2020-2021学年湖南省益阳市赫山区八年级上学期期中数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年湖南省益阳市赫山区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（4分）下列各式中，是分式的是（　　）
A．（a+b） B． C． D．
2．（4分）下列各数中，最大的是（　　）
A．﹣（+2） B．|﹣3| C．2﹣1 D．（﹣2）0
3．（4分）若分式的值为0，则x的取值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．不存在
4．（4分）下列约分正确的是（　　）
A．＝ B．＝0
C．＝ D．＝x4
5．（4分）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（　　）
A．房屋顶支撑架 B．自行车三脚架
C．拉闸门 D．木门上钉一根木条
6．（4分）如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　）
A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
7．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
8．（4分）等腰三角形的一个内角是70°，则它顶角的度数是（　　）
A．70° B．70°或40° C．70°或50° D．40°
9．（4分）运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）对于非零的两个实数a、b，规定a?b＝．若1?（x+1）＝1，则x的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共8小题）.
11．（4分）分式，，的最简公分母是　 　．
12．（4分）计算的结果等于　 　．
13．（4分）数0.0000108用科学记数法表示为　 　．
14．（4分）计算：a3b（a﹣1b）﹣2＝　 　．
15．（4分）用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．第一步应假设：　 　．
16．（4分）一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图图形，则∠1＝　 　度．
17．（4分）已知：如图，在△ABC中，点D在边BD上，AB＝AD＝DC，∠C＝30°，则∠BAD＝　 　度．
18．（4分）如果4x﹣5y＝0，且x≠0，那么的值是　 　．
三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应在答题卡上相应位置写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）解方程：＝0．
20．（8分）化简：+x﹣1．
21．（8分）若关于x的分式方程＝5有增根，求m的值．
22．（10分）如图，点F、C在BD上，AB∥DE，∠A＝∠E，BF＝DC．
求证：△ABC≌△EDF．
23．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．
24．（10分）某车间加工1500个零件后，采用了新工艺，工作效率提高了50%，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？
25．（12分）如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD＝DE．
（1）如果∠BAE＝40°，那么∠B＝　 　°，∠C＝　 　°；
（2）如果△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，那么△ABE的周长＝　 　cm；
（3）你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长，并证明你的结论．
26．（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝16厘米，BC＝10厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
参考答案
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题卡中对应的表格内）
1．（4分）下列各式中，是分式的是（　　）
A．（a+b） B． C． D．
解：选项C中的，分母中含有字母，属于分式，
故选：C．
2．（4分）下列各数中，最大的是（　　）
A．﹣（+2） B．|﹣3| C．2﹣1 D．（﹣2）0
解：∵﹣（+2）＝﹣2，|﹣3|＝3，2﹣1＝，（﹣2）0＝1，
∴四个数中最大的是|﹣3|，
故选：B．
3．（4分）若分式的值为0，则x的取值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．不存在
解：∵分式的值为0，
∴x2﹣9＝0，2x+6≠0，
解得：x＝3．
故选：A．
4．（4分）下列约分正确的是（　　）
A．＝ B．＝0
C．＝ D．＝x4
解：A、＝＝，故此选项错误；
B、，无法化简，故此选项错误；
C、，无法化简，故此选项错误；
D、＝x4，正确．
故选：D．
5．（4分）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（　　）
A．房屋顶支撑架 B．自行车三脚架
C．拉闸门 D．木门上钉一根木条
解：伸缩的拉闸门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
6．（4分）如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　）
A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
解：A、AB＝DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；
B、∵在△AOB和△DOC中
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；
C、两三角形相等的条件只有OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；
D、根据∠AOB＝∠DOC和OA＝OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；
故选：B．
7．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点
∴∠B＝∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD＝∠CAD（故C正确）
无法得到AB＝2BD，（故D不正确）．
故选：D．
8．（4分）等腰三角形的一个内角是70°，则它顶角的度数是（　　）
A．70° B．70°或40° C．70°或50° D．40°
解：本题可分两种情况：
①当70°角为底角时，顶角为180°﹣2×70°＝40°；
②70°角为等腰三角形的顶角；
因此这个等腰三角形的顶角为40°或70°．
故选：B．
9．（4分）运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
解：设甲种雪糕的价格为x元，则
甲种雪糕的根数：；
乙种雪糕的根数：．
可得方程：﹣＝20．
故选：B．
10．（4分）对于非零的两个实数a、b，规定a?b＝．若1?（x+1）＝1，则x的值为（　　）
A． B． C． D．
解：由规定运算，1?（x+1）＝1可化为，﹣1＝1，
即＝2，解得x＝，x+1≠0符合条件，
故选：D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．（4分）分式，，的最简公分母是　a2bc　．
解：分式，，的最简公分母是a2bc，
故答案为：a2bc．
12．（4分）计算的结果等于　　．
解：原式＝?
＝．
故答案为：．
13．（4分）数0.0000108用科学记数法表示为　1.08×10﹣5　．
解：0.0000108＝1.08×10﹣5．
故答案为：1.08×10﹣5．
14．（4分）计算：a3b（a﹣1b）﹣2＝　　．
解：a3b（a﹣1b）﹣2＝a3b?a2b﹣2＝a5b﹣1＝．
故答案为：．
15．（4分）用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．第一步应假设：　这两条直线不平行　．
解：用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”
第一步应假设：这两条直线不平行，
故答案为：这两条直线不平行．
16．（4分）一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图图形，则∠1＝　105　度．
解：∠1＝∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
故答案为：105．
17．（4分）已知：如图，在△ABC中，点D在边BD上，AB＝AD＝DC，∠C＝30°，则∠BAD＝　60　度．
解：∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝60°．
∵AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°．
故答案为：60．
18．（4分）如果4x﹣5y＝0，且x≠0，那么的值是　　．
解：∵4x﹣5y＝0，
∴5y＝4x，
∴＝＝＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应在答题卡上相应位置写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）解方程：＝0．
解：去分母得：2（x+2）﹣4＝0，
去括号得：2x+4﹣4＝0，
解得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
20．（8分）化简：+x﹣1．
解：＝．
21．（8分）若关于x的分式方程＝5有增根，求m的值．
解：去分母得：2m﹣1﹣7x＝5x﹣1，
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：m＝6．
22．（10分）如图，点F、C在BD上，AB∥DE，∠A＝∠E，BF＝DC．
求证：△ABC≌△EDF．
【解答】证明：∵BF＝DC，
∴BF﹣FC＝DC﹣FC，
即BC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，
在△ABC和△EDF中
∴△ABC≌△EDF（AAS）．
23．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．
【解答】（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；
（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A＝30°，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
24．（10分）某车间加工1500个零件后，采用了新工艺，工作效率提高了50%，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？
解：设采用新工艺前每时加工x个零件．
﹣10＝，
解得：x＝50，
经检验：x＝50是原分式方程的解，且符合题意，
答：采用新工艺之前每小时加工50个．
25．（12分）如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD＝DE．
（1）如果∠BAE＝40°，那么∠B＝　70　°，∠C＝　35　°；
（2）如果△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，那么△ABE的周长＝　7　cm；
（3）你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长，并证明你的结论．
【解答】（1）解：∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝EC．
∵BD＝DE，AD⊥BC，
∴AB＝AE．
∴∠ABE＝∠AEB＝2∠C＝（180°﹣40°）÷2＝140°÷2＝70°，∠C＝35°．
故答案为：70，35；
（2）解：∵△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，
∴AB+BC＝13﹣6＝7，
∴△ABE的周长＝AB+BC＝7cm．
故答案为：7；
（3）AB+BD＝DC．
证明：∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，BD＝DE，
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝CE，
∴AB+BD＝AE+DE＝DC．
26．（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝16厘米，BC＝10厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
解：（1）∵AB＝AC＝16厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝8厘米，∠B＝∠C，
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP全等，理由如下：
根据题意得：经过1秒时，BP＝CQ＝2厘米，
所以CP＝10厘米﹣2厘米＝8厘米，
即CP＝BD＝8厘米，
在△DBP和△PCQ中
∴△DBP≌△PCQ（SAS），
即若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP全等；
②设当点Q的运动速度为a厘米/秒时，时间是t秒，能够使△BPD与△CQP全等，
∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP和CQ不是对应边，
即BD＝CQ，BP＝CP，
即2t＝10﹣2t，
解得：t＝2.5，
∵BD＝CQ，
∴8＝2.5a，
解得：a＝3.2；
即当点Q的运动速度为3.2厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等；
（2）设经过t秒时，P、Q第一次相遇，
∵P的速度是2厘米/秒，Q的速度是3.2厘米/秒，
∴16+16+2t＝3.2t，
解得：t＝，
此时Q走了3.2×＝＝85（厘米），
∵85﹣16﹣16﹣10﹣16﹣16﹣10＝，
即经过秒后点P与点Q第一次在△ABC的边AC上相遇．