江苏省省前中2021届高三上学期第一次学情检测（11月）数学试卷 Word版含答案

省前中高三第一学期第一次学情检测
数学试卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上．
2. 第Ⅰ卷的答案须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.
3. 答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定的区域内相应位置,否则，该答题无效.
4. 书写力求字体工整、笔迹清楚.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1、已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2、据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数的共轭复数为，则（ ）
A． B． C． D．
3、我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象的特征，如函数在区间上的图象的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
4、 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
5、已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在（552，651]的人数约为（ ）
(附：，则
A．3 6014 B．72 027
C． 108 041 D． 168 222
6、若则的最小值为（　　）
A. 8 B. 6 C. 12 D. 9
7、已知正方形ABCD的边长为1，P为平面ABCD内一点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8、已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则等于（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9、设是等差数列，是其公差，是其前项和.若则下列结论正确的是（ ）

10、函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A．该函数的解析式为 B．该函数的对称中心为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
11、下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“对任意，”的否定是“存在，使得”
C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，，则“”是“”的必要不充分条件
12.定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则（ ）
A. 是的一个“完美区间”
B. 是的一个“完美区间”
C. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、在等差数列中，，则的值为_________．
14、公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则 ．
在直角梯形中，, 分别为的中点，设以为圆心， 为半径的圆弧上的动点为 (如图所示)，则的取值范围是 ______________.
16、已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为.
①若，则 ；
②若则的取值范围是 ．
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、【本题满分10分】
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知的内角，，的对边分别为，，________，，，求的面积．
18、【本题满分10分】
已知在等差数列中，，．
（Ⅰ）设，求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
19、【本题满分12分】
设向量，，．
（1）若，求的值；
（2）设函数，求的最大值．
20、【本题满分12分】
自2018年9月6日美拟对华2000亿美元的输美商品加征关税以来，中美贸易战逐步升级，我国某种出口产品的关税税率为，市场价格(单位：千元)与市场供应量(单位：万件)之间近似满足关系式：，其中均为常数．当关税税率时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．
(1)试确定的值；
市场需求量(单位：万件)与市场价格近似满足关系式：，当时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．
【本题满分12分】
已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）证明：函数在区间内必有局部对称点；
（2）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.
22、【本题满分14分】
已知函数
（1）若曲线与直线在处相切.
①求的值；
②求证：当时，；
（2）当且时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
省前中高三第一学期第一次学情检测
数学试卷参考答案
单选题：CDACB CDA
多选题：ABD ACD ABD AC
填空题：48 3；
解答题：
17、解：若选择①，
则由余弦定理得，
因为，所以．
若选择②，
则，
因为，所以，
因为，所以．
若选择③，
则，所以，
因为，所以，
所以，所以．
由正弦定理，
得．
因为，，所以，
所以，
所以．
18、解：（Ⅰ）设公差为的等差数列中，，．
整理得，解得，
所以．
由于，所以，，
整理得（常数），
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）由于数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以．
所以，
故：．
19、（1）；（2）．
（1）由，，及，得，
又，从而，所以．
（2），
当时，，
∴当时，即时，取最大值，
所以的最大值为．
20、解：(1）由已知得，解得
………………………6分
(2)当时，，
所以 ，故 …………9分
而在上单调递减，所以当时，有最小值
此时，取得最大值， ……11分
故当时，关税税率的最大值为 ……12分
21、证明：（1）设，则，令，则，
解得，即当时，，即成立，
即函数在区间内必有局部对称点
解：（2），则在R上有解.
即在R上有解，
于是（*）在R上有解.
令，则，所以方程（*）变为，
设，则，
由，在上单调递增知，，，，
即此时，所以函数在上单调递减；
设，则，
由，在上单调递增知，，，，
即此时，所以函数在上单调递增；
故，从而已知即在上有解.
设（），分为两种情况：
①当方程有在唯一解时：
则或，
解得，；解得，，
则；
②当方程在有两个解时：.
综上得.
22、解：（1）①因为，所以.
因为曲线与直线在处相切，
所以，所以.
所以，所以.
又切点在直线上，所以，
所以，所以
② 由①知，可设，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由，所以，
所以存在，使得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，
即，当且仅当时取等号，
所以当时，，
故当时，
(3）先证. 构造函数，则.
故当时，，在上递增，当时，，在上递减，
所以，即
又当，且时，等价于
故原题等价于时，有解.
因为（当时取等号），
所以.