(共25张PPT)
二次函数y=ax2的图象和性质
数学人教版
九年级上
1．同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？
答：先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质．
x
y
O
x
…
-1
0
…
y
…
0
1
…
x
…
0
1
…
y
…
1
0
…
2．我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？
答：可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象．
x
y
O
3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？
答：一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是我们将要学习的内容．
x
y
O
探究1
画二次函数y=x2的图象．
（1）列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
（2）在直角坐标系中描点：用表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点；
x
y
O
-3
-2
-1
1
2
3
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=x2的图象，如图所示．
y=x2
探究2
观察这个函数的图象，你能说说它的图象的特征和性质吗？
x
y
O
-3
-2
-1
1
2
3
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y=x2
x
y
O
-3
-2
-1
1
2
3
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y=x2
它是一条曲线，开口向上，有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点，
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，
在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．
也就是说，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大．
抛物线的概念：像这样的曲线通常叫做抛物线．
顶点的概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．
x
y
O
-3
-2
-1
1
2
3
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y=x2
y=2x2的图象，函数
，
y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点？有什么不同点？
探究3
（1）在同一直角坐标系中，画出函数
，
（2）当a＞0时，二次函数y=ax2的图象有什么
特点？
O
1
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
2
3
4
5
6
7
8
（1）相同点：都是抛物线，除顶点外都处于x轴的上方，它们的开口都向上，对称轴都是y轴，顶点都是原点（0，0）；
当x＜0时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而增大；
不同点：它们的开口大小不同．
O
1
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
2
3
4
5
6
7
8
（2）一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点；
顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；
当x＜0时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而增大．
O
1
x
y
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
2
3
4
5
6
7
8
，y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线
探究4
（1）在同一直角坐标系中，画出函数
y=-x2，
有什么共同点和不同点．
（2）当a＜0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？
-1
y
1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
O
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-9
（1）共同点：①它们都是抛物线；
②它们除顶点外都处于x轴的下方；
③它们的开口都向下；
④它们的对称轴都是y轴；
⑤它们的顶点都是原点（0，0）；
⑥当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．不同点：它们的开口大小不同．
-1
y
1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
O
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-9
-1
y
1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
O
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-9
（2）一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小，
当x＜0时，y随x的增大而增大；
当x＞0时，y随x的增大而减小．
分析：通过二次函数的定义求出二次函数的解析式，然后根据y=ax2（a≠0）的性质画出函数图象，通过图象直观地观察何时取得最值．
例1
已知函数
．
（1）a取何值时，此函数为二次函数？并求出解析式；
（2）a取何值时，函数图象是开口向上的抛物线？
（3）a取何值时，函数有最大值？并求出最大值．
解：（1）若此函数为二次函数，需满足
解得a1=-2，a2=1．
此时函数解析式为y=-2x2或y=x2．
（2）当a=1时，抛物线y=x2的开口向上．
（3）当抛物线的开口向下时，有最大值，此时a=-2，当x=0时，y取最大值0．
例2 将抛物线y=ax2绕顶点旋转180°后经过点(-1，2)，试求常数a的值．
分析：将抛物线y=ax2绕顶点旋转180°后，所得抛物线的解析式为y=-ax2，将点（-1，2）的坐标代入这个解析式即可求出a的值．
解：将抛物线y=ax2绕顶点旋转180°后，所得抛物线的解析式为y=-ax2，将点（-1，2）的坐标代入y=-ax2，得2=-a×1．解得a=-2．
已知抛物线y=ax2经过点A(-2，-8)．
（1）求a的值；
（2）判断点B(-1，-4)是否在此抛物线上；
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标．
答案
：（1）a=-2；
（2）不在；
（3）（
，
-6），（
，
-6）．
抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．
当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
对于抛物线y=ax2，
越大，抛物线的开口越小．
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
