(共22张PPT)
A
E
D
C
B
F
学习目标
1.认识点和圆的位置关系；
2.掌握“三点定圆”定理；
3.掌握三角形外接圆及外心的定义；
4.体会分类讨论及数形结合的思想；
5.体验探索数学的乐趣.
问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
.
o
.
C
.
.
.
.
B
.
.A
.
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外.
点和圆的位置关系
一
问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
d
d
d
r
P
d
P
r
d
P
r
d
＜
r
r
=
＞
r
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在
；点B在
；点C在
.
练一练：
圆内
圆上
圆外
2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=
，则点P在（
）
A.大圆内
B.小圆内
C.小圆外
D.大圆内，小圆外
o
D
问题1：平面上有一点A，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？
●O
●A
●O
●O
●O
●O
能画出无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离.
二
过不在同一直线上的三个点作圆
合作探究
问题2：过两个点能不能确定一个圆?
●O
●
O
●O
●O
A
B
能画出无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上。
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
A
B
C
D
E
G
F
●o
经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
有且只有
位置关系
定理：
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
归纳总结
如图，是一块圆形镜片破碎后的部分残片，试找出它的圆心.
A
B
C
O
圆心一定在弦的垂直平分线上.
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。
●O
A
B
C
有关定义
2、判断下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆(
).
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形(
)
(3)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等(
)
(4)经过三点一定可以确定一个圆(
)
1、在⊙O上任取三点A，B，C，分别连结AB，BC，CA，则△ABC叫做⊙O的
______
；⊙O叫做△ABC的_____
；O点叫做△ABC的_____，它是△ABC
____________
的交点．
√
×
×
√
内接三角形
三边垂直平分线
外心
外接圆
画一画：
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
1.锐角三角形的外心位于三角形内,
2.直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,
3.钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
如图，已知
Rt△ABC
中
，
若
AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径.
C
B
A
O
解：设Rt△ABC
的外接圆的外心为O，连接OC，则OA=OB=OC.
∴O是斜边AB
的中点.
∵∠C=900，AC=12cm，BC=5cm.
∴AB=13cm，OA=6.5cm.
故Rt△ABC
的外接圆半径为6.5cm.
思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
l1
l2
A
B
C
P
如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆．
反证法
三
要点归纳
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
反证法的一般步骤
假设命题的结论不成立
从这个假设出发，经过推理，得出矛盾
由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
点与圆的位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d>r
d=r
d位置关系数量化
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
定理：
过不在同一直线上的三个点确定一个圆
一个三角形的外接圆是唯一的.
注意：同一直线上的三个点不能作圆
点P在圆环内
r≤d≤R
R
r
P
课堂小结
布置作业
必做题：1、完成课堂习题纸上的习题。
2、教科书95页练习第1、2题。
选做题：
1、若正△ABC外接圆的半径为R，则△ABC的面积为___________．
2、若正△ABC的边长为a，则它的外接圆的面积为___________．
3、若△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径为___________．
4、若△ABC内接于⊙O，BC=12cm，O点到BC的距离为8cm，则⊙O的周长为___________．
解决实际问题
某工厂一台设备有一个圆形的零件，在生产中使用不当而破损，由于该设备图纸已丢失，无法知道它的尺寸。请同学们考虑用什么方法画出它的复原图。24.2.1 点和圆的位置关系
教学目标
知识与技能
1．探索并掌握点与圆的位置关系，及这三种位置关系对应的圆的半径与点到圆心的距离之间的关系。
2．探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆，了解不在同一直线上的三点确定一个圆；了解三角形的外接圆和三角形的外心。
3．了解反证法的证明过程
过程与方法
经历探索点与圆的位置关系的过程，体会数学分类思考的数学思想；通过探索不在同一直线上的三点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略。
情感态度与价值观
在主动参与数学活动的过程中，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，并乐于与人交流。
教学重点
用数量关系判断点与圆的位置关系，不在同一直线上的三点确定一个圆。
教学难点
经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程,,并能过不在同一直线上的三个点作圆。
教学方法
启发引导、合作探究、拓展新知
课前准备
课件、课本,圆规三角板等
教学过程
一、导入新知
同学们，你们看过射箭比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；如果箭看成点，箭靶看成圆，那么上面情境反映了点与圆的位置关系。如何判断点与圆的位置关系呢？
这节课，我们就一起来学习《24.2.1 点和圆的位置关系》。（板书课题）
二、探究新知
问题：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP＝d，
则有：点P在圆外?d>r；
点P在圆上?d＝r；
点P在圆内?d反过来，也十分明显，如果d>r?点P在圆外；如果d＝r?点P在圆上；如果d因此，我们可以得到：
设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，
则有：点P在圆外?d>r；
点P在圆上?d＝r；
点P在圆内?d这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．
下面，我们接着研究确定圆的条件：
(学生活动)经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．
(1)作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
(2)作圆，使该圆经过已知点A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
(3)作圆，使该圆经过已知点A，B，C三点(其中A，B，C三点不在同一直线上)，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？
(老师在黑板上演示)
(1)无数多个圆，如图(1)所示．
(2)连接A，B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A，B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．
其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图(2)所示．
(3)作法：①连接AB，BC；
②分别作线段AB，BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；
③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图(3)所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A，B，C三个点的距离相等(中垂线上的任一点到两端点的距离相等)，所以经过A，B，C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
即不在同一直线上的三个点确定一个圆．
也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．
下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．
证明：如图，假设过同一直线l上的A，B，C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1，又在线段BC的垂直平分线l2，即点P为l1与l2交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．
所以，过同一直线上的三点不能作圆．
上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．
在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．
例1 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心．
作法：(1)在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段；
(2)作两线段的中垂线，相交于一点O.
则O就为所求的圆心．图略．
三、巩固练习
教材第95页 练习1，2，3.
四、归纳新知
本节课应掌握：
1．点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则
2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．
3．三角形外接圆和三角形外心的概念．
4．反证法的证明思想．
5．以上内容的应用．
五、教后反思
