2021届高三期中学情检测
数学参考答案
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1~8CADACDBA
9．ABD
10．BD
11．ABD
12．BD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
14．
15．
16．
四、解答题：本大题共6小题，满分70分．
17.
（本小题满分10分）
（1）因为，
又由正弦定理，得，
………………2分
即，所以，因为，
所以.
………………4分
（2）方案一：选条件①和②.
由正弦定理，得.
………………6分
.
所以的面积.
………………10分
方案二：选条件①和③.
由余弦定理，得，
则，所以.
所以，
所以的面积.
………………10分
方案三：选条件②和③，这样的三角形不存在，理由如下：
在三角形中，因为由正弦定理得
，不成立，
所以这样的三角形不存在.
………………10分
18.（1）设等比数列的公比为，
由成等差数列知，，
所以，即.
………………2分
又，所以，所以，
………………4分
所以等差数列的通项公式.
………………6分
（2）由（1）知
所以
………………8分
所以数列的前
项和：
所以数列的前项和
………………12分
（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、
的中点，因为，所以，
因为且平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为平面，
平面，
且平面平面，
所以，所以．
………………4分
由（1）知且，因为，且为
的中点，
所以，所以平面，所以与
平面所成的角为，
所以，因为，所以．
分别以，
，
为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则
所以．
记平面的法向量为，则，
令，则，所以，
………………8分
记平面的法向量为，则，
令，则，所以，
………………10分
记二面角的大小为，则．
所以二面角的余弦值为
．
………………12分
20．（1）当乘坐舱在伦敦眼的最高点时，，此时，即，所以.在等腰三角形中，.
由正弦定理得，
………………3分
所以.
所以建筑的高度为米.………………5分
（2）设建筑的高度为，
建立如图所示的直角坐标系，圆，
在中，由正弦定理可知，
所以，其中R是外接圆的半径
即的外接圆的半径为.
………………7分
由图可知的外接圆的圆心坐标为，
所以点在圆上，
………………9分
而点又在圆上，
所以，
解得.
答：建筑BC的最低高度为时，可以拍摄到效果最好的照片.
………………12分
21．解：（1）不妨设在第一象限，
由题可知，，
………………2分
又，将代入上式得：，
可得，从而得a=2,
椭圆的方程为.
………………4分
（2）设则切线的方程为
代入椭圆方程得：，
设，
则，
，
的方程为，
即，
令得，
在直线方程中令得，
………………6分
，，
………………8分
，，
，.
………………10分
化简得，
（舍去）的坐标为.
，
，
因为，故此解符合题意．
………………12分
22.
（1）函数的定义域为，且，令，
则有，由可得，如下表：
所以，即，在上单调递增；
………………2分
x
1
0
减
极小值
增
（2）函
数的定义域为，且
由已知，得，即①
由可得②
联立①②消去a可得③
令，则
由①知，故，所以在上单调递增
，所以方程③有唯一解，代入①，可得.
………………6分
（3）由（1）知在上单调递增，
故当，，所以，
可得在上单调递增。当时，，即
亦即，这时，，故得
取，，可得
而
故
所以.
………………12分
高三数学（答案）
第6页（共6页）江苏省南通市如东县2021届高三期中调研考试
数 学
注意事项:
1.
本试卷共150分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
已知集合A={1,2,m2},B={1,m}.若B?A,则m等于
( )
A.
0
B.
2
C.
0或2
D.
1或2
2.
设x∈R,则“log2(x-2)<1”是“x>2”的( )条件
( )
A.
充分不必要
B.
必要不充分
C.
充要
D.
既不充分也不必要
3.
已知cos(75°+α)=,则cos(30°-2α)等于
( )
A.
B.
C.
D.
4.
把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量.设e=(A,B)是直线l的一个方向向量,那么n=(-B,A)就是直线l的一个法向量.借助直线的法向量,我们可以方便地计算点到直线的距离.已知P是直线l外一点,n是直线l的一个法向量,在直线l上任取一点Q,那么在法向量n上的投影向量为(||cosθ)·(θ为向量n与的夹角),其模就是点P到直线l的距离d,即d=.据此,请解决下面的问题:已知点A(-4,0),B(2,-1),C(-1,3),则点A到直线BC的距离是
( )
A.
B.
7
C.
D.
8
5.
在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2,∠BAD=,若·=2·,则·等于
( )
A.
12
B.
16
C.
20
D.
24
6.
已知函数f(x)=mx2-(3-m)x+1,g(x)=mx,若对于任意实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是
( )
A.
(1,9)
B.
(3,+∞)
C.
(-∞,9)
D.
(0,9)
7.
设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是
( )
A.
[0,1]
B.
[-1,1]
C.
D.
8.
若f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数,对任意的x∈(0,+∞),都有f(f(x)+lox)=4,且方程|f(x)-3|=a在区间(0,3]上有两解,则实数a的取值范围是
( )
A.
{a|0
B.
{a|a<1}
C.
{a|0D.
{a|a≥1}
二、
多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有错选的得0分.
9.
关于等差数列和等比数列,下列四个选项中不正确的是
( )
A.
若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数),则数列{an}为等差数列
B.
若数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,则数列{an}为等差数列
C.
若数列{an}是等差数列,Sn为前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等差数列
D.
若数列{an}是等比数列,Sn为前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等比数列
(第10题)
10.
函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<φ<π)的部分图象如图中实线所示,若圆C与f(x)的图象交于M,N两点,且M在y轴上,则下列说法中正确的是
( )
A.
函数f(x)在上单调递增
B.
函数f(x)的图象关于点成中心对称
C.
函数f(x)的图象向右平移个单位长度后关于直线x=成轴对称
D.
若圆的半径为,则函数f(x)的解析式为f(x)=sin
(第11题)
11.
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,△PAD是等边三角形,底面ABCD是菱形,且∠BAD=60°,M为棱PD的中点,N为菱形ABCD的中心,下列结论中正确的是
( )
A.
直线PB与平面AMC平行
B.
直线PB与直线AD垂直
C.
线段AM与线段CM长度相等
D.
PB与AM所成角的余弦值为
12.
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=,则下列结论中正确的是
( )
A.
当x<0时,f(x)=-ex(x+1)
B.
函数f(x)在R上有且仅有三个零点
C.
若关于x的方程f(x)=m有解,则实数m的取值范围是{m|f(-2)≤m≤f(2)}
D.
?x1,x2∈R,|f(x2)-f(x1)|<2
三、
填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.
曲线y=(x+sinx)ex在点(0,0)处的切线方程为 .?
14.
若定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)>0,f'(x)为f(x)的导函数,且2f(x)15.
若直线y=kx与双曲线C:-=1(a>0,b>0)相交于不同的两点A,B,F为双曲线C的左焦点,且满足|AF|=3|BF|,|OA|=b(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为 .?
(第16题)
16.
如图,在边长为2的菱形ABCD中,若∠BCD=60°,现将△ABD沿对角线BD折起,得到三棱锥P-BCD,则当二面角P-BD-C的大小为时,三棱锥P-BCD的外接球的表面积为 .?
四、
解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
(本小题满分10分)在①a=2,②B=,③c=b这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中,并解决该问题.
在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足(b-a)(sinB+sinA)=c(sinB-sinC).
(1)
求角A的大小;
(2)
已知 , ,若△ABC存在,求△ABC的面积;若△ABC不存在,请说明理由.?
18.
(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N
),-2S2,S3,4S4成等差数列,且a2+2a3+a4=.
(1)
求数列{an}的通项公式;
(2)
若bn=-(n+2)log2|an|,求数列的前n项和Tn.
19.
(本小题满分12分)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PD=PB,H为PC上的点,过AH的平面分别交PB,PD于点M,N,且BD∥平面AMHN.
(1)
求证:MN⊥PC;
(2)
当H为PC的中点,PA=PC=AB,PA与平面ABCD所成的角为60°,求二面角P-AM-N的余弦值.
(第19题)
20.
(本小题满分12分)如图,“伦敦眼”坐落在伦敦泰晤士河畔,是世界上首座观景摩天轮,又称“千禧之轮”,该摩天轮的半径为60
m,游客乘坐舱P升到半空可鸟瞰伦敦建筑BC,伦敦眼与建筑之间的距离AB为120
m,游客在乘坐舱P看建筑BC时的视角为θ.
(1)
当乘客在伦敦眼的最高点D时视角θ=30°,求建筑BC的高度;
(2)
当游客在乘坐舱P看建筑BC的视角θ为45°时,拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片,求建筑BC的最低高度.
(说明:为了便于计算,数据与实际距离有误差,伦敦眼的实际高度为135
m)
(第20题)
21.
(本小题满分12分)如图,已知抛物线x2=4y,F为其焦点,椭圆+=1(a>b>0),F1,F2为其左、右焦点,离心率e=,过F作x轴的平行线交椭圆于P,Q两点,|PQ|=.
(1)
求椭圆的标准方程;
(2)
过抛物线上一点A作切线l交椭圆于B,C两点,设l与x轴的交点为D,BC的中点为E,BC的中垂线交x轴于点K,△KED,△FOD的面积分别记为S1,S2,若=,且点A在第一象限,求点A的坐标.
(第21题)
22.
(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2xlnx,g(x)=x+-(lnx)2,其中a∈R,x0是g(x)的一个极值点,且g(x0)=2.
(1)
讨论函数f(x)的单调性;
(2)
求实数x0和a的值;
(3)
求证: