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第2节 法拉第电磁感应定律
一、感应电动势
1.基本内涵：
(1)内容：在_____________中产生的电动势。
(2)特点：在电磁感应现象中，感应电动势的产生与电路是否闭合、电路如
何组成_____。
(3)能量转化：电磁感应现象中也伴随着能量的转化，通常为机械能转化成
_____。
必备知识·素养奠基
电磁感应现象
无关
电能
2.电磁感应现象中的电源：
在电磁感应现象中，产生___________的那部分导体相当于电源。在电源内
部，电流总是从___极流向___极。
二、电磁感应定律
1.基本内涵：
(1)内容：电路中感应电动势的大小与穿过这一电路的_______________有关。
感应电动势
负
正
磁通量的变化率
(2)表达式：
①单匝线圈______，
②多匝线圈_______。
(3)单位：在国际单位制中，感应电动势的单位是________。
(4)标量：感应电动势是标量，但有_____。与_________电流的方向一致。判
断方法与_________的方向判断相同。
伏特(V)
方向
电源内部
感应电流
2.判断下列情境中电源的正极：
(1)条形磁铁N极靠近开口的线圈AB时，电源正极是__。
A
(2)直导线AB在匀强磁场中向左运动时，电源的正极是__。
(均选填：A.A端 B.B端)
B
3.对磁通量变化率的理解：
(1)磁通量变化率可称为_________________，而不是磁通量变化的大小。
(2)磁通量变化率又可理解为___________磁通量的变化量。
磁通量变化的快慢
单位时间内
三、导线切割磁感线时的感应电动势
1.导线垂直切割磁感线时，E=___，此式常用来计算瞬时感应电动势的大小。
2.导线不垂直切割磁感线时，即v与B有一夹角θ，如图所示。此时可将导线的
速度v向垂直于磁感线和平行于磁感线两个方向分解，则分速度v2=_______不使
导线切割磁感线，使导线切割磁感线的分速度v1=_______，从而使导线产生的
感应电动势为E=____=________。
Blv
vcosθ
vsinθ
Blv1
Blvsinθ
关键能力·素养形成
一 法拉第电磁感应定律的理解和应用
1.Φ、ΔΦ、
的比较：
物理量
单位
物理意义
计算公式
磁通量Φ
Wb
表示某时刻或某位置时穿过某一面积的磁感线条数的多少
Φ=B·S⊥
磁通量的
变化量ΔΦ
Wb
表示在某一过程中穿过某一面积的磁通量变化的多少
ΔΦ=Φ2-Φ1
磁通量的
变化率
Wb/s
表示穿过某一面积的磁通量变化的快慢
2.影响感应电动势的相关因素：
(1)感应电动势E的大小取决于穿过电路的磁通量变化率
和匝数n，而与Φ的
大小、ΔΦ的大小没有必然的关系。
(2)感应电动势E的大小与电路的电阻R无关，但感应电流的大小与E及回路总电
阻R都有关。
3.感应电动势与感应电流的比较：
比较项目
感应电动势
感应电流
定义
在电磁感应现象中产生的电动势
在电磁感应现象中产生的电流
产生条件
磁通量发生变化，与电路是否闭合无关
电路闭合，磁通量发生变化
大小决
定因素
闭合电路内磁通量变化的快慢与外电路无关
感应电动势与电路的具体组成
因果关系
感应电动势是原因和本质，感应电流是结果和现象
数学关系
遵循闭合电路欧姆定律，即I=
4.感应电动势E=n
的两种基本形式：
(1)当垂直于磁场方向的线圈面积S不变，磁感应强度B发生变化时，ΔΦ=ΔB·S，则E=n
S，其中
叫磁感应强度B的变化率。
(2)当磁感应强度B不变，垂直于磁场方向的线圈面积S发生变化时，ΔΦ=B·ΔS，则E=nB
。
5.E=n
的意义：E=n
求出的是Δt时间内的平均感应电动势。
【思考·讨论】
当磁铁穿过n匝线圈时(如图所示)，每匝线圈作为电源是如何连接的？
(物理观念)
提示：当有n匝线圈时，可将其视为n个电源串联。
【典例示范】
如图所示，两个互连的金属圆环，粗金属环的电阻为细金属环电阻的二分之一。磁场垂直穿过粗金属环所在区域，当磁场的磁感应强度随时间均匀变化时，在粗环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的电势差为
( )
【解析】选C。由题意可知电路图如图所示，内外电阻之比为1∶2，a、b两点
间的电势差相当于路端电压U=
故C正确，A、B、D错误。
【规律方法】应用法拉第电磁感应定律的基本步骤
(1)明确哪部分电路的磁通量在发生变化。
(2)找到电路当中的电源。
(3)区分好内外电阻。
【素养训练】
1.(母题追问)在【典例示范】情境中，若粗金属圆环的匝数为n，半径为r1、阻值为R，左侧细金属圆环的电阻阻值为2R，如图(a)所示。粗金属圆环内部半径为r2的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于圆环平面向里，磁感应强度B随时间t变化的关系如图(b)所示，则回路中电流大小与ab两点电势高低判断正确的是
( )
A.I=
，φb=φa
B.I=
，φb>φa
C.I=
，φb>φa
D.I=
，φb<φa
【解析】选B。由图(b)可知，在0～t0时间内，由楞次定律，磁通量减小，产生
顺时针方向的感应电流，电源内部电流从负极流向正极，因此φb>φa；由法拉
第电磁感应定律可知，感应电动势为：E=
其中S=πr22，电流大
小为：I=
，所以电流大小I=
，故B正确，A、C、D错误。
2.闭合电路的磁通量Φ随时间t变化图像分别如图甲、乙、丙、丁所示，关于回路中产生的感应电动势的论述，正确的是
( )
A.图甲中回路产生的感应电动势恒定不变
B.图乙中回路产生的感应电动势一直在变大
C.图丙中回路在0～t0时间内产生的感应电动势大于t0～2t0时间内产生的感应电动势
D.图丁中回路产生的感应电动势可能恒定不变
【解析】选C。根据法拉第电磁感应定律，图甲中回路不产生感应电动势，图乙中回路产生的感应电动势保持不变，图丁中斜率先减小后增大，回路中感应电动势先减小后增大。图丙中0～t0时间内的磁通量的变化率大于t0～2t0时间内的磁通量的变化率，即0～t0时间内产生的感应电动势大于t0～2t0时间内产生的感应电动势，故选C。
【补偿训练】
1.(多选)单匝线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量Φ随时间t的关系图像如图所示，则
( )
A.在t=0时刻，线圈中磁通量最大，感应电动势也最大
B.在t=1×10-2
s时刻，感应电动势最大
C.在t=2×10-2
s时刻，感应电动势为零
D.在0～2×10-2
s时间内，线圈中感应电动势的平均值为零
【解析】选B、C。由法拉第电磁感应定律知E∝
，故t=0及t=2×10-2
s时
刻，E=0，A错误，C正确；t=1×10-2
s时，E最大，B正确；0～2×10-2
s，
ΔΦ≠0，E≠0，D错误。
2.如图所示，空间存在垂直于纸面的均匀磁场，在半径为a的圆形区域内、外磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B。一半径为b、电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合。在内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线截面的电荷量是多少？
【解析】设圆形导线内部初、末状态的磁通量分别为Φ1、Φ2，
则Φ1=B|π(b2-2a2)|，Φ2=0
磁通量的变化量为ΔΦ=|Φ2-Φ1|=πB|b2-2a2|
由q=
，得q=
答案：
二 导体棒切割磁感线时的电动势
1.对E=Blv的理解：
(1)当B、l、v三个量的方向相互垂直时，E=Blv该式适用于导体平动时，即导体上各点的速度相等时；当有任意两个量的方向平行时，E=0。
(2)式中的l应理解为导体切割磁感线时的有效长度
如图所示，导体切割磁感线的情况应取与B和v垂直的等效直线长度，即ab两点的距离。
(3)当导体绕一端转动时如图所示，由于导体上各点的速度
不同，是线性增加的，所以导体运动的平均速度为
由公式E=Blv得，E=Bl
=
Bl2ω。
(4)公式中的v应理解为导体和磁场的相对速度，当导体不动而磁场运动时，也有电磁感应现象产生。
(5)切割磁感线的导体中产生感应电动势，该部分导体等效为电源，电路中的其余部分等效为外电路。
2.公式E=n
与E=Blvsin
θ的区别与联系：
E=n
E=Blvsinθ
区别
研究
对象
某个回路
回路中做切割磁感线运动的那部分导体
研究
内容
(1)求的是Δt时间内的平均感应电动势，E与某段时间或某个过程对应
(2)当Δt→0时，E为瞬时感应电动势
(1)若v为瞬时速度，公式求的是瞬时感应电动势
(2)若v为平均速度，公式求的是平均感应电动势
(3)当B、l、v三者均不变时，平均感应电动势与瞬时感应电动势相等
适用
范围
对任何电路普遍适用
只适用于导体切割磁感线运动的情况
E=n
E=Blvsinθ
联系
(1)E=Blvsinθ可由E=n
在一定条件下推导出来
(2)整个回路的感应电动势为零时，回路中某段导体的感应电动势不一定为零
【思考·讨论】
半径为R的半圆弧导线，在垂直磁场的平面内以v运动，如图所示。
(1)图甲中半圆弧导线的有效长度为多少？
(物理观念)
提示：有效长度为零。
(2)若将图甲旋转至图乙，θ为直径ab与竖直方向的夹角。半圆弧导线的有效长度又为多少？
(物理观念)
提示：有效长度为2Rsinθ。
【典例示范】
如图所示，相距为d的两平行直金属导轨PQ、MN水平放置①，电阻R接在导轨的P端和M端之间，长为2d的导体棒ab放在导轨PQ、MN上，整个装置处于垂直于导轨平面、磁感应强度为B的匀强磁场中②。使导体棒ab以水平速度v向右匀速运动时，回路中产生的感应电流为I。回路中产生的感应电动势E③和导体棒ab受到的安培力F分别为(
)
A.E=Bdv，F=BId
B.E=Bdv，F=2BId
C.E=2Bdv，F=BId
D.E=2Bdv，F=2BId
【审题关键】
序号
信息提取
①
导体棒的有效长度为d
②
B与导体棒和速度垂直
③
导体棒切割磁感线产生
【解析】选B。磁感线与导体棒垂直，那么导体切割磁感线的有效长度与速度垂直，所以回路中产生的感应电动势E=Bdv，磁感线与导体棒垂直，导体棒受到安培力的有效长度为电流流过的长度，有：F=2BId。故B正确，A、C、D错误。
【规律方法】导体棒切割磁感线产生的电动势的基本步骤
(1)导体棒切割磁感线，导体棒充当电路中的电源。
(2)B、v、L两两垂直。
(3)不垂直时要找有效部分。
【素养训练】
1.如图所示，竖直向下的匀强磁场中，将一水平放置的金属棒ab以水平初速度v0抛出，设在整个过程中，棒始终平动且空气阻力不计，则在金属棒运动过程中产生的感应电动势大小变化情况是
( )
A.越来越大
B.越来越小
C.保持不变
D.无法判断
【解析】选C。金属棒ab做平抛运动，其水平方向的分运动是匀速直线运动，水平分速度保持不变，等于v0。由感应电动势公式E=Blvsinα，vsinα是垂直于磁感线方向的分速度，即是平抛运动的水平分速度，等于v0，则感应电动势E=Blv0，B、l、v0均不变，则感应电动势大小保持不变。故C正确，A、B、D错误。
2.(2020·浙江7月选考)如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，随轴以角速度ω匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是
( )
A.棒产生的电动势为
Bl2ω
B.微粒的电荷量与质量之比为
C.电阻消耗的电功率为
D.电容器所带的电荷量为CBr2ω
【解析】选B。由题图可知，金属棒绕OO′轴切割磁感线转动，棒产生的电动
势E=Br·
=
Br2ω，A错误；电容器两极板间电压等于电源电动势E，带电微
粒在两极板间处于静止状态，则q
=mg，即
B正确；
电阻消耗的功率P=
C错误；电容器所带的电荷量Q=CE=
，
D错误。
【补偿训练】
1.一根弯成直角的导线放在B=0.4
T的匀强磁场中，如图所示，ab=30
cm，bc=40
cm，当导线以5
m/s的速度做切割磁感线运动时，可能产生的最大感应电动势的值为
( )
A.1.4
V
B.1.0
V
C.0.8
V
D.0.6
V
【解析】选B。由题可得ac=50
cm，当切割磁感线的有效长度L=ac=50
cm时，产生的感应电动势最大，最大值Em=BLv=0.4×0.5×5
V=1
V。选项B正确。
2.下列各种情况中的导体切割磁感线产生的感应电动势最大的是
( )
【解析】选C。公式E=Blv中，l是有效的切割长度，即是跟速度方向垂直的导
体的长度或长度在这个方向的投影，所以A项中产生的感应电动势E=BLv；B项
中产生的感应电动势E=BLv；设C项中导体与磁场下边界的夹角为θ，C项中产
生的感应电动势E=B
v；D项中产生的感应电动势E=BLv。故选C。
三 电磁感应中的电路问题
电磁感应现象中的力学问题分析思路
【思考·讨论】
用同种均匀电阻线折成正四边形，边长为L，构成闭合回路，电阻线总电阻为R。四边形以速度v匀速通过磁感应强度为B、宽度为d(d>L)的匀强磁场，如图所示。
(1)bc边已进入、ad未进入磁场的过程中，bc边两端的电压是多少？
(科学思维)
提示：bc边两端的电压为路端电压，大小为
E
。
(2)bc边已出、ad未出磁场的过程中，bc边两端的电压是多少？(科学思维)
提示：bc边两端的电压大小为
E
。
【典例示范】
匀强磁场磁感应强度为B，垂直水平金属导轨平面向上。直导体棒电阻为0.5R，与导轨良好接触，回路中电阻的阻值为R，不计导轨电阻。两导轨间距为L，现用外力拉动导体棒做速度为v0的匀速切割磁感线的运动。求：
(1)电路中总电功率、电阻R的电功率各为多少？
(2)保证导体棒匀速运动的拉力多大？
(3)拉力的功率多大？
【解析】(1)由题干可画出等效电路图(如图所示)，
产生的感应电动势的大小：E=BLv0
回路中的电流：I=
电路中的总电功率：P总=EI=
R上消耗的电功率为P=I2R=
(2)cd匀速运动：F=BIL=
(3)拉力的功率：PF=Fv0=
答案：(1)
(2)
(3)
【误区警示】电磁感应中的电路问题的三个误区
(1)施加的一般外力恒定，物体也可能做加速度逐渐减小的加速运动，最后匀速。
(2)安培力所做的功完全转化为电能，但是否完全转化为焦耳热，要看电路是否是纯电阻电路。
(3)电能转化成的内能要和摩擦生热区分开。
【素养训练】
1.如图所示，用一阻值为2R的均匀细导线围成的金属环直径为a，匀强磁场的磁感应强度为B，垂直穿过金属环所在平面。电阻为R的导体杆AB，沿环表面以速度v向右滑至环中央时，杆的两端电压为
( )
【解析】选C。杆切割磁感线产生的感应电动势为：
E=Bav，外电阻为：R外=
导体棒的电阻为：r=R，则杆两端的电压为电源的路端电压，
根据闭合电路欧姆定律有：U=
故C正确，A、B、D错误。
2.如图甲所示，一个圆形线圈的匝数n=1
000，线圈面积S=300
cm2，线圈的电阻r=1
Ω，线圈外接一个阻值R=4
Ω的电阻，线圈处在有一方向垂直线圈平面向里的圆形磁场中，圆形磁场的面积S0=200
cm2，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。求：
(1)前4
s内的感应电动势和前4
s内通过R的电荷量。
(2)线圈电阻r消耗的功率。
【解析】(1)由图像可知前4
s内磁感应强度B的变化率为
=0.05
T/s
根据法拉第电磁感应定律得4
s内的平均感应电动势为
E=n
S0=1
000×0.05×200×10-4
V=1
V。
由欧姆定律得：电路中平均电流为I=
前4
s内通过R的电荷量为q=It，联立解得q=0.8
C。
(2)由于电流是恒定的，线圈电阻r消耗的功率为
P=I2r=0.04
W
答案：(1)1
V 0.8
C (2)0.04
W
【补偿训练】
1.如图所示，C是一只电容器，先用外力使金属杆ab贴着水平平行金属导轨在匀强磁场中沿垂直磁场方向运动，到有一定速度时突然撤去外力。不计摩擦，则ab以后的运动情况可能是
( )
A.减速运动到停止
B.来回往复运动
C.匀速运动
D.加速运动
【解析】选C。当ab达到速度v时，ab中感应电动势E=BLv，此时，电容器已被充电的两板间电势差U=E=BLv，外力撤销瞬间，ab速度仍为v，则棒中感应电动势仍为E=BLv，电容器带电荷量未变时，两极板间电势差为U=BLv，则a端与电容器上板间、b端与电容器下板间电势差均为零，回路中没有充、放电电流，所以ab将以速度v做匀速运动，不发生任何能量的转化。
2.(多选)如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下。经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则
( )
A.如果B增大，vm将变大 B.如果α变大，vm将变大
C.如果R变大，vm将变大 D.如果m变小，vm将变大
【解析】选B、C。当金属杆由静止开始滑下的过程中，金属杆就是一个电源，
与电阻R构成一个回路；其受力情况如图所示，根据牛顿第二定律得：
mgsinα-
=ma，所以金属杆由静止开始做加速度减小的加速运动，
当a=0时，即mgsinα=
，此时达到最大速度vm，可得：vm=
，
故由此式知选项B、C正确。
【拓展例题】考查内容：电磁感应定律的图像问题
【典例】如图所示，一个边长为2L的等腰直角三角形ABC区域内，有垂直纸面向里的匀强磁场，其左侧有一个用金属丝制成的边长为L的正方形线框abcd，线框以水平速度v匀速通过整个匀强磁场区域，设电流逆时针方向为正。则在线框通过磁场的过程中，线框中感应电流i随时间t变化的规律正确的是( )
【解析】选B。线框开始进入磁场运动L的过程中，只有边bc切割磁感线，感应电流不变，方向逆时针，为正方向。前进L后，边bc开始出磁场，边ad开始进入磁场，回路中的感应电动势为边ad产生的电动势减去bc边在磁场中产生的电动势，随着线框的运动回路中电动势逐渐增大，电流逐渐增大，方向为负方向；当再前进L时，边bc完全出磁场，ad边也开始出磁场，有效切割长度逐渐减小，电流方向不变，故B正确，A、C、D错误。
【课堂回眸】
课堂检测·素养达标
1.(2020·全国Ⅱ卷)管道高频焊机可以对由钢板卷成的圆管的接缝实施焊接。焊机的原理如图所示，圆管通过一个接有高频交流电源的线圈，线圈所产生的交变磁场使圆管中产生交变电流，电流产生的热量使接缝处的材料熔化将其焊接。焊接过程中所利用的电磁学规律的发现者为
( )
A.库仑 B.霍尔 C.洛伦兹 D.法拉第
【解析】选D。线圈中接高频交流电源，交变电流产生的交变磁场通过圆管，在圆管中产生交变电流，这是电磁感应现象，是法拉第发现的，D正确，A、B、C错误。
2.如图所示，几位同学在做“摇绳发电”实验：把一条长导线的两端连在一个灵敏电流计的两个接线柱上，形成闭合回路。两个同学迅速摇动AB这段“绳”。假设图中情景发生在赤道，地磁场方向与地面平行。图中摇“绳”的同学是沿东西站立的，甲同学站在西边，手握导线上的A点，乙同学站在东边，手握导线上的B点。下列说法正确的是
( )
A.此位置的地磁场方向由北指向南
B.当“绳”向下运动时，“绳”中电流从A流向B
C.当“绳”摇到最高点时，“绳”中电流最大
D.当“绳”摇到最低点时，“绳”受到的安培力最大
【解题指南】解答本题可从以下两个方面考虑：
(1)赤道上的地磁场方向与地面平行，由南指向北。
(2)根据绳子转动方向与地磁场方向的关系，判断感应电动势和感应电流的大小，从而判断安培力的大小。
【解析】选B。根据地磁场的分布规律可知，在赤道上，地磁场方向由南指向北，故A错误；当“绳”向下运动时，地磁场向北，根据右手定则判断可知，“绳”中电流从A流向B，故B正确；当“绳”摇到最高点时，绳转动的速度与地磁场方向平行，不切割磁感线，产生的感应电动势最小，“绳”中感应电流最小，故C错误；当“绳”摇到最低点时，绳转动的速度与地磁场方向平行，不切割磁感线，感应电流最小，绳受到的安培力也最小，故D错误。
3.如图甲所示，一线圈匝数为100匝，横截面积为0.01
m2，磁场与线圈轴线成30°角向右穿过线圈。若在2
s时间内磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，则该段时间内线圈两端a和b之间的电势差Uab为( )
A.-
V
B.2
V
C.
V
D.从0均匀变化到2
V
【解析】选A。与线圈轴线成30°角向右穿过线圈的磁场的磁感应强度均匀增
加，故产生恒定的感应电动势，根据法拉第电磁感应定律有E=n
，
其中
=
S·cos30°
由图可知：
代入数据解得：E=100×2×0.01×
a、b两端的电势差即为线圈产生的感应电动势，即|Uab|=E=
V，
由于φa<φb，故Uab=φa-φb=-
V，故A正确，B、C、D错误。
【补偿训练】
如图所示，导体棒AB的长为2R，绕O点以角速率ω匀速转动，OB为R，且O、B、A三点在一条直线上，有一磁感应强度为B的匀强磁场充满转动平面且与转动平面垂直，那么AB两端的电势差为
( )
A.
BωR2 B.2BωR2 C.4BωR2 D.6BωR2
【解析】选C。A点线速度vA=ω·3R，B点线速度vB=ωR，AB棒切割磁感线的平
均速度
=2ωR，由E=Blv得，AB两端的电势差为E=B·2R·
=4BωR2，C正确。
【新思维·新考向】
情境：随着电磁技术的发展，新一代航母已准备采用电磁阻拦技术，其模型如图所示。平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计，磁感应强度为B。端点MP间接有阻值为R的电阻。一个长为L、质量为m、阻值为r的金属导体棒ab垂直放在轨道上。飞机着舰时质量为M的飞机迅速钩住导体棒ab，之后关闭动力系统并立即获得共同的速度v，忽略摩擦等因素，飞机和金属棒系统仅在安培力作用下很快停下来。
问题：(1)飞机在阻拦减速过程中获得的加速度a的最大值是多少？
(2)从飞机与金属棒共速到它们停下来的整个过程中R上产生的焦耳热QR是多大？
【解析】(1)飞机钩住金属棒后它们以速度v开始在安培力的作用下做减速运
动，所以当它们速度为v时安培力最大，此时由安培力产生的加速度也最大，
根据牛顿第二定律有：
F安=BIL=
=(M+m)a
则最大加速度为a=
(2)根据能量守恒可知，电路的总焦耳热为：Q=
(M+m)v2
所以整个过程中R上产生的焦耳热QR=
答案：(1)
(2)温馨提示：
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课时素养评价
五 法拉第电磁感应定律
(25分钟·60分)
一、选择题(本题共5小题，每题7分，共35分)
1.如图所示，匝数为100匝的线圈与电流表串联，在0.3
s内把磁铁插入线圈，这段时间穿过线圈的磁通量由0增至1.2×10-3
Wb。这个过程中线圈中的感应电动势为
( )
A.0.4
V B.4
V C.0.004
V D.40
V
【解析】选A。磁铁插入线圈，闭合线圈的磁通量发生变化，从而产生感应电动势，根据法拉第电磁感应定律得：
E=N=100×
V=0.4
V，故A正确，B、C、D错误。
2.如图，直角三角形金属框abc放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于ab边向上。ac、bc两金属棒分别串有电压表、电流表，当金属框绕ab边逆时针(俯视)转动时，下列判断正确的是
( )
A.电压表有读数，电流表没有读数
B.电压表有读数，电流表也有读数
C.电压表无读数，电流表有读数
D.电压表无读数，电流表也无读数
【解析】选D。导体棒bc、ac做切割磁感线运动，产生感应电动势，但穿过直角三角形金属框abc回路的磁通量没有发生变化，恒为0，所以金属框中无电流，电压表和电流表都无读数。故D正确，A、B、C错误。
【补偿训练】
如图所示，矩形线框abcd的ad和bc的中点M、N之间连接一电压表，整个装置处于匀强磁场中，磁场的方向与线框平面垂直，当线框向右匀速平动时，以下说法正确的是
( )
A.穿过线框的磁通量不变化，MN间无感应电动势
B.MN不产生电动势，所以MN间无电势差
C.MN间有电势差，所以电压表有读数
D.因为无电流通过电压表，所以电压表无读数
【解析】选D。穿过线框的磁通量不变化，所以无感应电流，因此电压表无读数，C错误，D正确。MN切割磁感线，所以MN产生感应电动势，MN间有电势差，A、B错误。
3.如图所示，一面积为S的正三角形金属框abc固定，M、N分别为ab和ac边的中点，直线MN上方有垂直于线框的匀强磁场。在时间t内，磁感应强度的大小由B均匀增加到3B，方向不变，在此过程中
( )
A.穿过金属框的磁通量变化量为BS
B.N点电势比M点的高
C.金属框中的感应电动势为
D.金属框中的感应电动势为
【解析】选C。由几何关系知三角形aMN的面积为S′=S，开始时穿过金属框的磁通量为Φ1=BS′，末磁通量为Φ2=3BS′，所以此过程中磁通量的变化量为ΔΦ=Φ2-Φ1=BS，故A错误；根据楞次定律可以判断三角形线框中的感应电流方向为逆时针方向，其中aMN部分为电源部分，在电源内部电流从低电势流向高电势，故M点的电势高于N点的电势，故B错误；根据法拉第电磁感应定律得线框中的感应电动势大小为E==，故C正确，D错误。
4.如图所示，a、b、c三个金属线圈放置在绝缘水平面上，b、c两线圈用金属导线相连，给c线圈中加垂直于线圈平面向里的变化磁场，能使a线圈中产生感应电流的是
( )
【解析】选D。要使a线圈中产生电流，则a线圈中的磁通量发生变化，只有b、c线圈中产生变化的电流，才能在a线圈中产生变化的磁场进而让a线圈中的磁通量变化产生感应电流。若c线圈中的磁场恒定，不会产生感应电流，故A错误；c线圈中的磁场均匀变化，产生恒定电流，不会在a线圈中产生变化的磁场，就不会有磁通量变化产生感应电流，故B、C错误；c线圈中的磁场非均匀变化，产生变化的电流，在a线圈中产生变化的磁场，就有磁通量变化产生感应电流，故D正确。
5.如图所示，导体杆OP在作用于OP中点且垂直于OP的力作用下，绕O轴沿半径为r的光滑半圆形框架在匀强磁场中以一定的角速度ω转动，磁场的磁感应强度为B，AO间接有电阻R，杆和框架电阻不计，则
( )
A.OP中的电流方向为O到P，OP
两端电压为
B.OP中的电流方向为O到P，OP
两端电压为
C.OP中的电流方向为P到O，OP
两端电压为Bωr2
D.OP中的电流方向为P到O，OP
两端电压为
【解析】选A。由题图知，杆OP切割磁感线，根据右手定则，OP中电流方向为O到P，故C、D错误；杆OP切割磁感线，故OP相当于电源，OP两端电压为路端电压，设电动势为E，路端电压为U，则根据法拉第电磁感应定律，有：E=，由于杆和框架电阻不计，故路端电压等于电源电动势，即为：U=E=，故A正确，B错误。
二、计算题(本题共2小题，共25分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位)
6.(10分)(2020·天津等级考)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t均匀变化。正方形硬质金属框abcd放置在磁场中，金属框平面与磁场方向垂直，电阻R=0.1
Ω，边长l=0.2
m。求：
(1)在t=0到t=0.1
s时间内，金属框中感应电动势E；
(2)t=0.05
s时，金属框ab边受到的安培力F的大小和方向；
(3)在t=0到t=0.1
s时间内，金属框中电流的电功率P。
【解析】(1)在t=0到t=0.1
s的时间Δt内，磁感应强度的变化量ΔB=0.2
T，设穿过金属框的磁通量变化量为ΔΦ，有
ΔΦ=ΔBl2
①
由于磁场均匀变化，所以金属框中产生的电动势是恒定的，有
E=
②
联立①②式，代入数据，解得
E=0.08
V
③
(2)设金属框中的电流为I，由闭合电路欧姆定律，有
I=
④
由图可知，t=0.05
s时，磁感应强度为B1=0.1
T，金属框ab边受到的安培力
F=IB1l
⑤
联立①②④⑤式，代入数据，解得
F=0.016
N
⑥
方向垂直于ab向左。
⑦
(3)在t=0到t=0.1
s时间内，金属框中电流的电功率
P=I2R
⑧
联立①②④⑧式，代入数据，解得
P=0.064
W
⑨
答案：(1)0.08
V (2)0.016
N 方向垂直于ab向左
(3)0.064
W
7.(15分)如图甲所示，不计电阻的平行金属导轨竖直放置，导轨间距为L=0.4
m，上端接有电阻R=0.3
Ω，虚线OO′下方是垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感强度B=0.5
T，现将质量m=0.05
kg、电阻r=0.1
Ω的金属杆ab，从OO′上方某处垂直导轨由静止释放，杆下落过程中始终与导轨保持良好接触，杆下落过程中的v-t图像如图乙所示，0～1
s内的v-t图像为过原点的直线，2
s后的v-t图像为平行于t轴的横线，不计空气阻力，g取10
m/s2，求：
(1)金属杆ab刚进入磁场时感应电流的大小；
(2)已知金属杆ab在t=2
s时在磁场中下落了h=6.65
m，则杆从静止下落2
s的过程中电阻R产生的热量是多少？
【解析】(1)杆在进磁场前做自由落体运动，t=1
s时刚进入磁场，速度：
v1=gt1=10×1
m/s=10
m/s
刚进入磁场时，感应电动势：
E=BLv1=0.5×0.4×10
V=2
V
感应电流I==
A=5
A
(2)由v-t图像知2
s后杆做匀速直线运动，设匀速直线运动的速度为v
电动势E=BLv
感应电流I=
安培力F=BIL=
匀速时mg=
代入数据解得v=5
m/s
根据能量守恒mgh+m-mv2=Q总
解得Q总=5.2
J
电阻R上产生的热量QR=Q总=3.9
J
答案：(1)5
A
(2)3.9
J
(15分钟·40分)
8.(8分)将一段导线绕成图甲所示的闭合回路，并固定在水平面(纸面)内。回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场B1中。回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场B2。以向里为磁场B2的正方向，其磁感应强度B2随时间变化的图像如图乙所示。用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F正方向，能正确反映F随时间变化的图像是
( )
【解题指南】解答本题可从以下两个方面考虑：
(1)先根据楞次定律判断出圆环区域内的感应电流方向。
(2)然后用左手定则判断出ab边所受安培力的方向。
【解析】选A。在0～时间内可以判断出圆环区域内的感应电流方向为逆时针方向，且大小不变，所以通过ab导线的电流方向为从a到b，根据左手定则判断受到的安培力方向为水平向右，大小恒定；同理可以判断出在～T的时间内，在圆环区域内产生的感应电流方向为顺时针方向，通过导线的电流方向为b到a，所以ab边受到的安培力方向为水平向左，故A正确，B、C、D错误。
【补偿训练】
如图所示，在光滑水平面上，有一个粗细均匀的单匝正方形闭合线框abcd，
电阻为R，边长是L。t=0时刻，线框的bc边刚好与磁场边界重合，且在水平外
力的作用下，以速度v向右做匀速直线运动，t1时刻线框全部进入磁场。设线框
中产生的感应电流的大小为i，ad边两端电压大小为U，水平拉力大小为F，
通过线框的电量q，则下列i、U、F、q随运动时间t变化的关系图像正确的
是
( )
【解析】选D。根据法拉第电磁感应定律，电路中的感应电动势为E=BLv
①
根据闭合电路欧姆定律，电路中的电流为i=
②
由①②，知电流大小不变，故A错误；ad边两端电压大小U，根据闭合电路欧姆定律和电路特点，知U=E，所以ad边两端电压大小U为定值，故B错误；根据线框匀速运动，此时水平拉力等于安培力，有F=BIL，所以拉力不随时间变化，故C错误；在线框全部进入磁场过程中电流大小不变，根据q=It可知D正确。
9.(8分)(多选)在如图甲所示的电路中，螺线管匝数n=1000匝，横截面积S=
20
cm2。螺线管导线电阻r=1.0
Ω，R1=4.0
Ω，R2=5.0
Ω，C=30
μF。在一段时间内，垂直穿过螺线管的磁场的磁感应强度B的方向如图甲所示，大小按如图乙所示的规律变化，则下列说法中正确的是
( )
A.螺线管中产生的感应电动势为0.8
V
B.闭合K，电路中的电流稳定后电容器下极板带负电
C.闭合K，电路中的电流稳定后，电阻R1的电功率为2.56×10-2
W
D.K断开后，流经R2的电量为1.8×10-2
C
【解析】选A、C。根据法拉第电磁感应定律：
E=n=nS，解得：E=0.8
V，故A正确；根据楞次定律可知，螺线管的感应电流盘旋而下，则螺线管下端是电源的正极，那么电容器下极板带正电，故B错误；根据全电路欧姆定律，有：I=，所以I=0.08
A，根据
P=I2R1解得：P=2.56×10-2
W，故C正确；K断开后，流经R2的电量即为K闭合时C板上所带的电量Q，电容器两端的电压为：U=IR2=0.4
V，流经R2的电量为：Q=CU=1.2×10-5
C，故D错误。
【补偿训练】
如图所示，用同样的导线制成的两闭合线圈A、B，匝数均为20匝，半径rA=2rB，在线圈B所围区域内有磁感应强度均匀减小的匀强磁场，则线圈A、B中产生感应电动势之比EA∶EB和两线圈中感应电流之比IA∶IB分别为
( )
A.1∶1，1∶2
B.1∶1，1∶1
C.1∶2，1∶2
D.1∶2，1∶1
【解析】选A。由E=n知，EA=EB，即EA∶EB=1∶1。又rA=2rB，所以电阻RA=2RB，由I=知IA=IB，即IA∶IB=1∶2，A正确。
10.(24分)如图所示，平行金属导轨O′N与OM所形成的斜面的倾角θ=37°，处于垂直于斜面向下的匀强磁场中。磁感应强度大小B2=2
T，质量m2=0.1
kg的金属棒cd置于导轨上，两者接触良好。平行金属导轨O′P与OQ竖直放置，与倾斜导轨分别在O′点和O点连接，竖直导轨处于水平向左的匀强磁场中，磁感应强度大小B1=1
T，质量m1=0.2
kg的金属棒ab置于导轨上，并与导轨接触良好，两导轨皆足够长，导轨间距L=0.5
m，竖直导轨光滑，倾斜导轨与金属棒cd间的动摩擦因数μ=0.2。两金属棒在两导轨间的电阻均为R=0.5
Ω，固定住金属棒cd，将金属棒ab从一定高度由静止释放，取g=10
m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。(导轨电阻忽略不计)
(1)求金属棒沿轨道下滑的最大速度的大小；
(2)如果某时刻释放金属棒cd，它能在倾斜导轨上保持静止，求金属棒ab的最小速度.
【解题指南】解答本题可从以下两个方面考虑：
(1)导体棒沿轨道下滑的过程中，先做加速运动，受到的安培力增大，加速度减小，当加速度减至零时做匀速直线运动，速度达到最大。根据平衡条件和安培力与速度的关系式求解。
(2)当cd棒刚好不下滑时，棒ab的速度最小，根据平衡条件求出回路中最小电流，再求解金属棒ab的最小速度。
【解析】(1)设金属棒ab沿轨道下滑的最大速度为vm，当金属棒ab做匀速直线运动时速度最大，则有：
m1g=F安。
又
F安=B1IL，I=，E=B1Lvm，
联立得：m1g=
代入数据解得：vm=8
m/s
(2)ab棒下滑时产生的感应电流由b到a，cd棒中感应电流方向由d到c，受到的安培力沿倾斜导轨向上，当cd棒刚好不下滑时，棒ab的速度最小，此时cd受到的静摩擦力达到最大。
对于cd棒，由平衡条件有：
m2gsin37°=B2IL+μm2gcos37°
代入数据解得：I=0.44
A
设金属棒ab的最小速度为v，则有：I=
代入数据解得：v=0.88
m/s
答案：(1)8
m/s (2)0.88
m/s
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