22.2二次函数与一元二次方程 课件(共19张PPT)

二次函数与一元二次方程
数学人教版 九年级上
　　如图所示，以40 m/s的速度将小球沿与地面
成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t-5t2．
　　考虑以下问题：
　　（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？
　　（2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
　　（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
　　（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
　　分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．
　　如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．
　　解：（1）解方程15=20t-5t2，t2-4t+3=0，t1=1，t2=3．
　　当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m．
　　（2）解方程20=20t-5t2，t2-4t+4=0，t1=t2=2．
　　当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m．
　　（4）小球飞出时和落地时的高度都为0 m，
　　解方程0=20t-5t2，t2-4t=0，t1=0，t2=4．
　　当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m，即0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面．
　　（3）解方程20.5=20t-5t2，t2-4t+4.1=0．
　　因为(-4)2-4×4.1＜0，
　　所以方程无实数根．
　　这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m．
　　问题2 从上面你能看出，二次函数与一元二次方程有
怎样的关系？试着用自己的语言来表达．
　　解：从上面可以看出二次函数与一元二次方程关系密切．　　
　　例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0）．
　　反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值．
　　结论：一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0．
　　问题3　下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？
如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1．
解：这些函数的图象如下图所示．
　　可以看出：
　　（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1．
　　当x取公共点的横坐标时，函数值是0．
　　由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1．
　　（2）抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．
　　当x=3时，函数值是0．
　　由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3．
　　（3）抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点．由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根．
　　一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得
如下结论：
　　（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根．
　　（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．
　　这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．
　　例　利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根（结果保留小数点后一位）．
　　解：画出函数y=x2-2x-2的图象，如图所示，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7．
　　所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7．
（-0.7，0）
（2.7，0）
　　此外，我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一
元二次方程的根．
　　观察函数y=x2-2x-2的图象可以发现，当自变量为2时的函数值小于0，当自变量为3时的函数值大于0．
　　因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在2＜x＜3这一段经过x轴．
　　也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2-2x-2=0在2，3之间有根．我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，逐步得到根所在的范围．
用函数的图象求下列方程的解：
（1）x2-3x+2=0；（2）-x2-6x-9=0．
答案：
（1）x1=1，x2=2；
（2）x1=x2=-3．
　　1．我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0．
　　2．从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论．
　　（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根．
　　（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．
　　这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．
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