(共69张PPT)
第一章 三
角
函
数
§1 周
期
变
化
必备知识·自主学习
1.周期现象
(1)以相同_____重复出现的变化叫作周期现象.
(2)要判断一种现象是否为周期现象,关键是看每隔相同间隔,这种变化是否会
_________,若重复出现,则为周期现象;否则不是周期现象.
导思
1.所有的函数都是周期函数吗?
2.周期函数都有最小正周期吗?
间隔
重复出现
【思考】
2020年7月6日再过200天是星期几?
提示:2020年7月6日是星期一,由200=28×7+4知自2020年7月6日再过200天是星期五.
2.周期函数
(1)一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对于任意的
x∈D,都有_______且满足f(x+T)=_____,那么函数y=f(x),x∈D称作周期函数,
非零常数T称作这个函数的周期.
(2)如果在周期函数y=f(x),x∈D的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个
最小正数就称作函数y=f(x),x∈D的最小正周期.如果不加特别说明,本书所指
周期均为函数的最小正周期.
x+T∈D
f(x)
【思考】
周期函数的周期是否只有一个?
提示:不是,例如函数f(x)=x-[x]的周期就不止一个.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)钟表的秒针的运动是周期现象.
( )
(2)某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象.
( )
(3)函数f(x)=x,x∈N是周期函数.
( )
提示:(1)√.秒针每分钟转一圈,它的运动是周期现象.
(2)×.虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化,但每次绿灯经过的车辆数不一定相同,故不是周期现象.
(3)×.因为f(x+T)≠f(x),所以不是周期函数.
2.观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7,…”寻找规律,则第25个数字是______.?
【解析】观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次,具有周期性,故第25个数字为2.
答案:2
3.(教材二次开发:例题改编)讨论函数f(x)=8·(-1)n+1,n∈N
是否为周期函数,如果是,请指出它的周期.
【解析】当n∈N
时,该函数的取值为8,-8,8,-8,…可见它是周期函数,且周期T=2.
关键能力·合作学习
类型一 生活中的周期现象(直观想象)
【题组训练】
1.我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号,2016年是猴年,那么1949年是
( )
A.牛年
B.虎年
C.兔年
D.龙年
【解析】选A.2016-1949=67,67÷12=5……7,从猴年往前数第7个即可,也就是牛年.
2.如果今天是星期五,则58天后的那一天是星期
( )
A.五
B.六
C.日
D.一
【解析】选C.因为每星期含有7天,而58=7×8+2,即58天后是过去8个星期后第2天,即星期日.
3.受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
根据规定,当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放,判断一天内对冲浪爱好者能开放几次?时间最长的一次是什么时候?有多长时间?
【解析】由题中表可知,潮汐呈周期性变化,所以一天内能开放三次,时间最长的一次是上午9时至下午3时,共6个小时.
【解题策略】
判断生活问题的周期现象的依据是周期变化的特征,即每次都以相同的间隔(比如时间间隔或长度间隔)出现,且现象是无差别的重复出现.
类型二 周期函数(数学抽象)
角度1
利用函数图象判断?
【典例】下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是
( )
【思路导引】观察对任意一个实数x,每变化多少,函数值保持不变,观察这种变化是否是重复进行的.
【解析】选D.结合周期函数的定义可知,A,B,C均为周期函数,D不是周期函数.
【变式探究】
在如图所示的y=f(x)的图象中,若f(0.005)=3,则f(0.025)=______.?
【解析】由图象知周期为0.02,
所以f(0.025)=f(0.005+0.02)=f(0.005)=3.
答案:3
角度2 利用周期定义判断?
【典例】已知定义在N上的函数f(n)满足:f(n+2)=f(n+1)-f(n).
(1)求证:f(n)是周期函数,并求出其周期;
(2)若f(1)=1,f(2)=3,求f(2
012)的值.
【思路导引】(1)利用周期函数的定义和已知条件证明周期即可;(2)根据周期函数的定义得f(2012)=f(2),即可得出答案.
【解析】(1)因为f(n+2)=f(n+1)-f(n),
所以f(n+3)=f(n+2)-f(n+1)
=
-f(n+1)=-f(n),
所以f(n+6)=-f(n+3)=-
=f(n).
所以f(n)是周期函数,周期为6.
(2)因为f(n)是周期为6的函数,且f(1)=1,f(2)=3,
所以f(2
012)=f(335×6+2)=f(2)=3.
【解题策略】
1.观察函数图象判断周期性,关键是观察图象是否是周而复始重复出现.
2.用定义法判断周期性,关键是证明对于任意的x∈D,都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x).
【题组训练】
1.如图是一向右传播的光波在某一时刻各点的位置图,经过
周期后,甲点和乙
点的位置将分别移到________点和________点.?
答案:丁 戊
2.如图是一个单摆振动的函数图象,根据图象,回答下面问题:
(1)单摆的振动函数图象是周期变化吗?
(2)若是周期变化,其振动的周期是多少?
(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少?
【解析】(1)观察图象可知,图象从t=0.8
s开始重复,所以单摆的振动是周期变化;
(2)振动的周期为0.8
s;
(3)由图象知最高点和最低点偏离t轴的距离相等且等于0.5
cm,所以单摆离开平衡位置的最大距离是0.5
cm.
3.根据周期性的定义,请回答以下问题:
(1)函数f(x)=x2满足f(-3+6)=f(-3),这个函数是不是以6为周期的周期函数?
(2)函数f(x)=
是周期函数,且f
=f(0),为什么
不是它的周期?
【解析】(1)不是.因为f(x+6)=(x+6)2=f(x)不恒成立,所以f(x)不是以6为周期
的周期函数;
(2)因为当x=
时,f
=(-1)0=1,f
=f(1)=(-1)1=-1,
所以
所以
不是它的周期.
类型三 周期函数的应用(数学抽象、逻辑推理)
【典例】已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[0,1]时,f(x)=4x-1,则
f(4.5)的值为( )
A.2
B.-1
C.-
D.1
【思路导引】先利用函数的周期转化,f(4.5)=f(0.5),代入即可.
【解析】选D.因为f(x)的周期为2,所以f(4.5)=
f(0.5);又因为当x∈[0,1]时,f(x)=4x-1,
所以f(4.5)=f(0.5)=40.5-1=1.
【解题策略】
确定好周期函数中重复出现的“最小正周期”,就可以把问题转化到一个周期内来解决.
【跟踪训练】
已知函数f(x)对任意实数x都满足f(x+1)=-f(x),若f(1)=1,则f(10)=
( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选A.由f(x+1)=-f(x)可得f(x+2)=-f(x+1),据此可得f(x)=f(x+2),即
函数f(x)是周期为2的函数,且f(2)=-f(1)=-1,据此可知f(10)=f(10-2×4)
=f(2)=-1.
【拓展延伸】
具有周期性的抽象函数:
函数y=f(x),定义域内任一实数x(其中a为常数),
①f(x)=f(x+a),则y=f(x)是以T=a为周期的周期函数;
②f(x+a)=-f(x),则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数;
③f(x+a)=±
,则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数;
④f(x+a)=f(x-a),则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数.
【拓展训练】
已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(2+x)=f(-x),若f(1)=4,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=________.?
【解题指南】由题意首先确定函数的周期,然后结合函数的关系式求解函数值即可.
【解析】因为f(x)是奇函数且f(2+x)=f(-x),
所以f(4+x)=-f(x+2)=f(x),
即函数f(x)是周期为4的周期函数,
因为f(1)=4所以f(2)=f(0)=0,
f(3)=f(-1)=-f(1)=-4,
f(4)=f(0)=0
,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)
=4+0-4+0+4+0-4+0=0.
答案:0
1.下列是周期现象的为
( )
①某交通路口的红绿灯每30秒转换一次;
②某超市每天的营业额;
③某地每年6月份的平均降雨量.
A.①③
B.②③
C.①
D.①②
【解析】选C.①是周期现象;②中每天的营业额是随机的,不是周期现象;③中每年6月份的降雨量也是随机的,不是周期现象.
课堂检测·素养达标
2.把
化成小数,小数点后第20位是
( )
A.1
B.2
C.4
D.8
【解析】选C.
=0.
42
85
,小数点后“142857”呈周期性变化且周期为6.
因为20=3×6+2,所以第20位为4.
3.把一批小球按2个红色,5个白色的顺序排列,第30个小球是______色.?
【解析】周期为7,30=4×7+2,所以第30个小球与第2个小球颜色相同,为红色.
答案:红
4.设函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数,且x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,
则f
=______.?
【解题指南】根据f(x)是以2为最小正周期的周期函数,将f
整理成
又因为
∈[0,2],则根据f(x)=(x-1)2求解即可.
【解析】因为f(x)是以2为最小正周期的周期函数,所以
又因为x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,所以
答案:
5.(教材二次开发:练习改编)已知周期函数y=f(x)的图象如图所示,
(1)求函数的周期;
(2)画出函数y=f(x+1)的图象.
【解题指南】(1)根据周期定义结合图象求得结果;
(2)把y=f(x)向左平移一个单位长度得y=f(x+1)的图象.
【解析】(1)T=2.
(2)把y=f(x)向左平移一个单位长度得y=f(x+1)的图象,即如图所示.
一 周
期
变
化
【基础通关-水平一】(15分钟 30分)
1.下列现象是周期现象的是
( )
①日出日落;②潮汐;③海啸;④地震.
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.③④
【解析】选A.日出日落是周期现象;潮汐是周期现象;海啸、地震不是周期现象.
课时素养评价
2.如图所示的是一个单摆,让摆球从A点开始摆,最后又回到A点,单摆所经历的
时间是一个周期T,则摆球在O
→B→O→A→O的运动过程中,经历的时间是
( )
A.2T
B.T
C.
D.
【解析】选B.整个运动恰好是一个周期,所以运动的时间是T.
3.2019年,小明17岁了,与小明属相相同的老师的年龄可能是
( )
A.26
B.32
C.36
D.41
【解析】选D.由十二生肖知,属相是12年循环一次.
4.定义域为R的偶函数f(x)为周期函数,其周期为8,当x∈[-4,0]时f(x)=x+1,则f(25)=________.
【解题指南】利用函数y=f(x)的周期和奇偶性可得出f(25)=f(1)=f(-1),进而得解.?
【解析】由于函数f(x)是R上周期为8的偶函数,且当x∈[-4,0]时,f(x)=x+1,
因此,f(25)=f(1)=f(-1)=-1+1=0.
答案:0
5.水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,假设水车5分钟转一圈,计算1小时内最多盛水多少升?
【解析】因为1小时=60分钟=12×5分钟,且水车5分钟转一圈,所以1小时内水车转12圈.又因为水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,所以每转一圈,最多盛水16×10=160(升),所以水车1小时内最多盛水160×12=
1
920(升).
【能力进阶-水平二】
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.钟表分针的运动是一个周期现象,其周期为60分钟,现在分针恰好指在2点处,则100分钟后分针指在
( )
A.8点处
B.10点处
C.11点处
D.12点处
【解析】选B.由于100=1×60+40,所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同,现在分针恰好指在2点处,经过40分钟后分针应指在10点处.
2.探索图所呈现的规律,判断2
018至2
020箭头的方向是
( )
【解析】选C.观察图可知每增加4个数字就重复相同的位置,则2
018至2
020箭头的方向与2至4箭头的方向是相同的.
3.对任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数,如[3.6]=3,[-3.4]=-4,关于函数
f(x)=
,有下列命题:①f(x)是周期函数;②f(x)是偶函数;③函数
f(x)的值域为{0,1},其中正确的命题为
( )
A.①③
B.②
C.①②③
D.①②
【解析】选A.因为f(x+3)=
=f(x),所以f(x)是
周期函数,3是它的一个周期,故①正确.
f(x)=
结合函数的周期性可得函数的值域为{0,1},
则函数不是偶函数,故②错误.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+2)=-f(x),且函数y=f(x-1)为奇函数,则下列结论正确的是
( )
A.函数y=f(x)是周期函数
B.函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称
C.函数y=f(x)为R上的偶函数
D.函数y=f(x)为R上的单调函数
【解题指南】利用f(x+2)=-f(x)可以判断函数y=f(x)的周期性,利用y=f(x-1)为奇函数可以判断函数y=f(x)的对称性和奇偶性,最后选出正确答案.
【解析】选ABC.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即T=4,故A正确;因为函数y=f(x-1)为奇函数,所以函数y=f(x-1)图象关于原点对称,所以B正确;又函数y=f(x-1)为奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1),根据f(x+2)=-f(x),有f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+1)=f(-x-1),有f(-x)=f(x),即函数f(x)为R上的偶函数,C正确;
因为函数y=f(x-1)为奇函数,所以f(-1)=0,又函数f(x)为R上的偶函数,f(1)=0,所以函数不单调,D不正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x1,x2∈R都有f(x1+x2)=100f(x1)f(x2),则下列结论一定正确的是________.?
(1)f(x)是偶函数;(2)f(x)是周期函数;
(3)存在常数k,对任意x∈R,都有f(x+1)=kf(x);
(4)对任意m∈R,存在x0∈R,使得f(x0)=m.
【解题指南】取f(x)=10x-2,说明(1),(2),(4)不正确;在f(x1+x2)=100f(x1)f(x2)中,令x1=x,x2=1,分析可得存在常数k=100f(1)满足题意,所以(3)正确.
【解析】取f(x)=10x-2,则对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=
,
100f(x1)f(x2)=
所以f(x1+x2)=100f(x1)f(x2),所以f(x)=10x-2满足题意.对于(1),由于
f(x)=10x-2不是偶函数,所以(1)不正确.对于(2),由于f(x)=10x-2不是周期函数,
所以(2)不正确.
对于(4),由于f(x)=10x-2>0,所以当m≤0时,不存在x0∈R,使得f(x0)=m成立,所以(4)不正确.对于(3),在f(x1+x2)=100f(x1)f(x2)中,令x1=x,x2=1,得f(x+1)=100f(1)f(x),令k=100f(1),
则f(x+1)=kf(x),所以存在常数k=100f(1),对任意x∈R,都有f(x+1)=kf(x),所以(3)正确.
答案:(3)
6.如图所示的弹簧振子在A,B之间做简谐运动,振子向右运动时,先后以相同的速度通过M,N两点,经历的时间为t1=1
s,过N点后,再经过t2=1
s第一次反向通过N点,振子在这2
s内共通过了8
cm的路程,则振子的振动周期T=______s.?
【解析】设振子的振动周期为T,则振子由平衡位置O运动到B的时间为
,而
振子以相同的速度通过M,N的时间为t1=1
s,则O到N的时间为
,又向右经N—
B—N的时间为t2=1,则N到B的时间为
,所以
所以T=4.
答案:4
【误区警示】本题容易把N—B的时间当作半个周期.
四、解答题
7.(10分)游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题:
(1)你与地面的距离随时间的变化而变化,这个现象是周期现象吗?
(2)转四圈需要多少时间?
(3)你第四次距地面最高需要多少时间?
(4)转60分钟时,你距离地面是多少?
【解析】(1)是周期现象.
(2)转四圈需要时间为4×12=48(分钟).
(3)第1次距离地面最高需
=6(分钟),而周期是12分钟,所以第四次距地面
最高需12×3+6=42(分钟).
(4)因为60÷12=5,所以转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同,
即40.5-40=0.5(米).
【补偿训练】
1.设f(x)是定义域为R的函数,对任意x∈R,都满足f(x+1)=f(x-1),
f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2-2x.
(1)请指出f(x)在区间[-1,1]上的奇偶性、单调区间、零点;
(2)试证明f(x)是周期函数,并求其在区间[2k-1,2k](k∈Z)上的解析式.
【解题指南】根据f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x)可推出函数为偶函数,由f(x+1)=f(x-1)可推出周期为2,根据周期及奇偶性可求出函数在[2k-1,2k]上的解析式.
【解析】(1)因为f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x),所以f(x-1)=f(1-x),
所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)为定义域R上的偶函数,
故f(x)在区间[-1,1]上是偶函数,[0,1]是递减区间,[-1,0]是递增区间,零点是0.
(2)因为f(x+1)=f(x-1),所以f(x)=f(x-2),
故函数是周期为2的周期函数.
设x∈[2k-1,2k],则x-2k∈[-1,0],-(x-2k)∈[0,1],所以f[-(x-2k)]=
(x-2k)2+2(x-2k),
又函数是偶函数,且周期为2,
所以f[-(x-2k)]=f(x-2k)=f(x),
故f(x)=(x-2k)2+2(x-2k),x∈[2k-1,2k],k∈Z.
2.已知函数f(x)(x∈D),若存在常数T(T>0),对任意x∈D都有f(x+T)=T·f(x),
则称函数f(x)为T倍周期函数.
(1)判断h(x)=x是否是T倍周期函数,并说明理由;
(2)证明g(x)=
是T倍周期函数,且T的值是唯一的.
【解析】(1)
设h(x+T)=T·h(x),
则x+T=T·x对任意x恒成立,
因为T无解,所以
h(x)=x
不是T倍周期函数.
(2)
设g(x+T)=T·g(x),
则
=T·
对任意x恒成立,
即
=T,可得
T=
,
下证唯一性:若
矛盾;
若
矛盾,
所以
T=
是唯一的.温馨提示：
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第一章 三
角
函
数
§1 周
期
变
化
新课程标准
学业水平要求
1.了解周期现象.2.初步了解周期函数的概念.
★水平一能判断简单的实际问题中的周期.(逻辑推理)★水平二能判断简单的函数的周期性.(数学抽象)
必备知识·自主学习学生用书P1
导思
1.所有的函数都是周期函数吗?2.周期函数都有最小正周期吗?
1.周期现象
(1)以相同间隔重复出现的变化叫作周期现象.
(2)要判断一种现象是否为周期现象,关键是看每隔相同间隔,这种变化是否会重复出现,若重复出现,则为周期现象;否则不是周期现象.
2020年7月6日再过200天是星期几?
提示:2020年7月6日是星期一,由200=28×7+4知自2020年7月6日再过200天是星期五.
2.周期函数
(1)一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对于任意的x∈D,都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x),x∈D称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期.
(2)如果在周期函数y=f(x),x∈D的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就称作函数y=f(x),x∈D的最小正周期.如果不加特别说明,本书所指周期均为函数的最小正周期.
周期函数的周期是否只有一个?
提示:不是,例如函数f(x)=x-的周期就不止一个.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)钟表的秒针的运动是周期现象.( )
(2)某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象.( )
(3)函数f(x)=x,x∈N是周期函数.( )
提示:(1)√.秒针每分钟转一圈,它的运动是周期现象.
(2)×.虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化,但每次绿灯经过的车辆数不一定相同,故不是周期现象.
(3)×.因为f(x+T)≠f(x),所以不是周期函数.
2.观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7,…”寻找规律,则第25个数字是______.?
【解析】观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次,具有周期性,故第25个数字为2.
答案:2
3.(教材二次开发:例题改编)讨论函数f(x)=8·(-1)n+1,n∈N
是否为周期函数,如果是,请指出它的周期.
【解析】当n∈N
时,该函数的取值为8,-8,8,-8,…可见它是周期函数,且周期T=2.
关键能力·合作学习学生用书P1
类型一 生活中的周期现象(直观想象)
1.我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号,2016年是猴年,那么1949年是( )
A.牛年
B.虎年
C.兔年
D.龙年
【解析】选A.2016-1949=67,67÷12=5……7,从猴年往前数第7个即可,也就是牛年.
2.如果今天是星期五,则58天后的那一天是星期( )
A.五
B.六
C.日
D.一
【解析】选C.因为每星期含有7天,而58=7×8+2,即58天后是过去8个星期后第2天,即星期日.
3.受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
根据规定,当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放,判断一天内对冲浪爱好者能开放几次?时间最长的一次是什么时候?有多长时间?
【解析】由题中表可知,潮汐呈周期性变化,所以一天内能开放三次,时间最长的一次是上午9时至下午3时,共6个小时.
判断生活问题的周期现象的依据是周期变化的特征,即每次都以相同的间隔(比如时间间隔或长度间隔)出现,且现象是无差别的重复出现.
类型二 周期函数(数学抽象)
角度1 利用函数图象判断?
【典例】下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是( )
【思路导引】观察对任意一个实数x,每变化多少,函数值保持不变,观察这种变化是否是重复进行的.
【解析】选D.结合周期函数的定义可知,A,B,C均为周期函数,D不是周期函数.
在如图所示的y=f(x)的图象中,若f(0.005)=3,则f(0.025)=______.?
【解析】由图象知周期为0.02,
所以f(0.025)=f(0.005+0.02)=f(0.005)=3.
答案:3
角度2 利用周期定义判断?
【典例】已知定义在N上的函数f(n)满足:f(n+2)=f(n+1)-f(n).
(1)求证:f(n)是周期函数,并求出其周期;
(2)若f(1)=1,f(2)=3,求f(2
012)的值.
【思路导引】(1)利用周期函数的定义和已知条件证明周期即可;(2)根据周期函数的定义得f(2012)=f(2),即可得出答案.
【解析】(1)因为f(n+2)=f(n+1)-f(n),
所以f(n+3)=f(n+2)-f(n+1)
=-f(n+1)=-f(n),
所以f(n+6)=-f(n+3)=-=f(n).
所以f(n)是周期函数,周期为6.
(2)因为f(n)是周期为6的函数,且f(1)=1,f(2)=3,
所以f(2
012)=f(335×6+2)=f(2)=3.
1.观察函数图象判断周期性,关键是观察图象是否是周而复始重复出现.
2.用定义法判断周期性,关键是证明对于任意的x∈D,都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x).
1.如图是一向右传播的光波在某一时刻各点的位置图,经过周期后,甲点和乙点的位置将分别移到________点和________点.?
答案:丁 戊
2.如图是一个单摆振动的函数图象,根据图象,回答下面问题:
(1)单摆的振动函数图象是周期变化吗?
(2)若是周期变化,其振动的周期是多少?
(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少?
【解析】(1)观察图象可知,图象从t=0.8
s开始重复,所以单摆的振动是周期变化;
(2)振动的周期为0.8
s;
(3)由图象知最高点和最低点偏离t轴的距离相等且等于0.5
cm,所以单摆离开平衡位置的最大距离是0.5
cm.
3.根据周期性的定义,请回答以下问题:
(1)函数f(x)=x2满足f(-3+6)=f(-3),这个函数是不是以6为周期的周期函数?
(2)函数f(x)=是周期函数,且f=f(0),为什么不是它的周期?
【解析】(1)不是.因为f(x+6)=(x+6)2=f(x)不恒成立,所以f(x)不是以6为周期的周期函数;
(2)因为当x=时,f=(-1)0=1,f=f(1)=(-1)1=-1,
所以f≠f,所以不是它的周期.
类型三 周期函数的应用(数学抽象、逻辑推理)
【典例】已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈时,f(x)=4x-1,则f(4.5)的值为( )
A.2
B.-1
C.-
D.1
【思路导引】先利用函数的周期转化,f(4.5)=f(0.5),代入即可.
【解析】选D.因为f(x)的周期为2,所以f(4.5)=
f(0.5);又因为当x∈时,f(x)=4x-1,
所以f(4.5)=f(0.5)=40.5-1=1.
确定好周期函数中重复出现的“最小正周期”,就可以把问题转化到一个周期内来解决.
已知函数f(x)对任意实数x都满足f(x+1)=-f(x),若f(1)=1,则f(10)=( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选A.由f(x+1)=-f(x)可得f(x+2)=-f(x+1),据此可得f(x)=f(x+2),即函数f(x)是周期为2的函数,且f(2)=-f(1)=-1,据此可知f(10)=f(10-2×4)=f(2)=-1.
【拓展延伸】
具有周期性的抽象函数:
函数y=f(x),定义域内任一实数x(其中a为常数),
①f(x)=f(x+a),则y=f(x)是以T=a为周期的周期函数;
②f(x+a)=-f(x),则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数;
③f(x+a)=±,则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数;
④f(x+a)=f(x-a),则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数.
【拓展训练】
已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(2+x)=f(-x),若f(1)=4,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=________.?
【解题指南】由题意首先确定函数的周期,然后结合函数的关系式求解函数值即可.
【解析】因为f(x)是奇函数且f(2+x)=f(-x),
所以f(4+x)=-f(x+2)=f(x),
即函数f(x)是周期为4的周期函数,
因为f(1)=4所以f(2)=f(0)=0,
f(3)=f(-1)=-f(1)=-4,
f(4)=f(0)=0
,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)
=4+0-4+0+4+0-4+0=0.
答案:0
课堂检测·素养达标学生用书P3
1.下列是周期现象的为( )
①某交通路口的红绿灯每30秒转换一次;
②某超市每天的营业额;
③某地每年6月份的平均降雨量.
A.①③
B.②③
C.①
D.①②
【解析】选C.①是周期现象;②中每天的营业额是随机的,不是周期现象;③中每年6月份的降雨量也是随机的,不是周期现象.
2.把化成小数,小数点后第20位是( )
A.1
B.2
C.4
D.8
【解析】选C.=0.42
85,小数点后“142857”呈周期性变化且周期为6.
因为20=3×6+2,所以第20位为4.
3.把一批小球按2个红色,5个白色的顺序排列,第30个小球是______色.?
【解析】周期为7,30=4×7+2,所以第30个小球与第2个小球颜色相同,为红色.
答案:红
4.设函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数,且x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,则f=______.?
【解题指南】根据f(x)是以2为最小正周期的周期函数,将f整理成f=f,又因为∈[0,2],则根据f(x)=(x-1)2求解即可.
【解析】因为f(x)是以2为最小正周期的周期函数,所以f=f=f,
又因为x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,所以
f=f==.
答案:
5.(教材二次开发:练习改编)已知周期函数y=f(x)的图象如图所示,
(1)求函数的周期;
(2)画出函数y=f(x+1)的图象.
【解题指南】(1)根据周期定义结合图象求得结果;
(2)把y=f(x)向左平移一个单位长度得y=f(x+1)的图象.
【解析】(1)T=2.
(2)把y=f(x)向左平移一个单位长度得y=f(x+1)的图象,即如图所示.
一 周
期
变
化
(15分钟 30分)
1.下列现象是周期现象的是( )
①日出日落;②潮汐;③海啸;④地震.
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.③④
【解析】选A.日出日落是周期现象;潮汐是周期现象;海啸、地震不是周期现象.
2.如图所示的是一个单摆,让摆球从A点开始摆,最后又回到A点,单摆所经历的时间是一个周期T,则摆球在O
→B→O→A→O的运动过程中,经历的时间是( )
A.2T
B.T
C.
D.
【解析】选B.整个运动恰好是一个周期,所以运动的时间是T.
3.2019年,小明17岁了,与小明属相相同的老师的年龄可能是( )
A.26
B.32
C.36
D.41
【解析】选D.由十二生肖知,属相是12年循环一次.
4.定义域为R的偶函数f(x)为周期函数,其周期为8,当x∈时f(x)=x+1,则f(25)=________.?
【解题指南】利用函数y=f(x)的周期和奇偶性可得出f(25)=f(1)=f(-1),进而得解.
【解析】由于函数f(x)是R上周期为8的偶函数,且当x∈时,f(x)=x+1,
因此,f(25)=f(1)=f(-1)=-1+1=0.
答案:0
5.水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,假设水车5分钟转一圈,计算1小时内最多盛水多少升?
【解析】因为1小时=60分钟=12×5分钟,且水车5分钟转一圈,所以1小时内水车转12圈.又因为水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,所以每转一圈,最多盛水16×10=160(升),所以水车1小时内最多盛水160×12=
1920(升).
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.钟表分针的运动是一个周期现象,其周期为60分钟,现在分针恰好指在2点处,则100分钟后分针指在( )
A.8点处
B.10点处
C.11点处
D.12点处
【解析】选B.由于100=1×60+40,所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同,现在分针恰好指在2点处,经过40分钟后分针应指在10点处.
2.探索图所呈现的规律,判断2
018至2
020箭头的方向是( )
【解析】选C.观察图可知每增加4个数字就重复相同的位置,则2
018至2
020箭头的方向与2至4箭头的方向是相同的.
3.对任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数,如[3.6]=3,[-3.4]=-4,关于函数f(x)=,有下列命题:①f(x)是周期函数;②f(x)是偶函数;③函数f(x)的值域为{0,1},其中正确的命题为( )
A.①③
B.②
C.①②③
D.①②
【解析】选A.因为f(x+3)===f(x),所以f(x)是周期函数,3是它的一个周期,故①正确.
f(x)==,结合函数的周期性可得函数的值域为{0,1},则函数不是偶函数,故②错误.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+2)=-f(x),且函数y=f(x-1)为奇函数,则下列结论正确的是( )
A.函数y=f(x)是周期函数
B.函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称
C.函数y=f(x)为R上的偶函数
D.函数y=f(x)为R上的单调函数
【解题指南】利用f(x+2)=-f(x)可以判断函数y=f(x)的周期性,利用y=f(x-1)为奇函数可以判断函数y=f(x)的对称性和奇偶性,最后选出正确答案.
【解析】选ABC.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即T=4,故A正确;
因为函数y=f(x-1)为奇函数,所以函数y=f(x-1)图象关于原点对称,所以B正确;
又函数y=f(x-1)为奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1),根据f(x+2)=-f(x),有f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+1)=f(-x-1),有f(-x)=f(x),即函数f(x)为R上的偶函数,C正确;
因为函数y=f(x-1)为奇函数,所以f(-1)=0,又函数f(x)为R上的偶函数,f(1)=0,所以函数不单调,D不正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x1,x2∈R都有f(x1+x2)=100f(x1)f(x2),则下列结论一定正确的是________.?
(1)f(x)是偶函数;(2)f(x)是周期函数;
(3)存在常数k,对任意x∈R,都有f(x+1)=kf(x);
(4)对任意m∈R,存在x0∈R,使得f(x0)=m.
【解题指南】取f(x)=10x-2,说明(1),(2),(4)不正确;在f(x1+x2)=100f(x1)f(x2)中,令x1=x,x2=1,分析可得存在常数k=100f(1)满足题意,所以(3)正确.
【解析】取f(x)=10x-2,则对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=,100f(x1)f(x2)=
100××=100×=,
所以f(x1+x2)=100f(x1)f(x2),所以f(x)=10x-2满足题意.对于(1),由于f(x)=10x-2不是偶函数,所以(1)不正确.对于(2),由于f(x)=10x-2不是周期函数,所以(2)不正确.
对于(4),由于f(x)=10x-2>0,所以当m≤0时,不存在x0∈R,使得f(x0)=m成立,所以(4)不正确.对于(3),在f(x1+x2)=100f(x1)f(x2)中,令x1=x,x2=1,得f(x+1)=100f(1)f(x),令k=100f(1),
则f(x+1)=kf(x),所以存在常数k=100f(1),对任意x∈R,都有f(x+1)=kf(x),所以(3)正确.
答案:(3)
6.如图所示的弹簧振子在A,B之间做简谐运动,振子向右运动时,先后以相同的速度通过M,N两点,经历的时间为t1=1
s,过N点后,再经过t2=1
s第一次反向通过N点,振子在这2
s内共通过了8
cm的路程,则振子的振动周期T=______s.?
【解析】设振子的振动周期为T,则振子由平衡位置O运动到B的时间为,而振子以相同的速度通过M,N的时间为t1=1
s,则O到N的时间为,又向右经N—B—N的时间为t2=1,则N到B的时间为,所以=+=+=1,所以T=4.
答案:4
【误区警示】本题容易把N—B的时间当作半个周期.
四、解答题
7.(10分)游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题:
(1)你与地面的距离随时间的变化而变化,这个现象是周期现象吗?
(2)转四圈需要多少时间?
(3)你第四次距地面最高需要多少时间?
(4)转60分钟时,你距离地面是多少?
【解析】(1)是周期现象.
(2)转四圈需要时间为4×12=48(分钟).
(3)第1次距离地面最高需=6(分钟),而周期是12分钟,所以第四次距地面最高需12×3+6=42(分钟).
(4)因为60÷12=5,所以转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同,即40.5-40=0.5(米).
【补偿训练】
1.设f(x)是定义域为R的函数,对任意x∈R,都满足f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2-2x.
(1)请指出f(x)在区间[-1,1]上的奇偶性、单调区间、零点;
(2)试证明f(x)是周期函数,并求其在区间[2k-1,2k](k∈Z)上的解析式.
【解题指南】根据f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x)可推出函数为偶函数,由f(x+1)=f(x-1)可推出周期为2,根据周期及奇偶性可求出函数在[2k-1,2k]上的解析式.
【解析】(1)因为f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x),所以f(x-1)=f(1-x),
所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)为定义域R上的偶函数,
故f(x)在区间[-1,1]上是偶函数,[0,1]是递减区间,[-1,0]是递增区间,零点是0.
(2)因为f(x+1)=f(x-1),所以f(x)=f(x-2),
故函数是周期为2的周期函数.
设x∈[2k-1,2k],则x-2k∈[-1,0],-(x-2k)∈[0,1],所以f[-(x-2k)]=(x-2k)2+2(x-2k),
又函数是偶函数,且周期为2,
所以f[-(x-2k)]=f(x-2k)=f(x),
故f(x)=(x-2k)2+2(x-2k),x∈[2k-1,2k],k∈Z.
2.已知函数f(x)(x∈D),若存在常数T(T>0),对任意x∈D都有f(x+T)=T·f(x),则称函数f(x)为T倍周期函数.
(1)判断h(x)=x是否是T倍周期函数,并说明理由;
(2)证明g(x)=是T倍周期函数,且T的值是唯一的.
【解析】(1)
设h(x+T)=T·h(x),
则x+T=T·x对任意x恒成立,
因为T无解,所以
h(x)=x
不是T倍周期函数.
(2)
设g(x+T)=T·g(x),
则
=T·对任意x恒成立,
即=T,可得
T=,
下证唯一性:若T>,T=<=,矛盾;若T<,T=>=,矛盾,
所以
T=
是唯一的.
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