2020-2021学年湘教版数学八上期末模拟试题4

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2020-2021学年湘教版数学八上期末模拟试题4
姓名：__________班级：__________考号：__________总分_________
、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
在实数﹣、、π、中，是无理数的是（　　）
A．﹣ B． C．π D．
对分式通分时，最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
下列运算正确的是（　　）
A．a2?a3=a6 B．3a﹣a=2a C．a8÷a4=a2 D．
下列运算正确的是（　　）
A．a2?a3=a6 B．a3+a2=a5 C．（a2）4=a8 D．a3﹣a2=a
如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（　　）
A．8 B． 9 C． 10 D． 11
已知等腰三角形的两边长分别为5和６，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
满足不等式组的正整数解的和为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
如图，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．32.5° C．35° D．37.5°
若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
如图，在直角坐标系中，点A．B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A．B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（　　）
A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）
、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
若，则的值是______.
现有一个长和宽的比为的长方形，此长方形的周长为，则此长方形的面积为________．
命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　　．
下面是课本中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：∠AOB．
求作：一个角，使它等于∠AOB．
作法：如图
（1）作射线O'A'；
（2）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；
（3）以O'为圆心，OC为半径作弧C'E'，交O'A'于C'；
（4）以C'为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'；
（5）过点D'作射线O'B'．
则∠A'O'B'就是所求作的角．
请回答：该作图的依据是_____．
某商品的售价是528元，商家出售一件这样的商品可获利润是进价的10%～20%．设进价为x元，则x的取值范围是　　　　　　．
如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC与点D，连结AD，若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是____________．
如图，在△ABC中，AB=AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE=5cm，CE=3cm，则△CDE的周长是_____．
如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是a cm，若铁钉总长度为6cm，则a的取值范围是　?????　．
、解答题（本大题共8小题，共78分）
等腰△ABC的腰长AB=16cm，直线DE是AB的垂直平分，交另一腰AC于E，△BCE的周长为26cm，求底边BC的长是多少？
计算：
（1）（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣y）
（2）（+a﹣4）÷
已知方程组的解满足x为负数，y为非正数
（1）求m的取值范围；
（2）化简
（3）在第（1）小题的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx-x<2m-1的解集为x>1?
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了一下探索：
设?(其中均为正整数），
则有，
.
这样小明就找到一种把部分的式子化作平方式的方法.
请仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当均为正整数时，若，用含有的式子分别表示，得=______，=______.
（2）利用所探索的结论，找一组正整数填空:____+_____=(_____+_____ .(答案不唯一)
（3）若，且均为正整数，求的值.
（4）试化简：
如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠ABC=∠DCB，AB=DC．
（1）求证：△ABC≌DCB；
（2）当∠EBC=30°，求∠AEB的度数．
甲、乙两个工厂需加工生产 550 台某种机器，已知甲工厂每天加工生产的机器台数是乙工厂每天加工 生产的机器台数的 1.5 倍，并且加工生产 240 台这种机器甲工厂需要的时间比乙工厂需要的时间少 4 天
（1）求甲、乙两个工厂每天分别可以加工生产多少台这种机器？
（2）若甲工厂每天加工的生产成本是 3 万元，乙工厂每天加工生产的成本是 2.4 万元，要使得加工生 产这批机器的总成本不得高于 60 万元，至少应该安排甲工厂生产多少天？
在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．
如图，AD是△ABC的高，作∠DCE=∠ACD，交AD的延长线于点E，点F是点C关于直线AE的对称点，连接AF．
（1）求证：CE=AF；
（2）在线段AB上取一点N，使∠ENA=∠ACE，EN交BC于点M，连接AM． 请你判断∠B与∠MAF的数量关系，并说明理由．
答案解析
、选择题
【考点】无理数．
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
解：﹣、、是有理数，
π是无理数，
故选：C．
【点评】初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
【考点】最简公分母
【分析】利用分式通分即可求出答案．
解：最简公分母为：12xy2．
故选D．
【点睛】本题考查了分式的通分，属于基础题型．
【考点】二次根式加减，同底数幂的乘除，合并同类项
【分析】直接利用二次根式加减运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
解：A．a2?a3=a5，故此选项错误；
B、3a﹣a=2a，正确；
C、a8÷a4=a4，故此选项错误；
D、+无法计算，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式加减运算以及同底数幂的乘除运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．
解：A．a2?a3=a5，故原题计算错误；
B、a3和a2不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
C、（a2）4=a8，故原题计算正确；
D、a3和a2不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，以及合并同类项，关键是掌握计算法则．
【考点】线段垂直平分线的性质．.
【分析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．
解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故选C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．
【考点】等腰三角形三边的关系
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6时，②当腰长为7时，解答出即可．
解：根据题意，
①当腰长为6时，周长=6+6+7=19；
②当腰长为7时，周长=7+7+6=20；
故选D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质定理，本题重点是要分两种情况解答．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求出正整数解，然后相加即可．
解：解不等式x-1≤1，得x≤2，
解不等式2x＞-4，得x＞-2，
所以，不等式组的解集为-2＜x≤2，
正整数解是：1，2，
1+2=3，
故选：A．
【点睛】考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【分析】根据平行线的性质求出∠EOB，根据三角形的外角性质求出即可．
解：设AB、CE交于点O．
∵AB∥CD，∠C=65°，
∴∠EOB=∠C=65°，
∵∠E=30°，
∴∠A=∠EOB﹣∠E=35°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠EOB的度数和得出∠A=∠EOB﹣∠E．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；
若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；
故选A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．　
【考点】轴对称-最短路线，平行线的性质
【分析】根据轴对称作最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．
解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A．B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE=4，
则B′E=4，即B′E=AE，
∵C′O∥AE，
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题关键．
、填空题
【考点】分式的化简求值
【分析】将变形后代入计算即可求出值.
解：∵，
∴，
∴，
故答案为： .
【点评】此题考了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
【考点】二次根式的乘除
【分析】首先利用矩形的长与宽的比值结合其周长得出长与宽，进而求出面积．
解:∵一个长和宽的比为4:3的长方形，
∴设长方形的长为4x,宽为3x,则2(4x+3x)=，
解得：x=,则长为cm,宽为3cm，
故此长方形的面积为：×=36().
故答案为：.
【点睛】考查二次根式的乘法，求出矩形的长与宽是解题的关键.
【考点】命题与定理．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．
【考点】作图-基本作图，全等三角形的判定与性质
【分析】根据作图可得DO=D′O′，CO=C′O′，CD=C′D′，再利用SSS判定△D′O′C′≌△DOC即可得出∠O'=∠O．由此即可解决问题．
解：由题可得，DO=D′O′，CO=C′O′，CD=C′D′，
∵在△COD和△C′O′D′中，

∴△D′O′C′≌△DOC（SSS），
∴∠A'O'B'=∠AOB（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：SSS或全等三角形的对应角相等．
【点睛】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法，掌握三角形全等的判定方法．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】根据：售价=进价×（1+利润率），可得：进价=，商品可获利润（10%～20%），即售价至少是进价（1+10%）倍，最多是进价的1+20%倍，据此即可解决问题．
解：设这种商品的进价为x元，则得到不等式：
≤x≤，
解得440≤x≤480．
则x的取值范围是440≤x≤480．
故答案为：440≤x≤480．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，读懂题列出不等式关系式即可求解．注意弄清售价、进价、利润率之间的关系．
【考点】等腰三角形的判定性质，三角形内角和定理
【分析】根据作图过程得BD=BA，在根据已知条件即可得出∠DAC的角度.
解：由作图过程可知BD=BA，
∵∠B=40°，
∴∠BDA=∠BAD=(180°-∠B)=70°，
∴∠DAC=∠BDA-∠C=70°-36°=34°.
故答案为34°.
【点睛】本题考查了三角形与圆的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握三角形与圆的应用.
【考点】等腰三角形的性质与判定，平行线的性质
【分析】分析：根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，再根据平行线的性质得出∠DEC=∠ABC=∠C，∠ABD=∠BDE，从而证出DE=DC，再根据BD是∠ABC的平分线证出∠ABD=∠DBE，∠DBE=∠BDE，最后求出BE=DE=DC，即可得出△CDE的周长．
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠ABC=∠C，∠ABD=∠BDE，
∴DE=DC，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBE．
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE=DC=5cm，
∴△CDE的周长为DE+DC+EC=5+5+3=13（cm），
故选答案为13．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，关键是能在较复杂的图形中找出相等的角，证出等腰三角形．
【考点】一元一次不等式组的应用
【分析】由题意得敲击2次后铁钉进入木块的长度是a+a，而此时还要敲击1次，所以两次敲打进去的长度要小于6，经过三次敲打后全部进入，所以三次敲打后进入的长度要大于等于6，列出不等式组即可得出答案．
解：∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的?．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是acm，
根据题意得：敲击2次后铁钉进入木块的长度是a+a=a（cm）
而此时还要敲击1次，
∵a的最大长度为：6cm，
故a＜6，
第三次敲击进去最大长度是前一次的，也就是第二次的=a（cm），
∴，
∴a的取值范围是：≤a＜．
故答案为：≤a＜．
【点评】难度中等，根据题意列出不等式是解题关键。
、解答题
【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】由线段垂直平分线的性质可知，可求得的周长为，结合条件可求得．
解：为线段垂直平分线上的一点，
，
，
又，的周长为，
，
，
即底边的长为．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【考点】分式的混合运算，完全平方公式，平方差公式
【分析】（1）原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解：（1）原式＝x2+4xy+4y2﹣x2+y2＝4xy+5y2；
（2）原式＝?＝?＝．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
【考点】解二元一次方程组，解一元一次不等式
【分析】（1）解方程组用m的代数式表示出x、y，根据x为负数，y为非正数列出关于m的不等式组，解之求得m的范围；
（2）根据绝对值的性质去绝对值符号，再合并即可得；
（3）根据不等式的性质得出2m-1＜0，求得m的范围，结合m为整数及（1）中m的范围可得答案．
解：（1）解方程组
得：，
∵x为负数，y为非正数，
∴，
解得：；
（2）当时，
；
（3）的解是，
∴，
∴，
∵，
∴m=0.
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是得出关于m的不等式组并求解．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】（1）（m+n）2利用完全平方公式展开，然后根据与a+b对应项的系数相同即可求得；
（2）首先确定m、n的值，然后根据（1）的结论求得a、b即可；
（3）根据（1）可以得到m，n之间的关系，根据m、n是正整数进行求解即可；
（4）根据（1）即可解答.
解：（1）∵（m+n）2=m2+2mn+3n2=m2+3n2+2mn，
∴a=m2+3n2，b=2mn；
（2）当m=1，n=1时，a=4，b=2，
则4+2=（1+）2；
（3）∵（m+n）2=m2+3n2+2mn，
又，
∴2mn=4，a=m2+3n2，
解得：mn=2，
∵m、n是正整数，
∴m=1、n=2或m=2，n=1，
则当m=1、n=2时，a=1+12=13；
当m=2，n=1时，a=4+3=7，
故a=13或7；
（4）==-2.
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键.
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到：∠EBC=∠ECB=30°，故∠EBC+∠ECB=∠AEB=60°．
（1）证明：在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；
（2）解：∵由（1）知，△ABC≌△DCB，
∴∠EBC=∠ECB=30°，
∴∠EBC+∠ECB=∠AEB=60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
【考点】分式方程的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）设乙工厂每天加工生产的机器台数为x，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）设应该安排甲工厂生产x天，根据题意列出一元一次不等式即可求出答案．
解：（1）设乙工厂每天加工生产的机器台数为x，则甲工厂每天加工生产的机器台数为1.5x，
根据题意可知：，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，
答：甲、乙两个工厂每天分别可以加工生产30和20台这种机器．
（2）设应该安排甲工厂生产x天，
根据题意可知：3x+2.4×≤60，
解得：x≥10，
答：至少应该安排甲工厂生产10天
【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）先设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元列出方程组，求出x，y的值即可；
（2）先设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，根据需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a只能取整数，得出购买方案，再根据每台电脑的价格和每台电子白板的价格，算出总费用，再进行比较，即可得出最省钱的方案．
解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：
，
解得：，
答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元；
（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，根据题意得：
，
解得：15≤a≤17，
∵a只能取整数，
∴a=15，16，17，
∴有三种购买方案，
方案1：需购进电脑15台，则购进电子白板15台，
方案2：需购进电脑16台，则购进电子白板14台，
方案3：需购进电脑17台，则购进电子白板13台，
方案1：15×0.5+1.5×15=30（万元），
方案2：16×0.5+1.5×14=29（万元），
方案3：17×0.5+1.5×13=28（万元），
∵28＜29＜30，
∴选择方案3最省钱，即购买电脑17台，电子白板13台最省钱．
【点评】 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，注意a只能取整数．
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，轴对称的性质
【分析】（1）由于，，根据等腰三角形的判定方法得到为等腰三角形，则，由点是点关于的对称点，根据对称的性质得到垂直平分，则，则；
（2）由（1）得到垂直平分，则，得到，对顶角相等得到，则，由得，根据，，，于是有，然后根据三角形外角性质有，，即可得到．
（1）证明：是的高，
，，
为等腰三角形，
，
又点是点关于的对称点，
，
；
（2）解：．理由如下：
，，
，
又是的高，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角对应相等，且它们所夹的边相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质以及对称的性质．
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