.
295
C.
301
D.
307
4.
重阳节,农历九月初九,二九相重,谐音是“久久”,有长久之意,人们常在此日感恩敬老,是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动,要求每所敬老院至少安排2人,则不同的分配方案数是
( )
A.
35
B.
40
C.
50
D.
70
5.
函数y=的图象大致为
( )
A
B
C
D
6.
某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛.高三(1)班的45名同学中,只参加了其中一项比赛的同学有20人,两项比赛都没参加的有19人,则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是
( )
A.
15
B.
17
C.
21
D.
26
(第7题)
7.
克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当对角互补时取等号.根据以上材料,完成下题:如图,半圆O的直径为2,A为直径延长线上的一点,OA=2,B为半圆上一点
,以AB为一边作等边三角形ABC,则当线段OC的长取最大值时,∠AOC等于
( )
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
8.
已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,其渐近线上横坐标为的点P满足·=0,则a等于
( )
A.
B.
C.
2
D.
4
二、
多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有错选的得0分.
9.
下列四个函数中,以π为周期,且在区间上单调递减的是
( )
A.
y=|sinx|
B.
y=cos2x
C.
y=-tanx
D.
y=sin|2x|
10.
若的展开式中第6项的二项式系数最大,则n的可能取值为
( )
A.
9
B.
10
C.
11
D.
12
11.
已知a>0,b>0,且a2+b2=1,则
( )
A.
a+b≤
B.
<2a-b<2
C.
log2+log2≥-
D.
a2-b2>-1
12.
我们知道,任何一个正实数N都可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z).定义:W(N)=如:W(1.2×102)=3,W(1.23×10)=2,W(3×10-2)=2,W(3.001×10-1)=1,则下列说法中正确的是
( )
A.
当n>0,M>1,N>1时,W(M·N)=W(M)+W(N)
B.
当n<0时,W(M)=-n
C.
若N=2100,lg2≈0.301,则W(N)=31
D.
当k∈N
时,W(2k)=W(2-k)
三、
填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.
已知抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为,则p= .?
14.
已知某品牌的新能源汽车的使用年限x(单位:年)与维护费用y(单位:千元)之间有如下数据:
使用年限x(单位:年)
2
4
5
6
8
维护费用y(单位:千元)
3
4.5
6.5
7.5
9
x与y之间具有线性相关关系,且y关于x的线性回归方程为=1.05x+a(a为常数).据此估计,当使用年限为7年时,维护费用约为 千元.?
(第15题)
15.
如图,水平广场上有一盏路灯挂在10
m长的电线杆上,记电线杆的底部为点A.把路灯看作一个点光源,身高1.5
m的女孩站在离点A
5
m的点B处.若女孩向点A前行4
m到达点D,然后从点D出发,沿着以BD为对角线的正方形走一圈,则女孩走一圈时头顶(视为一点)的影子所围成封闭图形的面积为 m2.?
16.
已知在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,以P为球心,为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为 .?
四、
解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
(本小题满分10分)已知公比q大于1的等比数列{an}满足a1+a3=10,a2=4.
(1)
求{an}的通项公式;
(2)
设bn= ,求数列{bn}的前n项和Sn.请在①n·an;②|2log2an-9|;③这三个条件中选择一个,补充在上面的横线上,并完成解答.?
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
18.
(本小题满分12分)在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(c-b)sinC=(a-b)(sinA+sinB).
(1)
求角A的大小;
(2)
若b=2,且△ABC为锐角三角形,求△ABC的面积S的取值范围.
19.
(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥CD,AD⊥CD,AB=AD=1,CD=2,PD⊥平面ABCD.
(1)
求证:BC⊥平面PBD;
(2)
已知PD=2,点E为棱PB的中点,求直线AE与平面DCE所成角的正弦值.
(第19题)
20.
(本小题满分12分)根据历史资料显示,某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药,在有关部门批准后,医院将此药给10位病人服用,试验方案为:若这10人中至少有2人痊愈,则认为该药有效,提高了治愈率;否则,则认为该药无效.
(1)
如果在该次试验中有5人痊愈,院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受,记抽到痊愈的人的个数为X,求X的概率分布及数学期望;
(2)
如果新药有效,将治愈率提高到了50%,求通过试验却认定新药无效的概率p,并根据p的值解释该试验方案的合理性.
(参考结论:通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件)
21.
(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点A.
(1)
求椭圆C的方程;
(2)
设F为椭圆C的右焦点,直线l与椭圆C相切于点P(点P在第一象限),过原点O作直线l的平行线与直线PF相交于点Q,问:线段PQ的长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
22.
(本小题满分12分)已知函数f(x)=aex+1,g(x)=ln-1,其中a>0.
(1)
若a=1,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点O分别作函数y=f(x)与y=g(x)的图象的切线l1,l2,求l1,l2的斜率之积;
(2)
若f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)上恒成立,求a的最小值.