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实际问题与二次函数
数学人教版
九年级上
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度
h(单位：m)与小球的运动时间
t(单位：s)之间的关系式是h=
30t
-5t
2
(0≤t≤6)．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
故小球运动的时间是3
s时，
小球最高．小球运动中的最大
高度是45
m．
解：如图所示，因为a=-5＜0，
一般地，当a＞0时，抛物线
y=ax2+bx+c的顶点是最低点，当
时，二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c
有最小值
如何求出二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c
的最小值和最大值？
当a＜0时，抛物线
y=ax2+bx+c
的顶点是最高点，当
时，二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c
有最大值
整理，得
例1
用总长为
60
m
的篱笆围成矩形场地，矩形面积
S
随矩形一边长
l
的变化而变化．当
l
是多少米时，场地的面积
S
最大？
解：依题意，得
，
因此，当
时，
S
有最大值为
．
答：当
l
是
15
m
时，场地的面积
S
最大．
(0＜l＜30)．
解决二次函数最值问题的一般步骤：
1．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实
际意义，确定自变量的取值范围；
2．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最
大值或最小值．
例2 某商品现在的售价为每件
60
元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价
1
元，每星期要少卖出
10
件；每降价
1
元，每星期可多卖出
18
件．已知商品的进价为每件
40
元，如何定价才能使利润最大？
（1）题目中有几种调整价格的方法？
解：调整价格包括涨价和降价两种情况．
视频辅助教学
（2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪一个量随自变量的变化而变化？哪个量是函数？
解：涉及涨价(或降价)与利润两个变量，其中涨价(或降价)是自变量；设每件涨价（或降价）x元，则每星期售出商品的利润y随之变化而变化；y是x的函数．
（3）当每件涨1元时，售价是多少？每星期的销售量是多少？成本是多少？设每件涨价x元，销售额是多少？利润呢？最多能涨多少钱呢？
当每件涨价1元时，售价是60+1=61元；每星期销售量是300-10=290件，成本是40元；设涨价x元，销售额是(60+x)(300-10x)元，利润是
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)元，
即y=-10x2+100x+6000，其中，0≤x≤30．
最多能涨30元．
（4）当每件降x
元时，售价是多少？每星期的销售量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润y
呢？
设每件降价x元时，利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出(300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300+18)元．因此，所得利润
y=(60-x)(300+18x)-
40(300+18x)．
解：设每件涨价x元，则每星期少卖10x件，实际卖出(300-10x)件，销售额为(60+x)(300-10x)元，买进商品需付40(300-10x)元．
因此，所得利润为y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)，
即y=-10x2+100x+6
000，其中0≤x≤30．
当定价为60+5=65元时，y有最大值6
250元.
（5）由以上四个问题的探究，你能解决例2了吗？请试试看．
设每件降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付
40(300
+
18x)元．
因此，所得利润y=(60-x)(300+18x)-
40(300
+18x)
，
即y=-18x2+60x+6
000，其中，0≤x≤20．
当定价为
元时，y有最大值6
050元．
例3
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面
2
m时，水面宽
4
m．水面下降
1
m，水面宽度增加多少？
我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适
当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函
数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物
线的对称轴为y轴建立直角坐标系．
解：如图所示：
设这条抛物线表示的
二次函数为y=ax2．
由抛物线经过点(2，-2)，可得
-2=a×22．
解得
．
故这条抛物线表示的二次函数为
．
当水面下降1
m时，水面的纵坐标为-3，
所以
．
解得
．
所以水面宽度为
m．
所以当水面下降1
m时，水面宽度增加了
m．
1．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．市场调查发现：一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )
A．5元
B．10元
C．0元
D．36元
2．已知一个直角三角形两直角边之和为20
cm，则这个直角三角形的最大面积为( )
A．25
cm2
B．50
cm2
C．100
cm2
D．不确定
A
B
3．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4
m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5
m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )
A．50
m
B．100
m
C．160
m
D．200
m
C
4．若把一根长为120
cm的铁丝分成两部分
，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是多少？
解：设将铁丝分成长为x
cm，(120－x
)cm的两段，并分别围成正方形，则正方形的边长分别为
cm，
cm．设它们的面积和为y
cm2，则
当x=60时，y的最小值为450．
答：它们的面积和最小为450
cm2．
1．一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c的
顶点是最低点，也就是说，当
时，二次函数
y=ax2+bx+c有最小值
．
当a＜0时，抛物线y=ax2
+bx
+c的顶点是最高点，
也就是说，当
时，二次函数y=ax2+bx+c有
最大值
．
2．解决二次函数最值问题的一般步骤：
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实
际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最
大值或最小值．
视频辅助教学
1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100-x)件，应如何定价才能使利润最大？
2．飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s=60t-1.5t2．飞机着陆后滑行多远才能停下来？
谢谢
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