(共68张PPT)
§3 弧 度 制
必备知识·自主学习
导思
1.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗?
2.扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示?
1.弧度制
(1)角度制与弧度制的定义
角度制
用___作为单位来度量角的单位制叫做角度制,规定1度的角等于
周角的
弧度制
在单位圆中,把长度等于__的弧所对的_______叫作1弧度的角,
用符号____表示,读作_____.以_____作为单位来度量角的方法,
叫作弧度制
度
1
圆心角
rad
弧度
弧度
(2)角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么|α|=
.
2.角度制与弧度制的换算
(1)常见角度与弧度互化公式如下:
角度化弧度
弧度化角度
360°=2π
rad
2π
rad=360°
180°=π
rad
π
rad=180°
1°=
rad≈0.017
45
rad
1
rad=
°≈57.30°
(2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有:
3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则
度量单位类别
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l=
________
扇形的面积
|α|·R
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)1弧度指的是1度的角.
( )
(2)周角的大小是2π.
( )
(3)弧长为π,半径为2的扇形的圆心角是直角.
( )
提示:(1)×.1弧度指的是长度等于半径的弧所对的圆心角.
(2)√.周角的大小是
=2π.
(3)√.若弧长为π,半径为2,则|α|=
,故其圆心角是直角.
2.下列转化结果错误的是
( )
A.60°化成弧度是
B.-
π化成度是-600°
C.-150°化成弧度是-
D.
化成度是15°
【解析】选C.对于A,60°=60×
;
对于B,
×180°=-600°;
对于C,-150°=-150×
;
对于D,
×180°=15°.
3.(教材二次开发:习题改编)若θ=-5,则角θ的终边在
( )
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
【解析】选D.2π-5与-5的终边相同,
因为2π-5∈
,
所以2π-5是第一象限角,则-5也是第一象限角.
4.若扇形的圆心角为60°,半径为1,则扇形的弧长l=________.?
【解析】因为α=60°=
,r=1,所以l=|α|·r=
.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 角度与弧度的互化(数学运算)
【典例】将下列角度与弧度进行互化:
(1)20°;(2)-15°;(3)
;(4)-
π.
【思路导引】利用1°=
rad和1
rad=
°进行化简.
【解析】(1)20°=20×
rad=
rad.
(2)-15°=-15×
rad=-
rad.
(3)
π
rad=
×180°=105°.
(4)-
π
rad=-
×180°=-396°.
【解题策略】
角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点
(1)原则:牢记180°=π
rad,充分利用1°=
rad和1
rad=
°进行换算.
(2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,
则α
rad=α·
°;n°=n·
rad.
(3)注意点:①用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略不写;
②用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要求,不必把π写成小数;
③度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
【跟踪训练】
将下列各角度与弧度互化:
(1)
π;(2)-
π;(3)-157°30′.
【解析】(1)
π=
×180°=75°;
(2)-
π=-
×180°=-210°;
(3)-157°30′=-157.5°=-157.5×
rad=-
π
rad.
类型二 用弧度制表示终边相同的角(数学运算、直观想象)
【题组训练】
1.把-1
125°化为2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式是( )
A.-6π-
B.-6π+
C.-8π-
D.-8π+
2.在0°～720°范围内,找出与角
终边相同的角.
3.若β∈[-4π,0],且β与
π的终边相同,求β.
【解析】1.选D.因为-1
125°=-4×360°+315°,315°=315×
=
,
所以-1
125°=-8π+
.
2.因为
=4π+
π=720°+72°,所以与角
终边相同的角构成集合
{θ|θ=72°+k·360°,k∈Z}.当k=0时,θ=72°;当k=1时,θ=432°,所以在
0°～720°范围内,与角
终边相同的角为72°,432°.
3.由题意知β=2kπ+
π(k∈Z),又因为β∈[-4π,0],所以令k=-1,
-2得β1=-
π,β2=-
π.
【解题策略】
1.无论用角度制还是用弧度制来度量角,都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角与它对应.
2.用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈Z)时,注意2kπ是π的偶数倍.
【补偿训练】
用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2
015°是不是这个集合的元素.
【解析】因为150°=
,所以终边在阴影区域内角的集合为
因为2
015°=215°+5×360°=
+10π,
又
所以2
015°=
+10π∈S,即2
015°是这个集合的元素.
类型三 弧长公式与面积公式的应用(数学运算)
角度1 公式正用求扇形的弧长、面积?
【典例】已知扇形OAB的圆心角α为120°,半径长为6.求
的长.
【思路导引】先把圆心角化为弧度制,再代入公式求解.
【解析】因为α=120°=
π,r=6,所以
的长l=
π×6=4π.
【变式探究】
已知扇形的弧所对的圆心角为27°,半径r=20
cm,则扇形的周长为( )
A.3π
cm
B.30
cm
C.(40+3π)cm
D.540
cm
【解析】选C.27°=27×
rad=
rad,扇形的周长为20×2+
×20
=(40+3π)cm.
角度2 公式逆用求扇形圆心角、半径?
【典例】已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角.
【思路导引】先用公式表示出周长和面积,再解方程组求解.
【解析】设圆心角是θ,半径是r,
则
故扇形圆心角为
.
【变式探究】
火车站钟楼上有座大钟,这座大钟的分针20
min所走的圆弧长是
m,则这座大
钟分针的长度为______m.?
【解析】因为分针20
min转过的角为
,所以由l=αr,得r=
=0.5(m),
即这座大钟分针的长度为0.5
m.
答案:0.5
角度3 求扇形中的最值?
【典例】已知一扇形的周长为40
cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
【思路导引】利用扇形面积公式列方程求解.
【解析】设扇形的圆心角为θ,半径为r,弧长为l,面积为S,则l+2r=40,所以
l=40-2r.
所以S=
lr=
×(40-2r)r=20r-r2=-(r-10)2+100.
所以当半径r=10
cm时扇形的面积最大,最大值为100
cm2,此时
θ=
rad=2
rad.
所以当扇形的圆心角为2
rad,半径为10
cm时,扇形的面积最大为100
cm2.
【解题策略】
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键,有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题,将扇形面积表示为半径的函数,转化为r的二次函数的最值问题.
【题组训练】
1.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为
( )
A.
π
B.-
π
C.
π
D.-
π
【解析】选B.显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了
周,转过
的弧度为-
×2π=-
π.
2.如果一扇形的弧长变为原来的
倍,半径变为原来的一半,则该扇形的面积
为原扇形面积的______.?
【解析】由于S=
lR,若l′=
l,R′=
R,
则S′=
答案:
3.直径为20
cm的圆中,求下列两个圆心角所对的弧长及扇形面积.(1)
;(2)165°.
【解析】(1)l=|α|·r=
π×10=
π(cm),
S=
|α|·r2=
×
π×102=
π(cm2).
(2)165°=
×165
rad=
π
rad.
所以l=|α|·r=
π×10=
π(cm).
S=
l·r=
×
π×10=
π(cm2).
1.-630°化为弧度为
( )
【解析】选A.-630°=-630×
课堂检测·素养达标
2.下列各对角中,终边相同的是
( )
【解析】选C.在弧度制下,终边相同的角相差2π的整数倍.
3.若扇形的半径变为原来的2倍,且弧长也增加到原来的2倍,则
( )
A.扇形的圆心角大小不变
B.扇形的圆心角增大到原来的2倍
C.扇形的圆心角增大到原来的4倍
D.扇形的圆心角减小到原来的一半
【解析】选A.设扇形原来的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则变化后半径为2r,
弧长为2l,圆心角为β,所以
即扇形的圆心角大小不变.
4.在[-2π,2π]内与α=-
的终边相同的角为______.?
【解析】与α=-
终边相同的角的集合为
P=
令k=1,2,得β=
答案:
5.(教材二次开发:练习改编)把下列各角化为2kπ+α,k∈Z,0≤α<2π的形式,
并判断该角是第几象限角.
(1)
π;
(2)-1
104°.
【解析】(1)
π=6π+
.因为
是第二象限角,
所以
π是第二象限角.
(2)-1
104°=-1
104×
=-8π+
π.
因为
π是第四象限角,所以-1
104°是第四象限角.
三 弧 度 制
【基础通关—水平一】
(15分钟 30分)
1.下列说法中,错误的是
( )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的
,1
rad的角是周角的
C.1
rad的角比1°的角要大
D.用弧度制度量角时,角的大小与圆的半径有关
课时素养评价
【解析】选D.由角度制和弧度制的定义,知A,B,C说法正确.用弧度制度量角时,角的大小与所对圆弧长与半径的比有关,而与圆的半径无关,故D说法错误.
2.角-
π的终边所在的象限是
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.-
π=-4π+
π,
π的终边位于第四象限.
3.下列各角中与240°角终边相同的角为
( )
【解析】选C.240°=
4.集合
中的角所表示的范围(阴影部分)是
( )
【解析】选C.当k=2m,m∈Z时,2mπ+
≤α≤2mπ+
,m∈Z;
当k=2m+1,m∈Z时,2mπ+
≤α≤2mπ+
,m∈Z.
5.把下列各角化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)
的形式且指出它是第几象限角,
并写出与它终边相同的角的集合.
(1)-
;(2)-1
485°;(3)-20.
【解析】(1)-
=-8×2π+
,它是第二象限角,终边相同的角的集合为
(2)-1
485°=-5×360°+315°=-5×2π+
,它是第四象限角.终边相同的
角的集合为
(3)-20=-4×2π+(8π-20),而
<8π-20<2π.
所以-20是第四象限角,终边相同的角的集合为{β|β=2kπ+(8π-20),k∈Z}.
【补偿训练】
如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.
【解析】因为120°=
×120=
,
所以l=6×
=4π,所以
的长为4π.
所以S扇形OAB=
lr=
×4π×6=12π,
如图所示,有S△OAB=
×AB×OD(D为AB中点)=
×2×6cos
30°×3=9
.
所以S弓形ACB=S扇形OAB-S△OAB=12π-9
.所以弓形ACB的面积为12π-9
.
【能力进阶—水平二】
(20分钟 45分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在半径为10的圆中,240°的圆心角所对弧长为
( )
A.
π B.
π C.
π D.
π
【解析】选A.240°=240×
rad=
π
rad,
所以弧长l=|α|·r=
π×10=
π.
2.若α=-3,则角α的终边在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.因为-π<-3<-
,所以-3是第三象限角.
3.把
表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是
( )
【解析】选A.令
=θ+2kπ(k∈Z),
则θ=
-2kπ(k∈Z),取k≤0的值,k=-1时,θ=-
,|θ|=
;
k=-2时,θ=
,|θ|=
;
k=0时,θ=
,|θ|=
4.设集合
N={α|-π<α<π},则M∩N=
( )
A.
B.
C.
D.?
【解析】选A.由-π<
<π,得-
.
因为k∈Z,所以k=-1,0,1,2,
所以M∩N=
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.若2π<α<4π且α与-
角的终边垂直,则α是
( )
A.
π
B.
π
C.3π
D.
π
【解析】选AD.α=
+2kπ=2kπ-
π,k∈Z,
因为2π<α<4π,所以k=2,α=
π;
或者α=
+2kπ=2kπ-
π,k∈Z,
因为2π<α<4π,所以k=2,α=
π.
综上,α=
π或
π.
【光速解题】可以数形结合,画出角的终边进行判断.
三、填空题(每小题5分,共10分)
6.在△ABC中,若A∶B∶C=3∶5∶7,则角A,B,C的弧度数分别为______.?
【解析】因为A+B+C=π,又A∶B∶C=3∶5∶7,所以
答案:
7.扇形圆心角为
,半径为a,则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为
______.?
【解题指南】求解的关键是找到扇形半径和圆的半径的关系.
【解析】如图,设内切圆半径为r,则r=
,所以S圆=π·
所以
.
答案:2∶3
四、解答题
8.(10分)如图,已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.求α(∠AOB)所在的扇形的弧长l(劣弧)及弧所在的弓形的面积S.
【解析】由☉O的半径r=10=AB知△AOB是等边三角形,所以α=∠AOB=60°=
.
所以弧长l=α·r=
所以
而
所以S=S扇形-S△AOB=50
【补偿训练】
已知α=-800°.
(1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈
【解析】(1)因为-800°=-3×360°+280°,280°=
π,所以α=-800°
=
π+(-3)×2π.
因为α与
角的终边相同,所以α是第四象限角.
(2)因为与α终边相同的角可写为2kπ+
,k∈Z的形式,而γ与α的终边相
同,所以γ=2kπ+
,k∈Z.又γ∈
,
所以
k∈Z,
解得k=-1,所以γ=-2π+
=-
.温馨提示：
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§3 弧 度
新课程标准
学业水平要求
1.了解角的另外一种度量方法——弧度制.2.能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算.
★水平一能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度数.(数学抽象)★水平二会用弧度解决一些实际问题(弧长公式和面积公式的应用).(数学运算)
必备知识·自主学习学生用书P7
导思
1.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗?2.扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示?
1.弧度制
(1)角度制与弧度制的定义
角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,规定1度的角等于周角的
弧度制
在单位圆中,把长度等于1的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.以弧度作为单位来度量角的方法,叫作弧度制
(2)角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么|α|=.
2.角度制与弧度制的换算
(1)常见角度与弧度互化公式如下:
角度化弧度
弧度化角度
360°=2π
rad
2π
rad=360°
180°=π
rad
π
rad=180°
1°=
rad≈0.017
45
rad
1
rad=°≈57.30°
(2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有:
角度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则
度量单位类别
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l=
l=|α|·R
扇形的面积
S=
S=l·R=|α|·R2
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)1弧度指的是1度的角.( )
(2)周角的大小是2π.( )
(3)弧长为π,半径为2的扇形的圆心角是直角.( )
提示:(1)×.1弧度指的是长度等于半径的弧所对的圆心角.
(2)√.周角的大小是=2π.
(3)√.若弧长为π,半径为2,则|α|=,故其圆心角是直角.
2.下列转化结果错误的是( )
A.60°化成弧度是
B.-π化成度是-600°
C.-150°化成弧度是-
D.化成度是15°
【解析】选C.对于A,60°=60×=;
对于B,-π=-×180°=-600°;
对于C,-150°=-150×=-;
对于D,=×180°=15°.
3.(教材二次开发:习题改编)若θ=-5,则角θ的终边在( )
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
【解析】选D.2π-5与-5的终边相同,
因为2π-5∈,
所以2π-5是第一象限角,则-5也是第一象限角.
4.若扇形的圆心角为60°,半径为1,则扇形的弧长l=________.?
【解析】因为α=60°=,r=1,所以l=|α|·r=.
答案:
关键能力·合作学习学生用书P8
类型一 角度与弧度的互化(数学运算)
【典例】将下列角度与弧度进行互化:
(1)20°;(2)-15°;(3);(4)-π.
【思路导引】利用1°=rad和1
rad=°进行化简.
【解析】(1)20°=20×
rad=
rad.
(2)-15°=-15×
rad=-
rad.
(3)π
rad=×180°=105°.
(4)-π
rad=-×180°=-396°.
角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点
(1)原则:牢记180°=π
rad,充分利用1°=rad和
1
rad=°进行换算.
(2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α
rad=α·°;n°=n·rad.
(3)注意点:①用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略不写;
②用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要求,不必把π写成小数;
③度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
将下列各角度与弧度互化:
(1)π;(2)-π;(3)-157°30′.
【解析】(1)π=×180°=75°;
(2)-π=-×180°=-210°;
(3)-157°30′=-157.5°=-157.5×
rad=
-π
rad.
类型二 用弧度制表示终边相同的角(数学运算、直观想象)
1.把-1
125°化为2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式是( )
A.-6π-
B.-6π+
C.-8π-
D.-8π+
2.在0°～720°范围内,找出与角终边相同的角.
3.若β∈[-4π,0],且β与π的终边相同,求β.
【解析】1.选D.因为-1
125°=-4×360°+315°,315°=315×=,所以
-1
125°=-8π+.
2.因为=4π+π=720°+72°,所以与角终边相同的角构成集合
{θ|θ=72°+k·360°,k∈Z}.当k=0时,θ=72°;当k=1时,θ=432°,所以在
0°～720°范围内,与角终边相同的角为72°,432°.
3.由题意知β=2kπ+π(k∈Z),又因为β∈[-4π,0],所以令k=-1,-2得
β1=-π,β2=-π.
1.无论用角度制还是用弧度制来度量角,都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角与它对应.
2.用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈Z)时,注意2kπ是π的偶数倍.
【补偿训练】
用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2
015°是不是这个集合的元素.
【解析】因为150°=,所以终边在阴影区域内角的集合为S=.
因为2
015°=215°+5×360°=+10π,
又<<,所以2
015°=+10π∈S,即2
015°是这个集合的元素.
类型三 弧长公式与面积公式的应用(数学运算)
角度1 公式正用求扇形的弧长、面积?
【典例】已知扇形OAB的圆心角α为120°,半径长为6.求的长.
【思路导引】先把圆心角化为弧度制,再代入公式求解.
【解析】因为α=120°=π,r=6,所以的长l=π×6=4π.
已知扇形的弧所对的圆心角为27°,半径r=20
cm,则扇形的周长为( )
A.3π
cm
B.30
cm
C.(40+3π)cm
D.540
cm
【解析】选C.27°=27×
rad=
rad,扇形的周长为20×2+×20=(40+3π)cm.
角度2 公式逆用求扇形圆心角、半径?
【典例】已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角.
【思路导引】先用公式表示出周长和面积,再解方程组求解.
【解析】设圆心角是θ,半径是r,
则?或(舍).
故扇形圆心角为.
火车站钟楼上有座大钟,这座大钟的分针20
min所走的圆弧长是
m,则这座大钟分针的长度为______m.?
【解析】因为分针20
min转过的角为,所以由l=αr,得r===0.5(m),即这座大钟分针的长度为0.5
m.
答案:0.5
角度3 求扇形中的最值?
【典例】已知一扇形的周长为40
cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
【思路导引】利用扇形面积公式列方程求解.
【解析】设扇形的圆心角为θ,半径为r,弧长为l,面积为S,则l+2r=40,所以l=40-2r.
所以S=lr=×(40-2r)r=20r-r2=-(r-10)2+100.
所以当半径r=10
cm时扇形的面积最大,最大值为100
cm2,此时
θ==rad=2
rad.
所以当扇形的圆心角为2
rad,半径为10
cm时,扇形的面积最大为100
cm2.
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键,有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题,将扇形面积表示为半径的函数,转化为r的二次函数的最值问题.
1.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A.π
B.-π
C.π
D.-π
【解析】选B.显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了周,转过的弧度为-×2π=-π.
2.如果一扇形的弧长变为原来的倍,半径变为原来的一半,则该扇形的面积为原扇形面积的______.?
【解析】由于S=lR,若l′=l,R′=R,
则S′=l′R′=×l×R=S.
答案:
3.直径为20
cm的圆中,求下列两个圆心角所对的弧长及扇形面积.(1);(2)165°.
【解析】(1)l=|α|·r=π×10=π(cm),
S=|α|·r2=×π×102=π(cm2).
(2)165°=×165
rad=π
rad.
所以l=|α|·r=π×10=π(cm).
S=l·r=×π×10=π(cm2).
课堂检测·素养达标学生用书P9
1.-630°化为弧度为( )
A.-
B.
C.-
D.-
【解析】选A.-630°=-630×=-.
2.下列各对角中,终边相同的是( )
A.π和2kπ-π(k∈Z)
B.-和π
C.-π和π
D.π和π
【解析】选C.在弧度制下,终边相同的角相差2π的整数倍.
3.若扇形的半径变为原来的2倍,且弧长也增加到原来的2倍,则( )
A.扇形的圆心角大小不变
B.扇形的圆心角增大到原来的2倍
C.扇形的圆心角增大到原来的4倍
D.扇形的圆心角减小到原来的一半
【解析】选A.设扇形原来的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则变化后半径为2r,弧长为2l,圆心角为β,所以α=,β===α,即扇形的圆心角大小不变.
4.在[-2π,2π]内与α=-的终边相同的角为______.?
【解析】与α=-终边相同的角的集合为
P=,
令k=1,2,得β=-,.
答案:-,
5.(教材二次开发:练习改编)把下列各角化为2kπ+α,k∈Z,0≤α<2π的形式,并判断该角是第几象限角.
(1)π;
(2)-1
104°.
【解析】(1)π=6π+.因为是第二象限角,
所以π是第二象限角.
(2)-1
104°=-1
104×=-π=-8π+π.
因为π是第四象限角,所以-1
104°是第四象限角.
三 弧 度 制
(15分钟 30分)
1.下列说法中,错误的是( )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的,1
rad的角是周角的
C.1
rad的角比1°的角要大
D.用弧度制度量角时,角的大小与圆的半径有关
【解析】选D.由角度制和弧度制的定义,知A,B,C说法正确.用弧度制度量角时,角的大小与所对圆弧长与半径的比有关,而与圆的半径无关,故D说法错误.
2.角-π的终边所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.-π=-4π+π,π的终边位于第四象限.
3.下列各角中与240°角终边相同的角为( )
A.
B.-
C.-
D.
【解析】选C.240°=,而-=-2π.
4.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
【解析】选C.当k=2m,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z;当k=2m+1,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z.
5.把下列各角化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)
的形式且指出它是第几象限角,并写出与它终边相同的角的集合.
(1)-;(2)-1
485°;(3)-20.
【解析】(1)-=-8×2π+,它是第二象限角,终边相同的角的集合为.
(2)-1
485°=-5×360°+315°=-5×2π+,它是第四象限角.终边相同的角的集合为β|β=2kπ+,k∈Z.
(3)-20=-4×2π+(8π-20),而<8π-20<2π.
所以-20是第四象限角,终边相同的角的集合为{β|β=2kπ+(8π-20),k∈Z}.
【补偿训练】
如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.
【解析】因为120°=×120=,
所以l=6×=4π,所以的长为4π.
所以S扇形OAB=lr=×4π×6=12π,
如图所示,
有S△OAB=×AB×OD(D为AB中点)=×2×6cos
30°×3=9.所以S弓形ACB=
S扇形OAB-S△OAB=12π-9.所以弓形ACB的面积为12π-9.
(20分钟 45分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在半径为10的圆中,240°的圆心角所对弧长为( )
A.π B.π C.π D.π
【解析】选A.240°=240×
rad=π
rad,
所以弧长l=|α|·r=π×10=π.
2.若α=-3,则角α的终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.因为-π<-3<-,所以-3是第三象限角.
3.把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.令-=θ+2kπ(k∈Z),
则θ=--2kπ(k∈Z),取k≤0的值,k=-1时,θ=-,|θ|=;k=-2时,
θ=,|θ|=>;
k=0时,θ=-,|θ|=>.
4.设集合M=,N={α|-π<α<π},则M∩N=( )
A.
B.
C.
D.?
【解析】选A.由-π<-<π,得-因为k∈Z,所以k=-1,0,1,2,
所以M∩N=.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.若2π<α<4π且α与-角的终边垂直,则α是( )
A.π
B.π
C.3π
D.π
【解析】选AD.α=-π-+2kπ=2kπ-π,k∈Z,
因为2π<α<4π,所以k=2,α=π;
或者α=-π++2kπ=2kπ-π,k∈Z,
因为2π<α<4π,所以k=2,α=π.
综上,α=π或π.
【光速解题】可以数形结合,画出角的终边进行判断.
三、填空题(每小题5分,共10分)
6.在△ABC中,若A∶B∶C=3∶5∶7,则角A,B,C的弧度数分别为______.?
【解析】因为A+B+C=π,又A∶B∶C=3∶5∶7,所以A==,B==,C=.
答案:,,
7.扇形圆心角为,半径为a,则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比
为______.?
【解题指南】求解的关键是找到扇形半径和圆的半径的关系.
【解析】如图,设内切圆半径为r,则r=,所以S圆=π·=,S扇=a2·=,所以=.
答案:2∶3
四、解答题
8.(10分)如图,已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.求α(∠AOB)所在的扇形的弧长l(劣弧)及弧所在的弓形的面积S.
【解析】由☉O的半径r=10=AB知△AOB是等边三角形,所以α=∠AOB=60°=.
所以弧长l=α·r=×10=,
所以S扇形=lr=××10=,
而S△AOB=·AB·5=×10×5=,所以S=S扇形-S△AOB=50.
【补偿训练】
已知α=-800°.
(1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈.
【解析】(1)因为-800°=-3×360°+280°,280°=π,所以α=-800°=
π+(-3)×2π.
因为α与角的终边相同,所以α是第四象限角.
(2)因为与α终边相同的角可写为2kπ+,k∈Z的形式,而γ与α的终边相同,所以γ=2kπ+,k∈Z.又γ∈,
所以-<2kπ+<,k∈Z,
解得k=-1,所以γ=-2π+=-.
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