人教版九年级数学上册考点与题型归纳第24章24.4弧长和扇形面积（基础与培优）（word版含解析）

人教版九年级数学上册第二十四章
圆
24.4
弧长和扇形面积
一：考点归纳
考点一、弧长公式
半径为
R，圆心角为
n°的弧长为
考点二、扇形及扇形面积公式
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形.
半径为
R，圆心角为
n°的扇形面积为,半径为
R，扇形的弧长为
l的扇形面积为
考点三、圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为
l，底面圆的半径为
r，那么这个扇形的半径为
l，扇形的弧长（底面圆的周长）为
，因此圆锥的侧面积为
，圆锥的全面积为rl
r
2
=
r(l
r
)
.
二：【题型归纳】
题型一：弧长公式
1．一个扇形的半径为8
cm，弧长为π
cm，则扇形的圆心角为(　　)
A．60°
B．120°
C．150°
D．180°
2．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（　　）
A．
B．
C．
D．
题型二：扇形及扇形面积公式
3．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（　　）
A．π﹣2
B．π﹣
C．π﹣2
D．π﹣
4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径画，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S2﹣S1的值为（　　）
A．﹣4
B．
+4
C．﹣2
D．
+2
题型三：圆锥的侧面积和全面积
5．已知圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知圆锥的高为，母线为，且，圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形．将扇形沿折叠，使点恰好落在上的点，则弧长与圆锥的底面周长的比值为（
）
A．
B．
C．
D．
三：基础巩固和培优
一、单选题
1．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（
）
A．π
B．1
C．2
D．
2．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（　　）
A．1cm
B．3cm
C．6cm
D．9cm
3．如图，AB为半圆的直径，其中，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
4．两个半径相等的扇形，其中一个扇形的弧长是另一个扇形弧长的，那么两个扇形中大的面积是小的面积的（
）
A．4倍
B．倍
C．16倍
D．倍
5．如图，在中，，分别以为圆心，以的长为半径作圆，将截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（
）cm2．
A．
B．
C．
D．
6．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（　　）
A．R＝2
B．R＝3
C．R＝4
D．R＝5
7．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为10，∠ACB＝45°，则扇形AOB的面积为（　　）
A．5π
B．12.5π
C．20π
D．25π
9．如图，在扇形中，为弦，，，，则的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．2﹣
B．2﹣
C．4﹣
D．4﹣
二、填空题
11．已知圆锥的底面半径为6，母线长为8，圆锥的侧面积为______．
12．如图，在扇形中，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点．点为弧的中点，连接．若，则阴影部分的面积为____________．
13．在扇形OAB中，半径OA=2，S扇形OAB=π，则圆心角∠AOB=______________．
14．如图，△ABC中，AC＝6，∠A＝75°，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，当点D落在AC上时，BE∥AC，则阴影部分的面积为_____．
15．如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作的外接圆，则的长等于________．
三、解答题
16．如图，在中，BC＝4，且的面积为4，以点A为圆心，2为半径的⊙A交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠＝45°．
（1）求证：BC为⊙A的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
17．如图，以为直径，点为圆心的半圆上有一点且点为上一点．将沿直线对折得到点的对应点为且与半圆相切于点连接交半圆于点．
（1）求证：；
（2）当时，求图中阴影部分面积．
18．如图，在中，AB是直径，AP是过点A的切线，点C在上，点D在AP上，且，延长DC交AB于点E．
（1）求证：．
（2）若的半径为5，，求的长．（结果保留）
19．如图，在⊙O中，弦AB⊥弦CD于点E，弦AG⊥弦BC于点F，AG与CD相交于点M．
（1）求证：；
（2）若弧＝80°，⊙O的半径为6，求的弧长和．
试卷第1页，总3页
(
1
)
参考答案
题型归纳
1．B
【详解】
试题分析：设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式得到，然后解方程即可．
试题解析：设扇形的圆心角为n°，
根据题意得
，
解得n=120，
所以扇形的圆心角为120°．
故选B．
考点：弧长的计算．
2．C
【详解】
试题分析：如图，
连接OA、OB，
∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴的长为
.
故选C．
3．C
【详解】
解：连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为2，
∴OB＝OA＝OC＝2，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD＝OB＝1，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD＝＝，AC＝2CD＝2，
∵sin∠COD＝＝，
∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，
∴S菱形ABCO＝OB×AC＝×2×2＝2，
S扇形AOC＝＝π，
则图中阴影部分面积为S扇形AOC﹣S菱形ABCO＝π﹣2，
故选：C．
4．A
【详解】
解：由图形可知，扇形ADC的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积﹣正方形ABCD的面积＝阴影部分②的面积，
∴S2﹣S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积
，
故选A．
5．B
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴母线长为5，
∴圆锥的侧面积为：πrl=π×3×5=15π，
故选B．
6．B
【详解】
连接AF，如图，
设OB=5a，AB=18a，∠BAC=n°
∴，
解得n=100
即∠BAC=100°
∵将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在上F点，
∴BA=BF
而AB=AF
∴△ABF为等边三角形
∴∠BAF=60°
∴∠FAC=40°
∴的长度=
∴弧长CF与圆锥的底面周长的比值=
故选：B
三：基础巩固和培优
一、单选题
1．C
【解析】
设扇形的半径为r，则弧长也为r，根据扇形的面积公式得．故选C．
2．B
【详解】
解：设这个扇形的半径是rcm．
根据扇形面积公式，得＝3π，
解得r＝±3（负值舍去）．
故答案为3．
3．B
【详解】
解：半圆AB绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，
，．
，
．
故选B．
4．A
【详解】
设大扇形的圆心角为，小扇形的圆心角为，他们的半径都为r，
根据题意可知，
所以，
则两个扇形的面积比，
所以两个扇形中大的面积是小的面积的4倍，
故选：A．
5．A
【详解】
解：如图，
∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
，△ABC的面积是：，
，
故阴影部分的面积是：，
故选A.
6．C
【详解】
解：扇形的弧长是：＝，
圆的半径r＝1，则底面圆的周长是2π，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2π，
∴＝2，
即：R＝4，
故选C．
7．B
【详解】
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB=2，
∴△ABD的高为，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，
，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-S△ABD=
=．
故选B．
8．D
【详解】
解：∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵半径为10，
∴扇形AOB的面积为：＝25π，
故选：D．
9．B
【详解】
连接，
，
为等边三角形，
，
，
则的长，
故选．
10．A
【详解】
如图，过A作AE⊥BC于E，
∵AB=2，∠ABC=30°，
∴AE=AB=1，
又∵BC=4，
∴阴影部分的面积是×4×1-=2-π，
故选A．
11．48π
【详解】
解：圆锥的侧面积＝?2π?6?8＝48π．
故答案为：48π．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12．
【详解】
如图，连接OE，过点E作EF⊥OB于F，
∵点为弧的中点，
∴，
∴∠AOE=∠BOE，
∵
∴∠AOE=∠BOE=45°，
∵EF⊥OB，
∴∠OEF=∠BOE=45°，
∴EF=OF,
∵OE=OA=4，
∵,
∴EF=OF=,
∵OC=OD=2，
∴==,
故答案为：.
13．90°．
【详解】
解：由扇形面积代入数据：即，
解得：，
故答案为：．
14．3π﹣18+9
【详解】
解：∵∠A＝75°，AB＝BD，
∴∠ADB＝∠A＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠CBE＝ABD＝30°，
∵BE∥AC，
∴∠ACB＝∠CBE＝30°，
∴∠ABC＝75°，
∴BC＝AC＝6，
作BM⊥AC于M，则AM＝DM，
∴BM＝BC＝3，MC＝BC＝3，
∴AM＝AC﹣MC＝6﹣3，
∵AD＝12﹣6，
由图形可知，阴影部分的面积＝△BDC的面积+扇形BCE的面积﹣△ABC的面积，
∴阴影部分的面积＝扇形BCE的面积﹣△ABD的面积＝﹣＝3π﹣18+9，
故答案为：3π﹣18+9．
15．
【详解】
解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB=2，AC=，BC=，
∴AC2＋BC2=AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴连接OC，则∠COB=90°，
∵OB=
∴的长为：=
故答案为：．
16．（1）
【详解】
解：（1）过点A作AD⊥BC，如图，
∵BC=4，S△ABC=4，
∴，
∴AD=2，
又⊙A的半径为2，
∴BC与⊙A相切，切点为点D，
（2）∵由（1）可知⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC，且AD＝2，
又∵∠EPF＝45°
∴∠BAC=90°，
而BC＝4，，
∴＝＝BC×AD﹣＝．
17．（1）连接OC，根据切线的性质得到∠B'CO=90，根据等边三角形的性质、翻转变换的性质计算，得到∠B′DB=90°，证明结论；
（2）求出∠B′OC=45°，根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）连接
与半圆相切于点
，
是等边三角形.
.
沿直线对折得到
.
在中，.
，
.
是等边三角形，
．
18．（1）
【详解】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AP是过点A的切线，
∴∠BAD＝90°．
∴∠BAC＋∠CAD＝90°，∠AED＋∠EDA＝90°．
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA．
∴∠CAE＝∠AEC．
∴CA＝CE．
（2）解：连结OC，
∵∠AEC＝50°，
∴∠EAC＝50°．
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠EAC＝50°．
∴∠AOC＝180°－
OCA－∠EAC＝80°．
∴的长为．
19．（1）根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠DCB=∠GAB，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据三角形的外角性质得到∠ACD+∠CAG=40°，根据弧长公式计算即可．
【详解】
（1）证明：∵AB⊥CD，AG⊥BC，
∴∠DCB+∠B＝90°，∠GAB+∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠GAB，
∴；
（2）∵的度数是80°，
∴∠B＝40°，
∴∠DCB＝50°，
∴∠GMC＝40°，
∴∠ACD+∠CAG＝40°，
∴的弧长和＝＝．
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