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§2 任 意 角
新课程标准
学业水平要求
1.了解任意角的概念,理解象限角的概念.2.掌握终边相同角的含义及表示.
★水平一1.理解正角、负角、零角与象限角的概念.(数学抽象)2.掌握终边相同的角的表示方法.(逻辑推理)★水平二会用集合表示象限角.(数学抽象)
必备知识·自主学习学生用书P4
导思
1.锐角属于第几象限角?2.第四象限的角比第三象限的角大吗?
1.任意角
(1)角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
(2)角的分类
按旋转方向,角可以分为三类:
名称
定义
图形
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
如果一个角的始边与终边重合,那么这个角一定是零角吗?
提示:不一定,若角的终边未作旋转,则这个角是零角.若角的终边作了旋转,则这个角就不是零角.
2.象限角
(1)象限角的概念
在平面直角坐标系中研究角时,如果角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.
(2)象限角的集合表示
象限角
角的集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α第二象限角
{α|k·360°+90°<α第三象限角
{α|k·360°+180°<α第四象限角
{α|k·360°+270°<α(3)轴线角的集合表示
轴线角
角的集合表示
终边落在x轴的非负半轴上的角
{α|α=k·360°,k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上的角
{α|α=k·360°+180°,k∈Z}
终边落在x轴上的角
{α|α=k·180°,k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上的角
{α|α=k·360°+90°,k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上的角
{α|α=k·360°+270°,k∈Z}
终边落在y轴上的角
{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
终边落在坐标轴上的角
{α|α=k·90°,k∈Z}
(4)终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k×360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
假设60°角的终边是OB,那么-660°,420°角的终边与60°角的终边有什么关系?它们与60°分别相差多少?
提示:它们的终边相同.-660°=60°-2×360°,420°=60°+360°,故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)钝角是第二象限角.( )
(2)第二象限的角一定比第一象限的角大.( )
(3)终边相同的角不一定相等.( )
提示:(1)√.大于90°而小于180°的角称为钝角,它是第二象限角.
(2)×.100°是第二象限角,361°是第一象限角,但100°<361°.
(3)√.终边相同的角可以相差360°的整数倍.
2.(教材二次开发:练习改编)-378°是第______象限角.( )?
A.一
B.二
C.三
D.四
【解析】选D.-378°=-360°-18°,因为-18°是第四象限角,所以-378°是第四象限角.
3.把-936°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式为________.?
【解析】-936°=-3×360°+144°,故-936°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式为144°+(-3)×360°.
答案:144°+(-3)×360°
关键能力·合作学习学生用书P5
类型一 终边相同的角(逻辑推理、直观想象)
【典例】已知α=-1
910°.
(1)把α写成β+k×360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
【思路导引】结合终边相同的角的概念计算求解.
【解析】(1)-1
910°=250°-6×360°,其中β=250°,从而α=250°+(-6)×
360°,它是第三象限角.
(2)令θ=250°+k×360°(k∈Z),
取k=-1,-2就得到满足-720°≤θ<0°的角,
即250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.
所以θ为-110°或-470°.
将任意角化为α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用),
也可用除以360°的方法.要注意:正角除以360°,按通常的除法进行,负角除以360°,商是负数,且余数为正值.
已知角α的终边与-120°角的终边关于x轴对称,且-360°<α<360°,求角α.
【解析】如图,因为120°角与-120°角的终边关于x轴对称,所以角α的终边与120°角的终边相同,
所以α=k·360°+120°(k∈Z).因为-360°<α<360°,
所以-类型二 象限角(数学抽象)
1.在-20°,-400°,-2
000°,1
600°四个角中,第四象限角的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.已知α为第二象限角,那么2α,分别是第几象限角?
3.已知α为第一象限角,求180°-是第几象限角.
【解析】1.选C.-20°是第四象限角,-400°=-360°-40°,与-40°终边相同,是第四象限角,-2
000°=-6×360°+160°,与160°终边相同,是第二象限角,
1
600°=4×360°+160°,与160°终边相同,是第二象限角,故第四象限角有2个.
2.因为α是第二象限角,所以90°+k×360°<α<180°+k×360°,180°+2k×360°<2α<360°+2k×360°,k∈Z.
所以2α是第三或第四象限角,或是终边落在y轴的非正半轴上的角.同理45°+×360°<<90°+×360°,k∈Z.当k为偶数时,不妨令k=2n,n∈Z,则45°+n×360°<<90°+n×360°,此时,为第一象限角;
当k为奇数时,令k=2n+1,n∈Z,则225°+n×360°<<270°+n×360°,此时,为第三象限角.
所以为第一或第三象限角.
3.因为α为第一象限角,所以k·360°<α所以-45°-k·180°<-<-k·180°,k∈Z,
所以135°-k·180°<180°-<180°-k·180°,k∈Z.
当k=2n(n∈Z)时,135°-n·360°<180°-<180°-n·360°,为第二象限角;
当k=2n+1(n∈Z)时,-45°-n·360°<180°-<-n·360°,为第四象限角.所以180°-是第二或第四象限角.
1.象限角的判定方法
(1)根据图象判定.利用图象实际操作时,依据是终边相同的角的概念,因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.
(2)将角转化到0°～360°范围内,在直角坐标平面内,0°～360°范围内没有两个角终边是相同的.
2.α,2α,
等角的终边位置的确定方法
(1)利用象限角的概念或已知条件,写出角α的范围.
(2)利用不等式的性质,求出2α,等角的范围.
(3)利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.例如,如果得到k×120°<类型三 终边落在过原点的直线上的角(直观想象)
【典例】写出角β的终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°<β<720°的元素β写出来.
【思路导引】先利用终边相同的角写出终边落在射线上的角,然后把它们合并.
【解析】如图,直线y=x过原点,它向上的方向与x轴正方向的夹角为45°,在
0°～360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°,225°.因此,终边在直线y=x上的角的集合S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+
k·360°,k∈Z}
={β|β=45°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=45°+n·180°,n∈Z}.
由于-360°<β<720°,即-360°<45°+n·180°<720°,n∈Z,解得-n∈Z.
所以n=-2,-1,0,1,2,3.
所以S中适合不等式-360°<β<720°的元素是
45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,
45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,
45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.
1.终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°～360°范围内相应的角;
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合;
(3)根据条件能合并一定合并,
使结果简洁.
2.终边相同角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍.
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.
已知角β的终边在直线y=-x上.
(1)写出角β的集合S;
(2)写出S中适合不等式-360°<β<720°的元素.
【解析】(1)如图,直线y=-x过原点,它是第二、四象限角的平分线所在的直线,故在0°～360°范围内终边在直线y=-x上的角有两个:135°,315°.因此,终边在直线y=-x上的角的集合S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+(2k+1)·
180°,k∈Z}={β|β=135°+n·180°,n∈Z}.
(2)由于-360°<β<720°,即-360°<135°+n·180°<720°,n∈Z.解得-135°-2×180°=-225°;135°-1×180°=-45°;
135°+0×180°=135°;135°+1×180°=315°;
135°+2×180°=495°;135°+3×180°=675°.
课堂检测·素养达标学生用书P6
1.下列说法正确的是( )
A.终边相同的角都相等
B.钝角比第三象限角小
C.第一象限角都是锐角
D.锐角都是第一象限角
【解析】选D.终边相同的角相差360°的整数倍,并不一定相等,故A错误;钝角并不一定比第三象限角小,如-135°是第三象限角,显然-135°比钝角小,故B错;锐角一定是第一象限角,但第一象限角未必都是锐角,故D正确,C错误.
2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B等于( )
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
【解析】选C.令k=-1,0,1,2,则A,B的公共元素有-126°,-36°,54°,144°.
3.终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A.{α|α=k·360°,k∈Z}
B.{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
C.{α|α=k·180°,k∈Z}
D.{α|α=k·90°,k∈Z}
【解析】选D.终边落在x轴上的角α的集合为S1={α|α=k·180°,k∈Z},终边落在y轴上的角α的集合为S2={α|α=90°+k·180°,k∈Z},因此,终边落在坐标轴上的角α的集合为S=S1∪S2={α|α=k·90°,k∈Z}.
4.(教材二次开发:习题改编)从13:00到14:00,时针转过的角度为________,分针转过的角度为________.?
【解析】经过1小时,时针顺时针转过了30°,分针顺时针转过了360°.
答案:-30° -360°
5.在0°～360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.
(1)-150°;(2)650°.
【解析】(1)因为-150°=-360°+210°,所以在0°～360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角.
(2)因为650°=360°+290°,所以在0°～360°范围内,与650°角终边相同的
角是290°角,它是第四象限角.
二 任 意 角
(15分钟 30分)
1.-361°角的终边落在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.因为-361°角的终边和-1°角的终边相同,所以它的终边落在第四象限.
2.设A={小于90°的角},B={锐角},C={第一象限角},D={小于90°而不小于0°的角},那么有( )
A.B∩C=A
B.B=A∩C
C.D=A∩C
D.C∩D=B
【解析】选D.锐角、小于90°而不小于0°的角、小于90°的角及第一象限角的范围,如表所示.
角
集合表示
锐角
B={α|0°<α<90°}
小于90°而不小于0°的角
D={α|0°≤α<90°}
小于90°的角
A={α|α<90°}
第一象限角
C={α|k·360°<α3.若α是第四象限角,则180°-α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【解析】选C.可以给α赋一特殊值-60°,则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角.
4.已知角α=-3
000°,则与角α终边相同的最小正角是________.?
【解析】因为-3
000°=-9×360°+240°,
所以与-3
000°角终边相同的最小正角为240°.
答案:240°
5.在-180°～360°范围内与2
000°角终边相同的角是________.?
【解析】因为2
000°=200°+5×360°,2
000°=-160°+6×360°,所以在-180°～360°范围内与2
000°角终边相同的角有-160°,200°两个.
答案:-160°,200°
6.写出与25°角终边相同的角的集合,并求出该集合中满足不等式
-1
080°≤β<-360°的角β.
【解析】与25°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+25°,k∈Z}.令k=-3,则有β=-3×360°+25°=-1
055°,符合条件;
令k=-2,则有β=-2×360°+25°=-695°,符合条件;令k=-1,则有β=-1×360°+25°=-335°,不符合条件.故符合条件的角有-1
055°,-695°.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若角α满足α=45°+k·180°,k∈Z,则角α的终边落在( )
A.第一或第三象限
B.第一或第二象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
【解析】选A.当k=0时,α=45°,此时α为第一象限角;当k=1时α=225°,此时α是第三象限角.
2.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为( )
A.α+β=k·360°,k∈Z
B.α+β=k·360°+180°,k∈Z
C.α-β=k·360°+180°,k∈Z
D.α-β=k·360°,k∈Z
【解析】选B.因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=180°-α+k·360°,k∈Z,
即α+β=k·360°+180°,k∈Z.
【光速解题】特殊值法:令α=30°,β=150°,则α+β=180°.
3.已知角2α的终边在x轴上方,那么角α的范围是( )
A.第一象限角的集合
B.第一或第二象限角的集合
C.第一或第三象限角的集合
D.第一或第四象限角的集合
【解析】选C.由题意得360°·k<2α<360°·k+180°,k∈Z.所以180°·k<α<180°·k+90°,k∈Z.
4.如果角α与x+45°具有同一条终边,角β与x-45°具有同一条终边,则α与β的关系是( )
A.α+β=0
B.α-β=0
C.α+β=k·360°(k∈Z)
D.α-β=k·360°+90°(k∈Z)
【解析】选D.因为α=(x+45°)+k1·360°(k1∈Z),
β=(x-45°)+k2·360°(k2∈Z),所以α-β=(k1-k2)·360°+90°=k·360°+90°(k∈Z).
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.若α为第一象限角,则k·180°+α(k∈Z)的终边所在的象限可能是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选AC.因为α是第一象限角,所以k为偶数时,k·180°+α终边在第一象限;k为奇数时,k·180°+α终边在第三象限.
【误区警示】注意k·180°+α不是终边相同角的形式.
6.有一个小于360°的正角α,这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合,则这个角可以为( )
A.60° B.90° C.120° D.300°
【解析】选ACD.由题意知,6α=k·360°,k∈Z,
所以α=k·60°,k∈Z.
又因为α是小于360°的正角,所以满足条件的角α的值为60°,120°,
180°,240°,300°.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.与-500°角的终边相同的最小正角是______,最大负角是______.?
【解析】与-500°角的终边相同的角可表示为α=k·360°-500°(k∈Z),当k=2时α=220°为最小正角,当k=1时α=-140°为最大负角.
答案:220°
-140°
8.已知角α,β的终边关于原点对称,则α,β间的关系为________.?
【解析】由于α,β的终边互为反向延长线,故α,β相差180°的奇数倍,于是α-β=(2k-1)·180°(k∈Z).
答案:(2k-1)·180°(k∈Z)
【误区警示】不要忘记k∈Z,否则不得分.
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(1)写出与-1
840°角终边相同的角的集合M;
(2)把-1
840°角写成k·360°+α(0°≤α<360°)的形式,并指出其是第几象限角;
(3)若角α∈M且-360°<α<0°,求角α.
【解析】(1)由终边相同的角的概念得:
M={β|β=k·360°+(-1
840°),k∈Z}
={θ|θ=k·360°+320°,k∈Z}.
或M={θ|θ=k·360°-40°,k∈Z}.
(2)因为-1
840°=-6×360°+320°,
而320°是第四象限角,所以-1
840°是第四象限角.
(3)M={θ|θ=k·360°+320°,k∈Z},
又α∈M且-360°<α<0°,
所以取k=-1得,α=-40°.
10.已知角β的终边在函数y=x的图象上.
(1)写出角β的集合S;
(2)写出S中适合不等式-360°<β<720°的元素.
【解析】(1)因为角β的终边在函数y=x的图象上,
所以角β的集合S={β|β=60°+k·180°,k∈Z}.
(2)在S={β|β=60°+k·180°,k∈Z}中,
取k=-2,得β=-300°,取k=-1,得β=-120°,
取k=0,得β=60°,取k=1,得β=240°,
取k=2,得β=420°,取k=3,得β=600°.
所以S中适合不等式-360°<β<720°的元素分别是-300°,-120°,60°,
240°,420°,600°.
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PAGE(共62张PPT)
§2 任 意 角
必备知识·自主学习
1.任意角
(1)角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
导思
1.锐角属于第几象限角?
2.第四象限的角比第三象限的角大吗?
(2)角的分类
按旋转方向,角可以分为三类:
【思考】
如果一个角的始边与终边重合,那么这个角一定是零角吗?
提示:不一定,若角的终边未作旋转,则这个角是零角.若角的终边作了旋转,则这个角就不是零角.
2.象限角
(1)象限角的概念
在平面直角坐标系中研究角时,如果角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.
(2)象限角的集合表示
象限角
角的集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α第二象限角
{α|k·360°+90°<α第三象限角
{α|k·360°+180°<α第四象限角
{α|k·360°+270°<α(3)轴线角的集合表示
轴线角
角的集合表示
终边落在x轴的非负半轴上的角
{α|α=k·360°,k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上的角
{α|α=k·360°+180°,k∈Z}
终边落在x轴上的角
{α|α=k·180°,k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上的角
{α|α=k·360°+90°,k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上的角
{α|α=k·360°+270°,k∈Z}
终边落在y轴上的角
{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
终边落在坐标轴上的角
{α|α=k·90°,k∈Z}
(4)终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k×360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
【思考】
假设60°角的终边是OB,那么-660°,420°角的终边与60°角的终边有什么关系?它们与60°分别相差多少?
提示:它们的终边相同.-660°=60°-2×360°,420°=60°+360°,故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)钝角是第二象限角.
( )
(2)第二象限的角一定比第一象限的角大.
( )
(3)终边相同的角不一定相等.
( )
提示:(1)√.大于90°而小于180°的角称为钝角,它是第二象限角.
(2)×.100°是第二象限角,361°是第一象限角,但100°<361°.
(3)√.终边相同的角可以相差360°的整数倍.
2.(教材二次开发:练习改编)-378°是第______象限角.
( )?
A.一
B.二
C.三
D.四
【解析】选D.-378°=-360°-18°,因为-18°是第四象限角,所以-378°是第四象限角.
3.把-936°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式为________.?
【解析】-936°=-3×360°+144°,故-936°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式为144°+(-3)×360°.
答案:144°+(-3)×360°
关键能力·合作学习
类型一 终边相同的角(逻辑推理、直观想象)
【典例】已知α=-1
910°.
(1)把α写成β+k×360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
【思路导引】结合终边相同的角的概念计算求解.
【解析】(1)-1
910°=250°-6×360°,其中β=250°,从而α=250°+
(-6)×360°,它是第三象限角.
(2)令θ=250°+k×360°(k∈Z),
取k=-1,-2就得到满足-720°≤θ<0°的角,
即250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.
所以θ为-110°或-470°.
【解题策略】
将任意角化为α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用),
也可用除以360°的方法.要注意:正角除以360°,按通常的除法进行,负角除以360°,商是负数,且余数为正值.
【跟踪训练】
已知角α的终边与-120°角的终边关于x轴对称,且-360°<α<360°,求角α.
【解析】如图,因为120°角与-120°角的终边关于x轴对称,
所以角α的终边与120°角的终边相同,
所以α=k·360°+120°(k∈Z).因为-360°<α<360°,
所以-
,所以k=-1或k=0,所以α=-240°或α=120°.
类型二 象限角(数学抽象)
【题组训练】
1.在-20°,-400°,-2
000°,1
600°四个角中,第四象限角的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.已知α为第二象限角,那么2α,
分别是第几象限角?
3.已知α为第一象限角,求180°-
是第几象限角.
【解析】1.选C.-20°是第四象限角,-400°=-360°-40°,与-40°终边相同,是第四象限角,-2
000°=-6×360°+160°,与160°终边相同,是第二象限角,
1
600°=4×360°+160°,与160°终边相同,是第二象限角,故第四象限角有
2个.
2.因为α是第二象限角,所以90°+k×360°<α<180°+k×360°,
180°+2k×360°<2α<360°+2k×360°,k∈Z.
所以2α是第三或第四象限角,或是终边落在y轴的非正半轴上的角.同理45°+
×360°<
<90°+
×360°,k∈Z.当k为偶数时,不妨令k=2n,n∈Z,则
45°+n×360°<
<90°+n×360°,此时,
为第一象限角;
当k为奇数时,令k=2n+1,n∈Z,则225°+n×360°<
<270°+n×360°,此时,
为第三象限角.
所以
为第一或第三象限角.
3.因为α为第一象限角,所以k·360°<αk·180°<
所以-45°-k·180°<-
<-k·180°,k∈Z,
所以135°-k·180°<180°-
<180°-k·180°,k∈Z.
当k=2n(n∈Z)时,135°-n·360°<180°-
<180°-n·360°,为第二象限角;
当k=2n+1(n∈Z)时,-45°-n·360°<180°-
<-n·360°,为第四象限角.所
以180°-
是第二或第四象限角.
【解题策略】
1.象限角的判定方法
(1)根据图象判定.利用图象实际操作时,依据是终边相同的角的概念,因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.
(2)将角转化到0°～360°范围内,在直角坐标平面内,0°～360°范围内没有两个角终边是相同的.
2.α,2α,
等角的终边位置的确定方法
(1)利用象限角的概念或已知条件,写出角α的范围.
(2)利用不等式的性质,求出2α,
等角的范围.
(3)利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.例如,如果得到k×120°<
<30°所表示的区域,再将此区域依次逆
时针或顺时针转动120°(如图所示).
类型三 终边落在过原点的直线上的角(直观想象)
【典例】写出角β的终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式
-360°<β<720°的元素β写出来.
【思路导引】先利用终边相同的角写出终边落在射线上的角,然后把它们合并.
【解析】如图,直线y=x过原点,它向上的方向与x轴正方向的夹角为45°,在0°～360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°,225°.因此,终边在直线y=x上的角的集合S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}
={β|β=45°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}=
{β|β=45°+n·180°,n∈Z}.
由于-360°<β<720°,即-360°<45°+n·180°<720°,n∈Z,
解得-
,n∈Z.
所以n=-2,-1,0,1,2,3.
所以S中适合不等式-360°<β<720°的元素是
45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,
45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,
45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.
【解题策略】
1.终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°～360°范围内相应的角;
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合;
(3)根据条件能合并一定合并,
使结果简洁.
2.终边相同角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍.
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.
【跟踪训练】
已知角β的终边在直线y=-x上.
(1)写出角β的集合S;
(2)写出S中适合不等式-360°<β<720°的元素.
【解析】(1)如图,直线y=-x过原点,它是第二、四象限角的平分线所在的直线,故在0°～360°范围内终边在直线y=-x上的角有两个:135°,315°.因此,终边在直线y=-x上的角的集合S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=
135°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=
135°+n·180°,n∈Z}.
(2)由于-360°<β<720°,即-360°<135°+n·180°<720°,n∈Z.解得
-
,n∈Z.所以n=-2,-1,0,1,2,3.所以S中适合不等式-360°<β<720°
的元素为:
135°-2×180°=-225°;135°-1×180°=-45°;
135°+0×180°=135°;135°+1×180°=315°;
135°+2×180°=495°;135°+3×180°=675°.
1.下列说法正确的是
( )
A.终边相同的角都相等
B.钝角比第三象限角小
C.第一象限角都是锐角
D.锐角都是第一象限角
课堂检测·素养达标
【解析】选D.终边相同的角相差360°的整数倍,并不一定相等,故A错误;钝角并不一定比第三象限角小,如-135°是第三象限角,显然-135°比钝角小,故B错;锐角一定是第一象限角,但第一象限角未必都是锐角,故D正确,C错误.
2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B等于
( )
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
【解析】选C.令k=-1,0,1,2,则A,B的公共元素有-126°,-36°,54°,144°.
3.终边与坐标轴重合的角α的集合是
( )
A.{α|α=k·360°,k∈Z}
B.{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
C.{α|α=k·180°,k∈Z}
D.{α|α=k·90°,k∈Z}
【解析】选D.终边落在x轴上的角α的集合为S1={α|α=k·180°,k∈Z},终边落在y轴上的角α的集合为S2={α|α=90°+k·180°,k∈Z},因此,终边落在坐标轴上的角α的集合为S=S1∪S2={α|α=k·90°,k∈Z}.
4.(教材二次开发:习题改编)从13:00到14:00,时针转过的角度为________,分针转过的角度为________.?
【解析】经过1小时,时针顺时针转过了30°,分针顺时针转过了360°.
答案:-30° -360°
5.在0°～360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.
(1)-150°;(2)650°.
【解析】(1)因为-150°=-360°+210°,所以在0°～360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角.
(2)因为650°=360°+290°,所以在0°～360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角.
二 任 意 角
【基础通关—水平一】(15分钟 30分)
1.-361°角的终边落在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.因为-361°角的终边和-1°角的终边相同,所以它的终边落在第四象限.
课时素养评价
2.设A={小于90°的角},B={锐角},C={第一象限角},D={小于90°而不小于0°的角},那么有
( )
A.B∩C=A
B.B=A∩C
C.D=A∩C
D.C∩D=B
【解析】选D.锐角、小于90°而不小于0°的角、小于90°的角及第一象限角的范围,如表所示.
集合表示
锐角
B={α|0°<α<90°}
小于90°而
不小于0°的角
D={α|0°≤α<90°}
小于90°的角
A={α|α<90°}
第一象限角
C={α|k·360°<α3.若α是第四象限角,则180°-α是
( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【解析】选C.可以给α赋一特殊值-60°,则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角.
4.已知角α=-3
000°,则与角α终边相同的最小正角是________.?
【解析】因为-3
000°=-9×360°+240°,
所以与-3
000°角终边相同的最小正角为240°.
答案:240°
5.在-180°～360°范围内与2
000°角终边相同的角是________.?
【解析】因为2
000°=200°+5×360°,2
000°=-160°+6×360°,所以在
-180°～360°范围内与2
000°角终边相同的角有-160°,200°两个.
答案:-160°,200°
6.写出与25°角终边相同的角的集合,并求出该集合中满足不等式
-1
080°≤β<-360°的角β.
【解析】与25°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+25°,k∈Z}.令k=-3,则有β=-3×360°+25°=-1
055°,符合条件;
令k=-2,则有β=-2×360°+25°=-695°,符合条件;令k=-1,则有β=
-1×360°+25°=-335°,不符合条件.故符合条件的角有-1
055°,-695°.
【能力进阶—水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若角α满足α=45°+k·180°,k∈Z,则角α的终边落在
( )
A.第一或第三象限
B.第一或第二象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
【解析】选A.当k=0时,α=45°,此时α为第一象限角;当k=1时α=225°,此时α是第三象限角.
2.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为
( )
A.α+β=k·360°,k∈Z
B.α+β=k·360°+180°,k∈Z
C.α-β=k·360°+180°,k∈Z
D.α-β=k·360°,k∈Z
【解析】选B.因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=180°-α+k·360°,
k∈Z,
即α+β=k·360°+180°,k∈Z.
【光速解题】特殊值法:令α=30°,β=150°,则α+β=180°.
3.已知角2α的终边在x轴上方,那么角α的范围是
( )
A.第一象限角的集合
B.第一或第二象限角的集合
C.第一或第三象限角的集合
D.第一或第四象限角的集合
【解析】选C.由题意得360°·k<2α<360°·k+180°,k∈Z.所以180°·k<α<180°·k+90°,k∈Z.
4.如果角α与x+45°具有同一条终边,角β与x-45°具有同一条终边,则α与β的关系是
( )
A.α+β=0
B.α-β=0
C.α+β=k·360°(k∈Z)
D.α-β=k·360°+90°(k∈Z)
【解析】选D.因为α=(x+45°)+k1·360°(k1∈Z),β=(x-45°)+k2·360°(k2∈Z),
所以α-β=(k1-k2)·360°+90°=k·360°+90°(k∈Z).
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.若α为第一象限角,则k·180°+α(k∈Z)的终边所在的象限可能是
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选AC.因为α是第一象限角,所以k为偶数时,k·180°+α终边在第一象限;k为奇数时,k·180°+α终边在第三象限.
【误区警示】注意k·180°+α不是终边相同角的形式.
6.有一个小于360°的正角α,这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合,则这个角可以为
( )
A.60° B.90° C.120° D.300°
【解析】选ACD.由题意知,6α=k·360°,k∈Z,
所以α=k·60°,k∈Z.
又因为α是小于360°的正角,所以满足条件的角α的值为60°,120°,
180°,240°,300°.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.与-500°角的终边相同的最小正角是______,最大负角是______.?
【解析】与-500°角的终边相同的角可表示为α=k·360°-500°(k∈Z),当k=2时α=220°为最小正角,当k=1时α=-140°为最大负角.
答案:220°
-140°
8.已知角α,β的终边关于原点对称,则α,β间的关系为________.?
【解析】由于α,β的终边互为反向延长线,故α,β相差180°的奇数倍,于是α-β=(2k-1)·180°(k∈Z).
答案:(2k-1)·180°(k∈Z)
【误区警示】不要忘记k∈Z,否则不得分.
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(1)写出与-1
840°角终边相同的角的集合M;
(2)把-1
840°角写成k·360°+α(0°≤α<360°)的形式,并指出其是第几象限角;
(3)若角α∈M且-360°<α<0°,求角α.
【解析】(1)由终边相同的角的概念得:
M={β|β=k·360°+(-1
840°),k∈Z}
={θ|θ=k·360°+320°,k∈Z}.
或M={θ|θ=k·360°-40°,k∈Z}.
(2)因为-1
840°=-6×360°+320°,
而320°是第四象限角,所以-1
840°是第四象限角.
(3)M={θ|θ=k·360°+320°,k∈Z},
又α∈M且-360°<α<0°,
所以取k=-1得,α=-40°.
10.已知角β的终边在函数y=
x的图象上.
(1)写出角β的集合S;
(2)写出S中适合不等式-360°<β<720°的元素.
【解析】(1)因为角β的终边在函数y=
x的图象上,
所以角β的集合S={β|β=60°+k·180°,k∈Z}.
(2)在S={β|β=60°+k·180°,k∈Z}中,
取k=-2,得β=-300°,取k=-1,得β=-120°,
取k=0,得β=60°,取k=1,得β=240°,
取k=2,得β=420°,取k=3,得β=600°.
所以S中适合不等式-360°<β<720°的元素分别是-300°,-120°,60°,
240°,420°,600°.
