24.1.2
垂直于弦的直径
教学设计
一、教学内容
教科书第81-83页，24.1.2
垂直于弦的直径
二、教学目标
知识与能力：通过动手折圆，使学生发现圆的轴对称性。掌握垂径定理及其推论，并会用它解决有关的证明与计算问题。
过程与方法：经历探究垂径定理及其推论的过程，进一步理解和体会研究几何图形的各种方法。
情感态度与价值观：通过欣赏中国古代桥梁，向学生进行爱国主义教育，渗透美育，激发学生学习探究、发现问题的兴趣和欲望。
三、教学重、难点
重点：能初步应用垂径定理进行计算和证明.
难点：理解圆的轴对称性及垂径定理的推导.
四、教学设计过程
（一）图片欣赏
课件出示各种精妙的桥梁图片：中国建设了无数的桥梁，千百年的风雨验证了这种结构坚不可摧，以赵州桥为例，当我们知道主桥拱的跨度以及拱高，你能计算出它的半径吗？带着这个问题，我们开启今天的知识之旅。
设计意图：结合各种桥梁，对学生进行爱国主义教育和美育渗透。
（二）观察思考
问题1：把你手里的圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
学生：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
强调：对称轴是任何一条直径所在的直线，不是线段。
设计意图：通过学生亲自动手操作发现圆的对称性，为后续探究打下基础。
问题2：你能用数学方法证明刚才的结论吗？
教师引导：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线的对称点也在圆上。
如图1：AB是⊙O的任一条直径，C是⊙O上点A,B以外任意一点过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，垂足为E，连接OC,OD
∵在△OCD中，OC=OD,
∴
△OCD是等腰三角形
∵OE⊥CD
∴CE=ED
即AB是CD的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点C，在圆上都有关于直线AB的对称点D，因此⊙O关于直线AB对称。
此处应总结归纳做辅助线的方法，通常是连半径构造等腰三角形或全等三角形。
设计意图：通过该问题引起学生思考，进行探究，初步感知培养学生的分析能力，解题能力。
问题3：根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段和弧？
学生通过分析、观察得出：CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD
问题4：你能用数学方法证明吗？
CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E.求证：CE=DE,
弧AC=弧AD，弧BC=弧BD。
分析：要证CE=DE，只要证CE,DE构成的三角形全等，要证弧AC=弧AD，弧BC=弧BD，只需证明C点与D点关于直径AB对称.
证明：连接OC,OD,则OC=OD
在Rt△OCE和Rt△ODE中：
___________________
___________________
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（
）
∴CE=_____
∴点_____和点_____关于AB对称
∵⊙O关于AB对称
∴当圆沿着直线AB对折时，点C与点D重合，弧AC与弧AD重合，弧BC与弧BD重合
∴_________,________________,________________
教师引导分析完后，出示需填空的过程，同位两人讨论填空，并找多名同学现场回答。
总结归纳：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：∵
①
AB是直径（
），
②
AB⊥CD
∴
③CE=DE，④弧AC=弧AD，⑤弧BC=弧BD.
分析：分别将黑板上所画圆的直径中的一段BE，AO擦掉，引导学生得出括号里填写——过圆心。
教师：垂径定理是由哪几个已知条件得出哪几条结论？
学生：一条直线过圆心、垂直于弦，则可以推出平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧。
问题5：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
学生通过思考分析，由圆的轴对称性得出，上述五个因素，知道其中两个就可以退出其他三个。
对于其中一种，我们拿出来由学生用数学方法完成推理证明：举例证明其中一种组合方法.
已知：AB是直径，CE=DE
求证：AB⊥CD，弧AC=弧AD，⑤弧BC=弧BD.
学生通过小组交流讨论得出结论，推选出小组代表回答该问题。
学生回答完后再次引导学生圆常用的辅助线为连半径。并借助几何画板验证上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。
利用PPT演示当弦CD为直径时，举例证明的组合方法不再成立，由此总结归纳出课本上垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：∵
①
AB是直径
②
CE=DE且CD不是直径
∴
③
AB⊥CD，
④弧AC=弧AD，⑤弧BC=弧BD.
设计意图：利用几何画板，使学生更直观的、全面的掌握垂径定理和它的推论，得到其他几个定理，完整全面的把握知识。
（三）例题讲解
1.例题：我们已经学习了垂径定理，就可以对前面赵州桥的问题一展身手了。
引导着学生根据题意构建数学模型，学生列方程进行求解，教师课件展示过程，规范做题步骤，强调做题的严谨性。
2.例题变式：如图，在⊙O中，弦AB的长为
6
cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为
4
cm，求⊙O的半径．
分析：引导学生学会做弦心距，并理解辅助线可以做弦心距构造直角三角形，借助勾股定理解决问题。
设计意图：体会转化思想，化未知为已知，从而解决问题，同时把握一类题型的解题方法，做辅助线方法。
（四）知识小结
设计意图：课件一步步出示本节内容，引导学生回顾思考。
（五）课后作业
小小数学家：1.完成课本P83
练习1.2
2.完成同步练习册1.2.3.4.5.6.7
数学爱好者：1.完成课本P83
练习1.2
2.完成同步练习册1.2.3.4.5.6.7.8
设计意图：学生根据自己的能力选择其中一个作业完成，更有效率，学习更有效果。
（六）达标练习
1.半径为4cm的⊙O
中，弦AB=2
cm,那么圆心O
到弦AB
的距离是
。
2.⊙O
的直径为10
cm，圆心O
到弦AB的距离OE=4cm，则弦AB
的长是
.
3.如图，⊙M
与x轴交于A，B
两点，与y轴交于C，D
两点，若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是
.
4.如图，⊙O
的直径CD⊥AB于E，AB＝6cm，CE＝9㎝，求⊙O
的半径.
图1(共29张PPT)
第二十四章
圆
24.1
圆的有关性质
24.1.2
垂直于弦的直径
1
2
学习目标
3
理解圆的轴对称性及垂径定理的推导.(难点)
能初步应用垂径定理进行计算和证明.（重点）
通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.
观察思考
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，
你发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
你能用数学方法证明刚才的结论吗？
如图，AB是⊙O的任一条直径，C是⊙O上点A,B以外任意一点
∵在△OCD中，OC=OD,
∴
△OCD是等腰三角形
∵OE⊥CD
∴CE=ED
即AB是CD的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点C，在圆上都有关于直线AB的对称点D，因此⊙O关于直线AB对称。
·
O
C
B
E
A
D
过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，垂足为E
连接OC,OD
根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段
和弧？
A
B
C
D
O
E
CE=DE
⌒
AC
=
AD
BC
=
BD
⌒
⌒
⌒
观察思考
CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E.
求证：CE=DE,
⌒
⌒
AC
=
AD,
⌒
⌒
BC
=BD.
A
B
C
D
O
E
分析：要证CE=DE，只要证CE,DE构成的三角形全等.
要证
，只需证明C点与D点关于直径AB对称.
⌒
⌒
AC
=AD,
⌒
⌒
BC
=BD
同位讨论
同位讨论
CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E.
求证：CE=DE,
⌒
⌒
AC
=
AD,
⌒
⌒
BC
=BD.
A
B
C
D
O
E
证明：连接OC,OD,则OC=OD
在Rt△OCE和Rt△ODE中：
___________________
___________________
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（
）
∴CE=_____
∴点_____和点_____关于AB对称
∵⊙O关于AB对称
∴当圆沿着直线AB对折时，点C与点D重合，
重合，
重合
∴_________,________________,________________
OE=OE
OC=OD
HL
DE
C
D
⌒
⌒
AC与AD
⌒
⌒
BC与BD
CE=DE
AC
=
AD,
⌒
⌒
BC
=BD.
⌒
⌒
归纳总结
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：
∵
①
AB是直径（
），
②
AB⊥CD
∴
③CE=DE，④AC=AD，⑤BC=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
C
E
A
B
D
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
是
不是
是
练一练
是
是
注意：垂径定理中的垂径可以是 、
半径或过圆心的直线或 ，
其本质是“过圆心”
直径
线段
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心；
②垂直于弦；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
想一想
·
O
C
E
A
B
D
举例证明其中一种组合方法.
已知:
求证：
②
AB⊥CD，垂足为E
③
CE=DE
④
AC=AD
⑤
BC=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
C
E
A
B
D
小组讨论
①
AB是直径
举例证明其中一种组合方法.
已知:
求证：
②
AB⊥CD，垂足为E
③
CE=DE
④
AC=AD
⑤
BC=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
C
E
A
B
D
小组讨论
①
AB是直径
思考：CD可以是直径吗？
C
D
C
D
D
举例证明其中一种组合方法.
已知:
求证：
②
AB⊥CD，垂足为E
③
CE=DE（CD不是直径）
④
AC=AD
⑤
BC=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
C
E
A
B
D
小组讨论
①
AB是直径
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
∵
①
AB是直径
②
CE=DE且CD不是直径
符号语言：
∴
③
AB⊥CD，
④AC=AD，⑤BC=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
归纳总结
·
O
C
E
A
B
D
例题探究
赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R
m.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为点D，与AB交于点C，连
结OA.根据垂径定理，则D是AB
的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.
由题设可知，AB=37m，CD=7.23m，
即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
∴
AD=
AB=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m.
⌒
⌒
⌒
⌒
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2,
∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.
例题探究
弦a，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h，半径r之间有以下关系：
★弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
方法总结
例题变式
如图，在⊙O中，弦AB的长为
6
cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为
4
cm，
求⊙O的半径．
A
B
O
E
3
4
解：
在Rt
△
AOE
中
,
,(垂径定理）
过圆心O
作OE⊥AB于E，
在圆中有关弦长a，半径r，
弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
★涉及垂径定理时辅助线的添加方法
O
A
B
C
·
方法总结
知识小结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程
基本图形及变式图形
圆是轴对称图形
分层作业
小小数学家：1.完成课本P83
练习1.2
2.完成同步练习册1.2.3.4.5.6.7
数学爱好者：1.完成课本P83
练习1.2
2.完成同步练习册1.2.3.4.5.6.7.8
达标练习
1.半径为4cm的⊙O
中，弦AB=2
cm,
那么圆心O
到弦AB
的距离是
.
A
B
O
E
1
4
2.⊙O
的直径为10
cm，圆心O
到弦AB的距离OE=4cm，
则弦AB
的长是
.
6cm
E
A
B
O
5
4
达标练习
3.如图，⊙M
与x轴交于A，B
两点，与y轴交于C，D
两点，
若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是
.
2
5
3
达标练习
3
r
9-r
4.如图，⊙O
的直径CD⊥AB于E，AB＝6cm，CE＝9㎝.
求⊙O
的半径.
D
C
A
B
E
O
