(共24张PPT)
人教版九年级上册
1.了解圆是轴对称图形。
2.掌握垂径定理及推论，并能初步应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题。
3.会用添加辅助线的方法解决问题。
学习目标：
问题
：赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
实践探究
1、将手中的圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，
任何一条直径所在的直线都是对称轴。
2、如图，CD是过圆心O的任意一条直线，你能否证明圆是轴对称图形呢？
如图,AB是⊙O的一条弦,
直径CD⊥AB,
垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧?
为什么?
·
O
A
B
C
D
E
线段:
AE=BE
弧:
AC=BC,
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
CD⊥AB
∵
CD是直径，
∴
AE=BE,
⌒
⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD
=BD.
·
O
A
B
C
D
E
符号语言：
判断下列图形，能否使用垂径定理？
定理辨析
垂径定理的几个基本图形：
定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。
练习：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
·
O
A
B
E
解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA
∴
∴
即⊙O的半径为5cm.
·
A
B
C
D
E
·
Ｏ
Ｏ
A
B
D
C
条件
CD为直径
结论
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
⌒
⌒
CD⊥AB
AE=BE
平分弦
的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（不是直径）
垂径定理的推论:
CD⊥AB吗？
(E)
符号语言？
“知二推三”
(1)垂直于弦
(2)过圆心
(3)平分弦
(4)平分弦所对的优弧
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
(4)若
，CD是直径,
则
、
、
.
(1)若CD⊥AB,
CD是直径,
则
、
、
.
(2)若AM=MB,
CD是直径,
则
、
、
.
(3)若CD⊥AB,
AM=MB,
则
、
、
.
1.如图所示:
练习
●O
A
B
C
D
└
M
AM=BM
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
CD⊥AB
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
CD是直径
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
⌒
⌒
AC=BC
CD⊥AB
AM=BM
⌒
⌒
AD=BD
练习
2、判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线一定经过圆心
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧
例1：如图，圆O的弦AB＝8
㎝
，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
1、两条辅助线：
连半径、作弦心距
2、一个Rt△：
半径、半弦、弦心距
·
O
A
B
C
3、两个定理：
垂径定理、勾股定理
结合本节课的学习目标谈一下收获与困惑
智慧学习83页
1、学习检测1
2、学习巩固1、2、3
1.必做题：智慧学习83页
2.选做题：名校课堂79页
你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?
37.4m
7.2m
A
B
O
C
D
关于弦的问题，常常需要作弦心距，这是一条非常重要的辅助线。
半径、半弦、弦心距构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r.
∴
AB=37.4m，CD=7.2m
∴
AD=1/2
AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2
∵
∴
解得r=27.9（m）
即主桥拱半径约为27.9m.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.
⌒
教师寄语
给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习：不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。
——高斯24.1.2
垂直于弦的直径
课题
垂直于弦的直径（第1课时）
备课时间
课型
新授课
授课教师
教学目标
知识与技能
?1.了解圆是轴对称图形。?2.掌握垂径定理及推论，并能初步应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题。?3.会用添加辅助线的方法解决问题。
过程与方法
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。
情感态度价值观
在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。
教学重点
垂径定理及其推论的应用。
教学难点
垂径定理及其推论的应用。
教具
圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件
教学过程
问题与情境
师生行为
备注与修改
创设情境导入新课
你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,
是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，赵洲桥主桥拱的半径是多少？怎样求?学完本节课后就可以解决这个问题了。
两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。
合作交流探究新知
圆的对称性（探究）将手中的圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？由此你能得到圆的什么特性？垂径定理（思考）如图
：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。这个图形是对称图形吗你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。你能用几何方法证明这些结论吗？你能用符号语言表达这个结论吗？3.火眼金睛：判断下列图形，能否使用垂径定理。归纳：定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。练习：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。垂径定理推论①把条件和结论中的CD⊥AB，AE=BE互换，结论成立吗？平分弦（非直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；②你能证明这个推论吗？③条件中的非直径可以去掉吗？能不能举个例子说明④你能用符号语言表达这个结论吗？4.“知二推三”并进行练习。（1）若CD⊥AB,
CD是直径,
________,_________._______
若
CD是直径，AE=BE，则________,_________._______若CD⊥AB,AE=BE，则________,_________._______若CD是直径，弧AC=弧BC，则________,_________._______
圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并板书。教师明确定理中的条件和结论，学生辨析适合垂径定理的图形引申出垂径中的“径”学生独立思考后回答思路学生思考，教师引导，引出垂径定理的推论教师告诉垂径定理及其推论又叫“知二推三”让学生课下探究。课上利用几个填空巩固一下
本节课主要探讨垂径定理及其推论，主要涉及垂径定理的简单应用，更深入的应用，放在下一节课进行研究。
灵活应用
提高能力
简单应用例1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．反思：从此题的解决过程中，你得到什么启示？归纳：1、两条辅助线：
连半径、作弦心距2、一个Rt△：
半径、半弦、弦心距3、两个定理：
垂径定理、勾股定理
此题由学生独立思考,并讲解思路，教师可让学生自己进行评判.并让学生板演。此题属于基本应用，让学生了解弦心距、半弦、半径组成的直角三角形是圆中常用的直角三角形，更深入的研究在下节课中研究。
本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。
小结升华与达标训练
小结升华本节课你学到了哪些数学知识？在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？这些方法中你又用到了哪些数学思想？达标测试：1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（
）A、∠COE=∠DOE
B、CE=DE
C、OE=AE
D、弧BD=弧BC第1题
第2题2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=_____cm。3.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为_________。4．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．解决问题：如图，是赵州桥的几何示意图，若其中AB是桥的跨度为37.4米,桥拱高CD为7.2米,你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗?提示：此中直角三角形AOD中只有AD是已知量，但可以通过弦心距、半径、拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列出方程。拓展提高：某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为7.2
m
，过O
作OC
⊥
AB
于D，
交圆弧于C，CD=2、4m，
现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？作业布置1.必做题：智慧学习83页2.选做题：名校课堂79页
教师提出问题，学生回顾本节课所学知识，自己进行小结，养成梳理知识的习惯。达标训练，由学生独立完成，检测本节课的掌握情况。学生完成，教师当堂批改紧扣引例：此题是垂径定理计算题中另一种题型，主要利用将垂径定理、勾股定理、方程的知识进行综合应用。拓展拔高，供学有余力的学生完成。
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