苏科版九年级上册数学2.5直线与圆的位置关系学案

初三数学什么值得做—直线与圆的位置关系
【考点分析】
【考察内容】直线与圆的位置关系、切线的判定、切线的性质运用
【考察题型】选择题 3-6 分和非选择题 6-9 分
知识点一：直线与圆的位置关系
1298575112395593153596583559607451842135设 O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系
图形
定义
性质及判定
相离
r O
d l
直线与圆没有公共点．
d ? r ? 直线l 与 O 相离
相切
r
O
d l
直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．
d ? r ? 直线 l 与 O 相切
相交
r
d O
l
直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．
d ? r ? 直线 l 与 O 相交
5960745-1153795知识点二：切线
切线的性质
定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆
心
①过圆心，过切点? 垂直于切线． AB 过圆心， AB 过切点 M ，则 AB ? l ．
②过圆心，垂直于切线? 过切点． AB 过圆心， AB ? l ，则 AB 过切点 M ．
③过切点，垂直于切线? 过圆心． AB ? l ， AB 过切点 M ，则 AB 过圆心．
A
O
M
B
l
切线的判定
定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可； 定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：
①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．
O
O
l
O
l
A l A A
【典型例题】
5960745108585例 1 如图， ?ABC ? 80? ， O 为射线 BC 上一点，以点O 为圆心， 1 OB 长为半径作 O ，
2
203454099695要使射线 BA 与 O 相切，应将射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转（ ）
A． 40?或80? B． 50? 或100? C． 50? 或110? D． 60? 或120?
1271905141605
【解析】设旋转后与 O 相切与点 D，连接 OD，则可求得?DBO ? 30 ，再利用角的和差可求得?ABD
1143000172085
5647055115570如图，设旋转后与 O 相切于点 D，连接 OD，∵OD= 1 OB，所以?OBD ? 30 ；
2
438785048260当点 D 在射线 BC 上方时， ?ABD ? ?ABC ? ?OBD ? 80
? 30
? 50 ；
434213048260当点 D 在射线 BC 下方时， ?ABD ? ?ABC+?OBD ? 80 +30 ? 110 .
答案：C
例 2. 如图，在△ABC 中， AB ? 10 ， AC ? 8 ， BC ? 6 ，以边 AB 的中点O 为圆心，作
半圆与相切 AC ，点 P ， Q 分别是边 BC 和半圆上的动点，连接 PQ ，则 PQ 长的最大值与最小值的和是( )
13
A． 6 B． 2 ? 1 C． 9 D．16
1143000127635
【解析】
如图，设 O 与 AC 相切于点 E，连接 OE，作OP1 ? BC 垂足为 P1 交 O 于Q1 ，此时垂线段OP1
最短， PQ 最小值为OP ? OQ ，∵AB=10，AC=8，BC=6，∴ AB2 ? AC2 ? BC2 ，∴
1 1 1 1
16262351149352609850118110?C ? 90 ，∵ ?OPB ? 90 ，∴ OP∥AC ，∵AO=OB，∴ PC=PB ，∴ OP ? 1 AC ? 4 ，
1 1 1 1 1 2
∴ P1Q1 的最小值为OP1 ? OQ1 =1
如图，当Q2 在 AB 边上时， P2 与 B 重合时， P2Q2 经过圆心，经过圆心的弦最长， P2Q2 最大值
=5+3=8；
∴PQ 长的最大值与最小值的和是 9.
【练习巩固】
132588031752510155317535496503175511048031752
1、 O 的半径是 1，P 为 O 外一点，PA 切 O 于点 A，PA=1，若 AB 是 O 的弦，且 AB= ，
则 PB 的长为（ ）
3
5
A．1 B． C．5 D．1 或
2395855698503828415698502、如图，已知 AB 是 O 的直径，线段 AF 与 O 相切于点 A ， D 是 AF 的中点， BF 交
114300037846011645901485905111750148590O 于 E 点，过 B 点的切线与 DE 的延长线交于C 点，求证： CD 与 O 相切.
【练习巩固参考答案】
1、【解析】
1143000200025
错解：只考虑到一种情况；
正解：点 B 可以分别在 OA 的两侧，如图所示，连接 OA、OB、OB' ，则OA ? AP
2308860163830∵OA=OB=1， AB ? 2 ，∴ OA2 ? OB2 ? AB2 ，∴ ?AOB ? 90；同理可得?AOB' ? 90，
∴B，O， B' 三点共线，∴AP∥OB.
5
又∵AP=1，∴四边形 OAPB 为正方形，∴PB=1， PB' = .
【答案】D
2、【答案】
1143000244475
272796067310连接 AE、OE、OD，AB 是 O 的直径；所以?AEB ? 90，则?AEF ? 90；
?
?DE ? AD
在 Rt△AEF 中，D 是 AF 的中点，DE=FD=AD，在△ADO 与△EDO 中， ?OE ? OA
?
?DO ? DO
316103069215所以△ADO ? △EDO ，线段 AF 和 O 相切于点 A，所以?DAO ? ?DEO ? 90，所以 CD 与
1164590118745O 相切.