22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 课件 （共22张PPT）

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
数学人教版 九年级上
　　由前面的知识我们知道，函数 的图象向下平移1个单位可以得到函数 的图象；函数 的图象向左平移1个单位可以得到函数
的图象．那么函数 的图象如何平移才能得到函数 的图象呢？
　　问题1 在同一平面直角坐标系中画出函数
，　　　　 ， 的图象，
并指出它们的开口方向、对称轴及顶点．
解：先列表：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
…
…
…
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
…
…
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
…
…
然后描点画图，如下图所示：
它们的开口方向都向下，
对称轴分别为y轴、y轴、直线x=-1，
顶点坐标分别为（0，0）、（0，-1）、（-1，-1）．
1
-1
x
y
O
-3
-2
2
3
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
　　问题2 抛物线 经过怎样的变换可以得到抛物线 ．
　　解：把抛物线 先向下平移1个单位，再向左平移1个单位；或把抛物线　　　 先向左平移1个单位，再向下平移1个单位就可得到 ．
　　问题3 对于抛物线 ，当x_______时，函数值y随x的增大而减小；当x________时，函数值y随x的增大而增大；当x_______时，函数取得最______值，最______值y=_______．
＞-1
＜-1
=-1
大
大
-1
　　问题4 你能总结出抛物线y=a(x-h)2+k有什么特点吗？
　　解：抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k）．
　　（1）当a＞0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向上，
　　在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小；
　　在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大．
　　顶点是抛物线的最低点，此时函数y取得最小值，即当x=h时，y有最小值k．
　　（2）当a＜0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向下，　
　　在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大；
　　在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小．
　　顶点是抛物线的最高点，此时函数y取得最大值，即当x=h时，y有最大值k．
　　问题5 抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2有什么关系？
　　解：抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2形状相同，位置不同．
　　把抛物线y=ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k．
　　平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
　　例　要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直
安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长？
　　分析：本题是运用所学的二次函数的有关知识解决实际问题．关键是把实际问题转化为二次函数，那么建立恰当的直角坐标系尤为重要．
　　解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系．
（1，3）
y/m
O　 1 2 3 x/m
3
2
1
　　点（1，3）是图中这段
抛物线的顶点，因此可设这
段抛物线对应的函数解析式
是y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)．
由这段抛物线经过点（3，0），
可得0=a(3-1)2+3．
解得 ．
因此， （0≤x≤3）．
当x=0时，y=2.25，
也就是说，水管应2.25 m长．
　　如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正
上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h．已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m．（1）当h=2.6时，求y与x的关系式；
　　（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
　　解：（1）把x=0，y=2及h=2.6代入y=a(x-6)2+h，得2=a(0-6)2+2.6．解得 ．
所以y与x的关系式为 ．
（2）当h=2.6时， ．
当x=9时， ，
所以球能越过网．
当x=18时， ，
所以球会出界．
　　1．二次函数y=a(x-h)2+k的性质
　　二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k）．
　　（1）当a＞0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向上，
　　在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小；
　　在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大．
　　顶点是抛物线的最低点，此时函数y取得最小值，即当x=h时，y有最小值k．
　　（2）当a＜0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向下，　
　　在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大；
　　在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小．
　　顶点是抛物线的最高点，此时函数y取得最大值，即当x=h时，y有最大值k．
　　2．二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系
　　二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象形状相同，位置不同．
　　把二次函数y=ax2的图象向上（下）向左（右）平移，可以得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象．
　　平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
谢谢
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