人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径 课例分析课件（共32张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径 课例分析课件（共32张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 293.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-02 09:25:02 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
《24.1.2垂直于弦的直径》
课例分析
24.1.2垂直于弦的直径
（第一课时）
教学目标
1．通过观察实验，理解圆的轴对称性；
2．掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
?
3.
经历探索垂径定理的过程，提升观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力.
24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）
教学重点：
垂径定理及应用.
教学难点：垂径定理的证明及应用.
1.动手探究
2.探究新知
教学环节
3.新知应用
4.课堂小结
5.布置作业
动手探究
如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径
所在直线都是圆的对称轴.
证明：连接OA，O
A
′.
在△
OA
A
′中，
∵OA=OA
′，
∴
△
OA
A
′是等腰三角形.
又∵A
A
′
⊥CD，
∴AM=M
A
′
，
即CD是A
A
′
的垂直平分线.
如何证明圆是轴对称图形？
初稿：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于
直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.
证明：连接OA，O
A
′.
在△
OA
A
′中，
∵OA=OA
′，
∴
△
OA
A
′是等腰三角形.
又∵A
A
′
⊥CD，
∴AM=M
A
′
，
即CD是A
A
′
的垂直平分线.
如何证明圆是轴对称图形？
定稿：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于
直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.我们还可以证明，
对于圆上任意一点A在圆上都能找到一点A＇，这两点关于直径
所在直线对称，我们如何找到这样的点A＇呢？
将证明思路和证明过程更好衔接.
探究新知
如果我们在⊙O中任意画一条弦AB，如图，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗？若是，你能找到它的对称轴吗？
承接前面圆是轴对称图形的探究，只是图形增加一条弦，有助于学生积极思考，大胆猜想，动手实践获得成就感.
1.动手实验得结论；
探究新知
设直径CD与弦AB垂直于点E（如图）,在沿直径CD所在直线对折的过程中，观察图中还有哪些相等的线段和相等的弧？
通过该问题引导学生探究、发现垂径定理，初步感知.
2.动画演示得猜想；
·
O
A
B
C
E
探究新知
猜想：如果有一条直径垂直于弦，那么它就能平分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.
那又该如何验证这个猜想呢？
引导学生利用圆的轴对称性证明猜想.
3.验证猜想得定理；
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
∵CD是⊙O的直径，
CD⊥AB于点E，
∴AE=BE，
一条直线若满足：
①过圆心,
②垂直于弦,
则③平分弦,
④平分弦所对的优弧，
⑤平分弦所对的劣弧．
探究新知
，
．
4.归纳定理再总结；
注意：定理中的两个条件缺一不可①过圆心，②垂直于弦.
这五条的总结既可以加深学生对定理的理解，又为后面学习垂径定理的推论的做好准备.
下列图形是否适合用垂径定理呢？
AB⊥CD于E
OE⊥AB于E
OC⊥AB于E
CD为直径
①过圆心，②垂直于弦．
探究新知
在这组图形中，学生通过结合图形，进一步理解定理应用的条件①过圆心，②垂直于弦缺一不可，对于定理中的“径”，有时无须出现直径或半径，可以是过圆心的直线和线段.通过图形辨析深化学生对定理的理解，使得定理的内容得到及时巩固，总结了应用定理的基本图形.
例1
如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，
圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
新知应用
3
4
例2
如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂
足
为E，若CE=2cm，AB=8cm，求⊙O的半径．
2
主要是在计算上应用垂径定理解决问题，常用的辅助线是作过圆心垂直于弦的线段，有时通过设未知数列方程的方法解决问题，充分渗透方程思想，将勾股定理和垂径定理结合起来应用.学会规范书写解题格式，通过图形逐步熟悉垂径定理的基本图形，熟悉半径，弦长，圆心到弦的距离三者之间的关系，为例题之后的思考归纳做好准备工作.
思路1：连接OA，OB，OC，OD．
证明△OAC≌△OBD（证明△OAD≌△OBC）．
例3
如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD．
新知应用
思路2：连接OA，OB，OC，OD．
过点O作OE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质．
例3
如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD．
新知应用
思路3：过点O作OE⊥AB于点E，
根据垂径定理．
引导学生观察图形，逐步发现垂径定理的基本图形，在寻找其他更好的方法的过程中，
学生的思维得到不断的锻炼.
新知应用
思考1
在应用垂径定理的过程中，常用的辅助线是什么？
设置思考归纳环节，通过例题的进一步理解，及时总结归纳有助于学生养成系统整理知识的习惯，对应用垂径定理的基本图形，基本方法，基本规律有了一定的认识，也为本节课的课堂小结做了铺垫.
思考2
如果我们设圆的半径为
，圆心到弦的距离为
，弦长为
，你能找到它们三者之间的关系吗？
课堂小结
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
进一步熟悉垂径定理的内容及应用垂径定理的基本图形.
课堂小结
2．常用的辅助线是从圆心作一条与弦垂直的
线段，连接半径，
构造直角三角形．那么圆的半径
，圆心到弦的距离
，弦
长
之间
的关系式为
.
从数学方法和数学思想的方面总结了垂径定理应用的注意事项，提升了学生的能力和思维.
1．如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，
则∠AOB=
°，点O到AB的距离为
．
布置作业
2．在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，
以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，
求AD的长．
3．如图，在⊙O中，AB、AC是两条互相垂直
且相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分
别为D、E．求证：四边形ADOE是正方形．
24.1.2垂直于弦的直径
（第二课时）
教学目标：探究垂径定理的推论及简单应用.
教学重点：垂径定理推论及应用.
教学难点：垂径定理推论的探究.
24.1.2垂直于弦的直径（第二课时）
1.回顾引入
2.探究新知
教学环节
3.新知应用
5.课堂小结
6.布置作业
4.拓展探究
回顾引入
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
如图，⊙O中，AB、AC是弦，AB是直径.
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
∵CD是⊙O的直径，
CD⊥AB于点E，
∴AE=BE，
，
．
回顾引入
复习垂径定理时设计了改变弦的位置的环节，分为弦过圆心和不经过圆心的两种情况，
为后面垂径定理的推论中平分不是直径的弦做好铺垫.
此环节为本节课垂径定理的推论的学习做好充足的准备.
探究新知
①
②
③
④
⑤
①
③
②
④
⑤
√
？
①过圆心,
②垂直于弦,
③平分弦,
④平分弦所对的优弧,
⑤平分弦所对的劣弧.
猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦，
也能平分这条弦所对的两条弧.
在画图中熟悉几何的文图式三种语言的相互转换.
思考被平分的弦的多种情况，
从而引出图形的多种情况.
探究新知
给出学生充分的时间和空间进行探究，呈现多种情况再来分析猜想是否成立，通过举出反例的方式可以更好理解猜想1不成立的原因,为进一步推出垂径定理推论做好铺垫.
探究新知
猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂
直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.
已知：如图，CD是⊙O的直径，
CD平分弦AB于点E．
求证：
CD⊥AB于点E，
，
．
引导学生利用等腰三角形三线合一的性质和圆的轴对称性对猜想2进行证明，从而得到垂径定理的推论
新知应用
例1
如图，如果M是⊙O中弦CD的中点，
EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=4cm，
EM=6cm，求⊙O的半径．
2
例2
已知:
如图，⊙O中，
半径OE、
OF分别平分弦AB、AC，交
AB、AC
于点D、G，交
于点E、F，并且弦EF分别交
AB、AC于点M、N.
求证:△AMN是等腰三角形.
两道例题分别为垂径定理的推论在计算中和证明中的应用，通过两道例题，
学生再次熟悉了垂径定理推论的内容及简单应用，在解题过程中获得成就感.
拓展探究
①过圆心，
②垂直于弦，
③平分弦,
④平分弦所对的优弧,
⑤平分弦所对的劣弧.
①
②
③
④
⑤
①
③
②
④
⑤
√
√
①⑤
②
③
④
√
…
思考：一共有多少种组合呢？
教材中关于垂径定理的推论只有平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.于是以拓展探究的方式给出了“知二推三”,拓宽学生的解题思路.
这里的弦
不是直径
课堂小结
推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧．
∵CD是⊙O的直径，
CD平分AB于点E
，
∴CD⊥AB，
，
回顾了本节课所学习的内容及主要的解题思路，帮助学生养成整理知识的习惯，形成知识体系.
布置作业
1
．下列命题错误的是（
）
A．垂直于弦的直径平分这条弦．
B．弦的垂直平分线经过圆心．
C．平分弧的直径平分这条弧所对的弦．D．平分弦的直径垂直于这条弦．
２.如图，在⊙O中，若弦AB的长为8，半径O
C平分
弦AB，交AB于点D
，
CD=2，求
⊙O的半径.
3
.
如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，OE平分弦
BC
，
AD⊥BC于D，则∠EAD与∠EAO相等吗？
为什么？
本节课有三道作业题目，
分别是语句判断题，应用垂径定理推论的计算题和证明题，和例题前后呼应，特别是最后一道证明题目随着后面知识的学习，还会有其他解题方法，为后续的学习留下了伏笔，引发学生继续学习的兴趣.
《24.1.2垂直于弦的直径》
课例分析
24.1.2垂直于弦的直径
（第一课时）
教学目标
1．通过观察实验，理解圆的轴对称性；
2．掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
?
3.
经历探索垂径定理的过程，提升观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力.
24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）
教学重点：
垂径定理及应用.
教学难点：垂径定理的证明及应用.
1.动手探究
2.探究新知
教学环节
3.新知应用
4.课堂小结
5.布置作业
动手探究
如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径
所在直线都是圆的对称轴.
证明：连接OA，O
A
′.
在△
OA
A
′中，
∵OA=OA
′，
∴
△
OA
A
′是等腰三角形.
又∵A
A
′
⊥CD，
∴AM=M
A
′
，
即CD是A
A
′
的垂直平分线.
如何证明圆是轴对称图形？
初稿：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于
直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.
证明：连接OA，O
A
′.
在△
OA
A
′中，
∵OA=OA
′，
∴
△
OA
A
′是等腰三角形.
又∵A
A
′
⊥CD，
∴AM=M
A
′
，
即CD是A
A
′
的垂直平分线.
如何证明圆是轴对称图形？
定稿：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于
直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.我们还可以证明，
对于圆上任意一点A在圆上都能找到一点A＇，这两点关于直径
所在直线对称，我们如何找到这样的点A＇呢？
将证明思路和证明过程更好衔接.
探究新知
如果我们在⊙O中任意画一条弦AB，如图，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗？若是，你能找到它的对称轴吗？
承接前面圆是轴对称图形的探究，只是图形增加一条弦，有助于学生积极思考，大胆猜想，动手实践获得成就感.
1.动手实验得结论；
探究新知
设直径CD与弦AB垂直于点E（如图）,在沿直径CD所在直线对折的过程中，观察图中还有哪些相等的线段和相等的弧？
通过该问题引导学生探究、发现垂径定理，初步感知.
2.动画演示得猜想；
·
O
A
B
C
E
探究新知
猜想：如果有一条直径垂直于弦，那么它就能平分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.
那又该如何验证这个猜想呢？
引导学生利用圆的轴对称性证明猜想.
3.验证猜想得定理；
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
∵CD是⊙O的直径，
CD⊥AB于点E，
∴AE=BE，
一条直线若满足：
①过圆心,
②垂直于弦,
则③平分弦,
④平分弦所对的优弧，
⑤平分弦所对的劣弧．
探究新知
，
．
4.归纳定理再总结；
注意：定理中的两个条件缺一不可①过圆心，②垂直于弦.
这五条的总结既可以加深学生对定理的理解，又为后面学习垂径定理的推论的做好准备.
下列图形是否适合用垂径定理呢？
AB⊥CD于E
OE⊥AB于E
OC⊥AB于E
CD为直径
①过圆心，②垂直于弦．
探究新知
在这组图形中，学生通过结合图形，进一步理解定理应用的条件①过圆心，②垂直于弦缺一不可，对于定理中的“径”，有时无须出现直径或半径，可以是过圆心的直线和线段.通过图形辨析深化学生对定理的理解，使得定理的内容得到及时巩固，总结了应用定理的基本图形.
例1
如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，
圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
新知应用
3
4
例2
如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂
足
为E，若CE=2cm，AB=8cm，求⊙O的半径．
2
主要是在计算上应用垂径定理解决问题，常用的辅助线是作过圆心垂直于弦的线段，有时通过设未知数列方程的方法解决问题，充分渗透方程思想，将勾股定理和垂径定理结合起来应用.学会规范书写解题格式，通过图形逐步熟悉垂径定理的基本图形，熟悉半径，弦长，圆心到弦的距离三者之间的关系，为例题之后的思考归纳做好准备工作.
思路1：连接OA，OB，OC，OD．
证明△OAC≌△OBD（证明△OAD≌△OBC）．
例3
如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD．
新知应用
思路2：连接OA，OB，OC，OD．
过点O作OE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质．
例3
如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD．
新知应用
思路3：过点O作OE⊥AB于点E，
根据垂径定理．
引导学生观察图形，逐步发现垂径定理的基本图形，在寻找其他更好的方法的过程中，
学生的思维得到不断的锻炼.
新知应用
思考1
在应用垂径定理的过程中，常用的辅助线是什么？
设置思考归纳环节，通过例题的进一步理解，及时总结归纳有助于学生养成系统整理知识的习惯，对应用垂径定理的基本图形，基本方法，基本规律有了一定的认识，也为本节课的课堂小结做了铺垫.
思考2
如果我们设圆的半径为
，圆心到弦的距离为
，弦长为
，你能找到它们三者之间的关系吗？
课堂小结
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
进一步熟悉垂径定理的内容及应用垂径定理的基本图形.
课堂小结
2．常用的辅助线是从圆心作一条与弦垂直的
线段，连接半径，
构造直角三角形．那么圆的半径
，圆心到弦的距离
，弦
长
之间
的关系式为
.
从数学方法和数学思想的方面总结了垂径定理应用的注意事项，提升了学生的能力和思维.
1．如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，
则∠AOB=
°，点O到AB的距离为
．
布置作业
2．在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，
以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，
求AD的长．
3．如图，在⊙O中，AB、AC是两条互相垂直
且相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分
别为D、E．求证：四边形ADOE是正方形．
24.1.2垂直于弦的直径
（第二课时）
教学目标：探究垂径定理的推论及简单应用.
教学重点：垂径定理推论及应用.
教学难点：垂径定理推论的探究.
24.1.2垂直于弦的直径（第二课时）
1.回顾引入
2.探究新知
教学环节
3.新知应用
5.课堂小结
6.布置作业
4.拓展探究
回顾引入
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
如图，⊙O中，AB、AC是弦，AB是直径.
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
∵CD是⊙O的直径，
CD⊥AB于点E，
∴AE=BE，
，
．
回顾引入
复习垂径定理时设计了改变弦的位置的环节，分为弦过圆心和不经过圆心的两种情况，
为后面垂径定理的推论中平分不是直径的弦做好铺垫.
此环节为本节课垂径定理的推论的学习做好充足的准备.
探究新知
①
②
③
④
⑤
①
③
②
④
⑤
√
？
①过圆心,
②垂直于弦,
③平分弦,
④平分弦所对的优弧,
⑤平分弦所对的劣弧.
猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦，
也能平分这条弦所对的两条弧.
在画图中熟悉几何的文图式三种语言的相互转换.
思考被平分的弦的多种情况，
从而引出图形的多种情况.
探究新知
给出学生充分的时间和空间进行探究，呈现多种情况再来分析猜想是否成立，通过举出反例的方式可以更好理解猜想1不成立的原因,为进一步推出垂径定理推论做好铺垫.
探究新知
猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂
直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.
已知：如图，CD是⊙O的直径，
CD平分弦AB于点E．
求证：
CD⊥AB于点E，
，
．
引导学生利用等腰三角形三线合一的性质和圆的轴对称性对猜想2进行证明，从而得到垂径定理的推论
新知应用
例1
如图，如果M是⊙O中弦CD的中点，
EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=4cm，
EM=6cm，求⊙O的半径．
2
例2
已知:
如图，⊙O中，
半径OE、
OF分别平分弦AB、AC，交
AB、AC
于点D、G，交
于点E、F，并且弦EF分别交
AB、AC于点M、N.
求证:△AMN是等腰三角形.
两道例题分别为垂径定理的推论在计算中和证明中的应用，通过两道例题，
学生再次熟悉了垂径定理推论的内容及简单应用，在解题过程中获得成就感.
拓展探究
①过圆心，
②垂直于弦，
③平分弦,
④平分弦所对的优弧,
⑤平分弦所对的劣弧.
①
②
③
④
⑤
①
③
②
④
⑤
√
√
①⑤
②
③
④
√
…
思考：一共有多少种组合呢？
教材中关于垂径定理的推论只有平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.于是以拓展探究的方式给出了“知二推三”,拓宽学生的解题思路.
这里的弦
不是直径
课堂小结
推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧．
∵CD是⊙O的直径，
CD平分AB于点E
，
∴CD⊥AB，
，
回顾了本节课所学习的内容及主要的解题思路，帮助学生养成整理知识的习惯，形成知识体系.
布置作业
1
．下列命题错误的是（
）
A．垂直于弦的直径平分这条弦．
B．弦的垂直平分线经过圆心．
C．平分弧的直径平分这条弧所对的弦．D．平分弦的直径垂直于这条弦．
２.如图，在⊙O中，若弦AB的长为8，半径O
C平分
弦AB，交AB于点D
，
CD=2，求
⊙O的半径.
3
.
如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，OE平分弦
BC
，
AD⊥BC于D，则∠EAD与∠EAO相等吗？
为什么？
本节课有三道作业题目，
分别是语句判断题，应用垂径定理推论的计算题和证明题，和例题前后呼应，特别是最后一道证明题目随着后面知识的学习，还会有其他解题方法，为后续的学习留下了伏笔，引发学生继续学习的兴趣.
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