(共31张PPT)
24.1.4
圆周角(1)
情景导入
下图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过玻璃窗AB观看窗内的海洋动物
，
同学甲站在圆心O，同学乙站在C，
同学丙站在D，同学丁站在E,他们都说自己的位置好，如果你是海洋馆的工作人员，你怎么评价他们的意见？
（
乙C
B
A
甲
0
丙D
丁E
O
B
C
A1
A2
圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角
温故知新
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
O
B
C
C
A1
A2
圆周角
定义:
,并且
的角叫
做圆周角.
顶点在圆上
两边都和圆相交
判断下列各图中的角是否是圆周角，并说明理由.
①
②
③
④
O1
O2
O3
O4
×
√
×
×
顶点在圆外
只有一边与圆相交
顶点在圆内
请画出BC所对的圆周角
A
●
B
●
●
O
利用量角器量出AB所对的圆周角的度数,再利用量角器量出AB所对的圆心角的度数，猜想同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系？
⌒
⌒
实验
猜想
A
B
●
O
C
D
E
通过测量我们发现：
AB所对圆周角相等,
⌒
AB所对圆心角
等于
⌒
一半.
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
圆心在圆周角
的一边上
圆心在圆周角的内部
圆心在圆周角
的外部
●
O
A
C
B
●
O
A
B
C
●
O
A
B
C
问题:若按圆心o与这个圆周角的位置关系来分类,我们可以分成几类？
A
O
B
C
∵
OA=OC
∴
∠OCA=∠BAC
证明：
∵
∠BOC是△AOC的外角
∴
∠BOC=∠BAC+∠OCA
∴
∠BOC=2∠BAC
即∠BAC=
∠BOC.
已知：⊙O中，BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC。
求证：∠BAC＝
∠BOC。
(
推理证明
验证猜想
A
O
D
C
B
A
O
D
C
A
O
D
B
D
B
A
O
C
A
D
O
C
A
D
O
B
—
—
圆周角定理：
B
O
A
C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
符号语言：
∠ACB=
∠AOB
（或
∠AOB=
2∠ACB）
新知再探
如图1,圆中一段弧
AC
对着许多个圆周角,这些个角的大小有什么关系?为什么?
⌒
图2
●O
B
C
D
E
A
图1
如图2,圆中AB=EF,那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么?
⌒
⌒
∠B
=
∠D=
∠E
∠C
=∠G
由此你能得出什么结论?
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
由同弧来找相等的圆周角．
∠5
=
∠8
AB:
⌒
试一试:
问题解决：
下图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过玻璃窗AB观看窗内的海洋动物
，
同学甲站在圆心O，同学乙站在C，
同学丙站在D，同学丁站在E,他们都说自己的位置好，如果你是海洋馆的工作人员，你怎么评价他们的意见？
（
乙C
B
A
甲
0
丙D
丁E
∠C=∠D=∠E=
∠AOB
例题引领
例：如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30
°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
C
A
B
O
追踪训练
1.如左图，点A、B、C、D在⊙O上，∠BAC＝35°,则∠BDC
＝
°,理由是
；
∠BOC
＝
°，理由是
。
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
2.右图中相等的圆周角有
。
∠A=∠
D、∠B=∠
C
3.如图，在⊙O中，弦AB//CD，
若∠ABC=40°，则∠BOD
=_____
80°
问题1： 如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?
B
A
O
C
图1
问题2： 如图2，圆周角∠BAC＝90?，弦BC经过圆心O吗？为什么？
●O
B
C
A
图2
合作探究?
圆周角定理的推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是角，90°的圆周角所对的弦是直径．
∵AC是⊙O的直径
∴
∠ADC=90°
∵∠ADC=90°
∴
AC是⊙O的直径
符号语言：
反过来，
1．
如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，
AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，
∠ABD=58°，则∠BCD等于(
)
2．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点（不与点A、B重合），延长BD到点C，使DC＝BD，判断△ABC的形状：
．
等腰三角形
追踪训练
A
116°
B．
32°
C．
58°
D．
64°
B
课堂感悟
1、圆周角
O
B
C
A
2、圆周角定理
⑴顶点在圆上
⑵角的两边和圆相交
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
你本节课有什么收获？
O
A
B
C
D
C
O
A
B
D
O
A
B
C
3.转化思想
数学思想方法
1.分类思想
2.由特殊到一般思想
A
D
B
C
O
如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC
与∠BDC的大小，并说明理由。
思维拓展
小明
∠BAC
＝∠BDC
A
D
B
C
O
例1：站在点D的小强向后退了几步，退到了圆外，此时从射门角度大小考虑，小明A、小强D谁的位置射门更有利？
F
E
变式1
小明
∠BFC＞∠BDC
∠BAC
＝∠BFC
∴∠BAC＞∠BDC
A
D
B
C
O
F
E
变式：站在点D的小强向前进了几步，进到了圆内，仅从射门角度大小考虑，此时小明A、
小强D谁的位置射门更有利？
例题解析
小明
F
∠BDC＞∠BFC
∠BFC
＝∠BAC
∴∠BDC＞∠BAC
即:D处射门更有利
·
B
A
C
O
1.
用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？（
）
2.
如图，A、B、C为⊙Ｏ上三点，
若∠ABO=46°，则∠ACB=
°
达标检测
?
3.已知：⊙
O中弦AC⊥BC，AC=6cm，BC=8cm，则⊙
O的半径=
cm.
5
B
O
A
C
4.已知：AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,以OA为直径的⊙D与AC相交于点E,AC=10.则AE的长为______.
E
D
O
A
B
C
5
5.
已知：如图，
为
的直径，
交
于点
交
于点
（1）求
的度数；
．
（2）求证：
课下作业:1、Ｐ89第5题;
Ｐ91第1题；
3、预习圆内接四边形
布置作业
2、小组合作完成“达标”和“思维拓展”题目；
4.
图中圆心角∠AOB=30°，弦CA∥OB，延长CO与圆交于点D，则∠BOD= ．
3.如图3，若AB是⊙O的直径,
AB=10cm,
,则BC=_______cm.
O
A
B
图3
C24.1.4圆周角（1）教学设计
教学目标：
1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；
2、培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；
3、体会分类讨论的思想，渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学
(?http:?/??/?www.teachercn.com?/?ShuXue?/?"
\t
"_blank?)方法．
教学重点：圆周角的概念和圆周角定理及推论。
教学难点：发现并证明圆周角定理。
教学过程
一、情景导入：下图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，
人们可以通过玻璃窗AB观看窗内的海洋动物
，
同学甲
站在圆心O，同学乙站在C，
同学丙站在D，同学丁站在
E,他们都说自己的位置好，如果你是海洋馆的工作人员，
你怎么评价他们的意见？
二、认识圆周角
1、复习提问：
（1）什么是圆心角？
答：顶点在圆心的角叫圆心角.
（2）圆心角的度数定理是什么？
答：圆心角的度数等于它所对弧的度数.（如右图）
2、引题圆周角：
如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角∠ACB，它就是圆周角.（如右图）（演示图形，提出圆周角的定义）
定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
3、概念辨析：
1判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．
学生归纳：一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.
三．探究圆周角的性质
1、提出圆周角的度数问题
问题：圆周角的度数与什么有关系？
经过电脑演示图形，让学生观察图形、分析圆周角与圆心角，猜想它们有无关系，然后通过“画一画”和“量一量”，引导学生得出同弧所对的圆周角和圆心角的关系。
设计说明：由学生总结发现规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半，教师再利用玲珑画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现．
4．证明圆周角定理及推论
问题1：观察你所画图形，思考圆心角与圆周角之间有几种位置关系？
学生讨论弧所对的圆周角的三种情况：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部．（在教师
(?http:?/??/?WWW.teachercn.com"
\t
"_blank?)引导下完成）
（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系：（演示图形）观察得知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半.
提出必须用严格的数学
(?http:?/??/?www.teachercn.com?/?ShuXue?/?"
\t
"_blank?)方法去证明.
证明:(圆心在圆周角上)
（2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系：
当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论.
证明：作出过C的直径（略）
设计说明：后两种都化成了第一种情况，教师再次利用玲珑画板从动态的角度进行演示转化过程，这体现了数学
(?http:?/??/?www.teachercn.com?/?ShuXue?/?"
\t
"_blank?)中的分类方法，体现数学
(?http:?/??/?www.teachercn.com?/?ShuXue?/?"
\t
"_blank?)中的化归思想.（对A层学生渗透完全归纳法）
结论：一条弧所对的圆周角的度数等于____________________________
(圆周角定理）
问题2：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？
问题3：在⊙O中，若
=
，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若土∠C=∠G
，是否得到
=
呢？
让学生分析、研究，并充分交流．
注意：①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；
②若
=
，则∠C=∠G；但反之不成立．
老师组织学生归纳：
1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
重视：同弧说明是“同一个圆”；
等弧说明是“在同圆或等圆中”．
问题：
“同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？（学生通过交流获得知识）
试一试：
试找出下图中所有相等的圆周角.
问题3：（1）一个特殊的圆弧——半圆，它所对的圆周角是什么样的角？
（2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?
学生通过以上两个问题的解决，在教师
(?http:?/??/?WWW.teachercn.com"
\t
"_blank?)引导下得推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦直径．
指出：这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、
垂直关系创造了条件，要熟练掌握．
5、运用提升
例题引领
例题：如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30
°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
设计说明：圆周角定理的简单应用， 让学生交流：①解题思路；②辅助线的方法；③解题推理过程（要规范）．
跟踪训练
1、如左图，点A、B、C、D在⊙O上，∠BAC＝35°,则∠BDC
＝
°,理由是
，∠BOC
＝
°，理由
2、右图中相等的圆周角有
。
六、课堂小结：
本节课你认识了什么？掌握了哪些定理？有什么收获？
引导学生思考，议论、发现结论．由学生口述证明结论的成立．这样由学生通过观察、促使知识转化为技能，发展成能力，从而提高应用的素养．
七、作业布置活动
【活动】设疑激趣、引发思考
评论
.
播放视频、运用拓展
学到这里,我们轻松一下,欣赏一段精彩的视频回放。这是前段时间,中国女足队对克罗地亚队的一场精彩的足球赛。看完了精彩的回放。我们看看足球场上会有哪些数学问题。
(播放视频后,今天的数学课我们就上到这。
(多媒体呈现作业):
〖设计意图〗播放视频,创设问题情境引发学生对足球场上的数学问题的思考。
教学反思:
乙C
B
A
甲
0
丙丙D
丁E
O
B
C
O1
O2
O3
O4
C
A
B
O
