26.1
反比例函数
一、知识点过关
知识点1
反比例函数的识别
（重点；掌握）
一般地，形如（是常数，≠0）的函数，叫做反比例函数，其中是自变量，是函数．自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
拓展：（1）在中，自变量是分式的分母，当=0时，分式无意义，所以的取值范围是，故函数图象与轴、轴无交点．
（2）可以写成的形式．
（3）也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的，从而得到反比例函数的解析式．两个变量的积是一个常数（定值），这也是识别两个变量是否成反比例函数关系的关键．
【命题点1
反比例函数的识别】
例1
下列函数是关于的反比例函数的是
．（填序号）
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧．
针对性训练
下列函数（是自变量）中，是的反比例函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
【命题点2
应用反比例函数的定义求字母的取值】
例2
若是反比例函数，求的值．
针对性训练
在反比例函数中，已知时，，则的值是（
）
A.1
B.-5
C.-1
D.5
知识点2
根据实际问题列反比例函数关系式
（重点；掌握）
根据实际问题列反比例函数关系式的一般步骤：（1）审题，弄清问题中的变量，探究问题中的等量关系；（2）确定问题中的两个变量，分别用字母表示（一般用表示自变量，用表示函数）；（3）列出反比例函数关系式．
【命题点3
根据实际问题列反比例函数关系式】
例3
已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间（单位：小时）关于行驶速度（单位：千米/小时）的函数关系式是（
）
A.
B.
C.
D.
针对性训练
现有一批救灾物资要从市运往市，如果两市间的路程为500，汽车的速度为，从市到市所需的时间为，那么关于的函数解析式是
，且是的
函数．
知识点3
用待定系数法解与反比例函数有关的问题
（重点；掌握）
确定反比例函数解析式的方法为待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对的对应值，即可求出的值，从而确定解析式．
【命题点4
用待定系数法求反比例函数解析式】
例4
已知反比例函数的图象经过点（2，-1），则它的解析式是（
）
A.
B.
C.
D.
针对性训练
1.已知是的反比例函数，当时，．
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）当时，求的值．
2.若反比例函数的图象经过点，其中，则此反比例函数的图象位于（
）
A.第一、三象限
B.第一、二象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
【命题点5
用待定系数法解与反比例、正比例有关的问题】
例5
如果与成反比例，且时，，那么时，等于（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
针对性训练
1.已知与成反比例，且时，，则当时，
．
2.已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；时，．求与之间的函数解析式．
知识点4
反比例函数的图象和画法
（重点；掌握）
1.画反比例函数的图象的一般步骤
列表：自变量的取值应以0（但）为中心，向两边取三对（或三对以上）只有符号相反的值，并计算相应的值，以表格形式表示出来；
描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点；
按照从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并延伸，注意图象的两支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交．
2.反比例函数图象的特点
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，且无限靠近轴、轴，但和两个坐标轴永不相交．
【命题点6
画反比例函数图象】
例6
已知函数．
（1）画出函数的图象；
（2）当时，求函数值的取值范围．
知识点5
反比例函数的性质
（重点；掌握）
反比例函数
的符号
＞0
＜0
图象
性质
当＞0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小．
当＜0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大．
【命题点7
反比例函数的比例系数与图象所在象限的对应关系】
例7
反比例函数的图象有一支位于第一象限，则常数的取值范围是
．
针对性训练
已知反比例函数的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（
）
A.（-6，1）
B.（1，6）
C.（2，3）
D.（3，2）
【命题点8
反比例函数的比例系数与函数增减性的对应关系】
例8
关于反比例函数，下列说法正确的是（
）
A.图象过点（1，2）点
B.图象在第一、三象限
C.当＞0时，随的增大而减小
D.当＜0时，随的增大而增大
针对性训练
下列函数中，随的增大而减小的是（
）
A.
B.
C.（＞0）
D.（＜0）
知识点6
反比例函数中比例系数的几何意义
（重点；掌握）
（1）如图所示，过双曲线上任意一点分别作轴、轴的垂线所得的矩形的面积．∵，∴，∴，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为．
（2）如图所示，过双曲线上任意一点作垂直于一坐标轴，垂足为，连接，则，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为．
【命题点9
反比例函数中的几何意义和有关图形的面积之间的关系】
例9
以正方形两条对角线的交点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线经过点，则正方形的面积是（
）
A.10
B.11
C.12
D.13
例10
如图所示，点在双曲线上，⊥轴于点，且△的面积是2，则的值是
．
针对性训练
1.如图，两点在双曲线上，分别经过两点向轴作垂线段，已知，则
．
2.
如图，在函数（＞0）的图象上取三点，由这三点分别向轴和轴作垂线．设矩形的面积分别为，则（
）
＞＞
B.＜＜
C.＜＜
D.
类型题1
反比例函数的图象和性质
【角度1
应用反比例函数的性质比较函数值的大小】
例11
已知点是反比例函数（＜0）图象上的两点，则有（
）
A.＜0＜
B.＜0＜
C.＜＜0
D.＜＜0
针对性训练
在函数的图象上有三点，则的大小关系是（
）
A.＞＞
B.＞＞
C.＞＞
D.＞＞
解题归纳：利用反比例函数的性质比较函数值的大小时，要先确定点是否在同一个象限，不在同一个象限时，不能直接利用性质进行比较.
【角度2
两个函数图象共存问题】
例12
函数与在同一坐标系内的图象可以是（
）
A.
B.
C.
D.
针对性训练
如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（
）
A.
B.
C.
D.
型题２
反比例函数与一次函数的综合应用
【角度1
利用两函数的图象求函数解析式、不等式的解集等】
例13
如图所示，已知点是一次函数的图象与反比例函数图象的一个交点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在轴的右侧，当＞时，直接写出的取值范围．
例14
如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，连接．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点在坐标轴上，且满足，求点的坐标．
针对性训练
如图，点，是反比例函数（＞0）与一次函数的交点．
（1）求反比例函数于一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时的取值范围．
【角度2
一次函数与反比例函数的图象所围成的三角形的面积的计算】
例15
如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△的面积．
针对性训练
如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，⊥轴，垂足为，△的面积是1．
（1）求的值；
（2）求直线的解析式．
类型题3
反比例函数与几何图形的综合应用
【角度1
反比例函数与平行四边形的综合应用】
例16
一次函数与反比例函数的图象都过点，的图象与轴交于．
（1）求点的坐标及反比例函数的表达式；
（2）点，若四边形是平行四边形，请在如图所示的直角坐标系内画出平行四边形，直接写出点的坐标，并判断点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．
例17
如图所示，矩形中，点分别在轴、轴正半轴上，直线交边于点(＜），并把矩形分成面积相等的两部分，过点的双曲线（＞0）交边于点．若△的面积是4，求△的面积．
【角度2
反比例函数与四边形面积】
例18
如图所示的是函数与函数在第一象限内的图象，点是的图象上一动点，⊥轴于点，交的图象与点，⊥轴于点，交的图象于点．
（1）求证是的中点；
（2）求出四边形的面积．
三、分层实战训练
【基础巩固】
1.
下列函数是反比例函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.
已知，若是的反比例函数，则的值为(
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
3.
在同一直角坐标系下，直线与双曲线的交点的个数为(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.不能确定
4.
下列两个变量之间的关系属于反比例函数关系的是(
)
A.圆的面积与半径的关系
B.正方形的周长与边长的关系
C.均匀行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系
D.面积不变时，矩形的长与宽的关系
5.
对于，当＜0时，的取值及对应这部分的图象是（
）
A.＜0，图象在第四象限
B.＜0，图象在第三象限
C.＞0，图象在第一象限
D.＞0，图象在第二象限
6.
若反比例函数的解析式为，则当＞1时，的取值范围是
．
7.
过反比例函数图象上一点，分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，如果△ABC的面积为3，则的值为
．
【能力提升】
8.
如图，过反比例函数（＞0）的图象上任意两点分别作轴的垂线，垂足为，，连接，，设与的交点为，记△与梯形的面积分别为，比较它们的大小，则有（
）
A.＞
B.
C.＜
D.大小关系不能确定
9.如图，反比例函数（＞0）图象与矩形的边分别交于点，且，则△的面积的值为
．
10.如图，一次函数的图象经过点，且与反比例函数（为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点．求：
一次函数和反比例函数的解析式；
当时，反比例函数的取值范围．
11.如图，点在反比例函数的图象上，⊥轴于点，⊥轴于点，．
求的值，并写出反比例函数的解析式；
连接，在线段上是否存在一点，使△的面积等于5？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12.如图，已知正比例函数和反比例函数的图象交于点．
求反比例函数的解析式；
观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围；
若双曲线上点沿方向平移个单位长度得到，判断四边形的形状并证明你的结论．26.1
反比例函数
一、知识点过关
知识点1
反比例函数的识别
（重点；掌握）
【命题点1
反比例函数的识别】
例1
下列函数是关于的反比例函数的是
③④⑦
．（填序号）
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧．
针对性训练
下列函数（是自变量）中，是的反比例函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
【命题点2
应用反比例函数的定义求字母的取值】
例2
若是反比例函数，求的值．
针对性训练
在反比例函数中，已知时，，则的值是（
）
A.1
B.-5
C.-1
D.5
知识点2
根据实际问题列反比例函数关系式
（重点；掌握）
【命题点3
根据实际问题列反比例函数关系式】
例3
已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间（单位：小时）关于行驶速度（单位：千米/小时）的函数关系式是（
）
A.
B.
C.
D.
针对性训练
现有一批救灾物资要从市运往市，如果两市间的路程为500，汽车的速度为，从市到市所需的时间为，那么关于的函数解析式是
，且是的
反比例
函数．
知识点3
用待定系数法解与反比例函数有关的问题
（重点；掌握）
【命题点4
用待定系数法求反比例函数解析式】
例4
已知反比例函数的图象经过点（2，-1），则它的解析式是（
）
A.
B.
C.
D.
针对性训练
1.已知是的反比例函数，当时，．
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）当时，求的值．
（1）设与之间的函数关系式为
把，代入，得
与之间的函数关系式为
（2）当时，．
2.若反比例函数的图象经过点，其中，则此反比例函数的图象位于（
）
A.第一、三象限
B.第一、二象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
【命题点5
用待定系数法解与反比例、正比例有关的问题】
例5
如果与成反比例，且时，，那么时，等于（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
针对性训练
1.已知与成反比例，且时，，则当时，
．
2.已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；时，．求与之间的函数解析式．
解：设
将x＝1、y＝0和x＝4、y＝9分别代入，得
解得
故函数y与x的函数关系式为y＝2（x＋1）?．
知识点4
反比例函数的图象和画法
（重点；掌握）
【命题点6
画反比例函数图象】
例6
已知函数．
（1）画出函数的图象；
（2）当时，求函数值的取值范围．
知识点5
反比例函数的性质
（重点；掌握）
【命题点7
反比例函数的比例系数与图象所在象限的对应关系】
例7
反比例函数的图象有一支位于第一象限，则常数的取值范围是
．
针对性训练
已知反比例函数的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（
）
A.（-6，1）
B.（1，6）
C.（2，3）
D.（3，2）
【命题点8
反比例函数的比例系数与函数增减性的对应关系】
例8
关于反比例函数，下列说法正确的是（
）
A.图象过点（1，2）点
B.图象在第一、三象限
C.当＞0时，随的增大而减小
D.当＜0时，随的增大而增大
解：∵k＝?2＜0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，图象是轴对称图象，故A、B、C错误．
针对性训练
下列函数中，随的增大而减小的是（
）
A.
B.
C.（＞0）
D.（＜0）
知识点6
反比例函数中比例系数的几何意义
（重点；掌握）
【命题点9
反比例函数中的几何意义和有关图形的面积之间的关系】
例9
以正方形两条对角线的交点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线经过点，则正方形的面积是（
）
A.10
B.11
C.12
D.13
解：∵双曲线y＝3x经过点D，∴第一象限的小正方形的面积是3，
∴正方形ABCD的面积是3×4＝12．故选：C．
例10
如图所示，点在双曲线上，⊥轴于点，且△的面积是2，则的值是
．
解：∵△AOB的面积是2，∴|k|＝2，∴|k|＝4，解得k＝±4，
又∵双曲线y＝kx的图象经过第二、四象限，∴k＝?4，即k的值是?4．故答案为：?4．
针对性训练
1.如图，两点在双曲线上，分别经过两点向轴作垂线段，已知，则
．
解：∵点A、B是双曲线y＝4x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，
∴S1＋S2＝4＋4?1×2＝6．
2.
如图，在函数（＞0）的图象上取三点，由这三点分别向轴和轴作垂线．设矩形的面积分别为，则（
）
＞＞
B.＜＜
C.＜＜
D.
二、全方位技巧
类型题1
反比例函数的图象和性质
【角度1
应用反比例函数的性质比较函数值的大小】
例11
已知点是反比例函数（＜0）图象上的两点，则有（
）
A.＜0＜
B.＜0＜
C.＜＜0
D.＜＜0
解：∵反比例函数y＝kx（k＜0）中，k＜0，∴此函数图象在二、四象限，
∵?2＜0，∴点A（?2，）在第二象限，∴＞0，
∵3＞0，∴B（3，）点在第四象限，∴＜0，
∴，的大小关系为＜0＜．故选：B．
针对性训练
在函数的图象上有三点，则的大小关系是（
）
A.＞＞
B.＞＞
C.＞＞
D.＞＞
解题归纳：利用反比例函数的性质比较函数值的大小时，要先确定点是否在同一个象限，不在同一个象限时，不能直接利用性质进行比较.
【角度2
两个函数图象共存问题】
例12
函数与在同一坐标系内的图象可以是（
）
A.
B.
C.
D.
针对性训练
如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（
）
A.
B.
C.
D.
类型题２
反比例函数与一次函数的综合应用
【角度1
利用两函数的图象求函数解析式、不等式的解集等】
例13
如图所示，已知点是一次函数的图象与反比例函数图象的一个交点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在轴的右侧，当＞时，直接写出的取值范围．
（1）；
（2）
例14
如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，连接．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点在坐标轴上，且满足，求点的坐标．
针对性训练
如图，点，是反比例函数（＞0）与一次函数的交点．
（1）求反比例函数于一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时的取值范围．
解：（1）m（m＋1）＝（m＋3）（m?1），解得m＝3．?????∴A（3，4），B（6，2）；
∴k＝4×3＝12，∴，
∵A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2），∴∴y＝?x＋6．
（2）当反比例函数的函数值不大于一次函数的函数值时，自变量x的取值范围x＜0或3≤x≤6．
【角度2
一次函数与反比例函数的图象所围成的三角形的面积的计算】
例15
如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△的面积．
解：（1）把A（?1，m），B（n，?1）代入反比例函数，得：m＝7，n＝7，即A（?1，7），B（7，?1），
把A与B坐标代入一次函数解析式得：
解得：k＝?1，b＝6，则一次函数解析式为y＝?x＋6；
（2）∵A（?1，7），B（7，?1），∴AB＝
∵点O到直线y＝?x＋6的距离d＝，∴AB?d＝24．
针对性训练
如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，⊥轴，垂足为，△的面积是1．
（1）求的值；
（2）求直线的解析式．
解：（1）∵直线y＝mx与双曲线y＝nx相交于A（?1，a）、B两点，
∴B点横坐标为1，即C（1，0），
∵△AOC的面积为1，∴A（?1，2），
将A（?1，2）代入y＝mx，y＝可得，m＝?2，n＝?2；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
∵y＝kx＋b经过点A（?1，2）、C（1，0），
∴，解得k＝?1，b＝1，
∴直线AC的解析式为y＝?x＋1．
类型题3
反比例函数与几何图形的综合应用
【角度1
反比例函数与平行四边形的综合应用】
例16
一次函数与反比例函数的图象都过点，的图象与轴交于．
（1）求点的坐标及反比例函数的表达式；
（2）点，若四边形是平行四边形，请在如图所示的直角坐标系内画出平行四边形，直接写出点的坐标，并判断点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．
解：（1）在y＝2x＋2中令y＝0，则x＝?1，∴B的坐标是（?1，0），
∵A在直线y＝2x＋2上，∴A的坐标是（1，4）．
∵A（1，4）在反比例函数y＝kx图象上
∴k＝4．
∴反比例函数的解析式为：y＝4x；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D的坐标是（2，2），
∴D（2，2）在反比例函数y＝4x的图象上．
例17
如图所示，矩形中，点分别在轴、轴正半轴上，直线交边于点(＜），并把矩形分成面积相等的两部分，过点的双曲线（＞0）交边于点．若△的面积是4，求△的面积．
分析：由反比例函数性质求出S△OCM＝S△OAN＝4，得到mn＝8，根据点M（m，n）在直线y＝?x＋6上，得到?m＋6＝n，联立解方程组，得m、n的值，再根据直线y＝?x＋6分矩形OABC面积成相等的两部分，求出点B的坐标，进而求出OA＝BC＝8，AB＝OC＝4，BM＝6，BN＝3，由S△OMN＝S矩形OABC?S△OCM?S△BMN?S△OAN计算得15．
【角度2
反比例函数与四边形面积】
例18
如图所示的是函数与函数在第一象限内的图象，点是的图象上一动点，⊥轴于点，交的图象与点，⊥轴于点，交的图象于点．
（1）求证是的中点；
（2）求出四边形的面积．
解答：（1）证明：∵点P在函数y＝6x上，∴设P点坐标为（6m，m）．
∵点D在函数y＝3x上，BP∥x轴，
∴设点D坐标为（3x，m），
由题意，得BD＝3m，BP＝6m，∴BP＝2BD，∴D是BP的中点．
（2）解：∵S四边形OAPB＝6，S△OBD＝S△OAC＝，
∴S四边形OCPD＝S四边形PBOA?S△OBD?S△OAC＝6??＝3．
三、分层实战训练
【基础巩固】
1.
下列函数是反比例函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.
已知，若是的反比例函数，则的值为(
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
3.
在同一直角坐标系下，直线与双曲线的交点的个数为(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.不能确定
4.
下列两个变量之间的关系属于反比例函数关系的是(
)
A.圆的面积与半径的关系
B.正方形的周长与边长的关系
C.均匀行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系
D.面积不变时，矩形的长与宽的关系
5.
对于，当＜0时，的取值及对应这部分的图象是（
）
A.＜0，图象在第四象限
B.＜0，图象在第三象限
C.＞0，图象在第一象限
D.＞0，图象在第二象限
6.
若反比例函数的解析式为，则当＞1时，的取值范围是
．
7.
过反比例函数图象上一点，分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，如果△ABC的面积为3，则的值为
6或-6
．
【能力提升】
8.
如图，过反比例函数（＞0）的图象上任意两点分别作轴的垂线，垂足为，，连接，，设与的交点为，记△与梯形的面积分别为，比较它们的大小，则有（
）
A.＞
B.
C.＜
D.大小关系不能确定
9.如图，反比例函数（＞0）图象与矩形的边分别交于点，且，则△的面积的值为
．
10.如图，一次函数的图象经过点，且与反比例函数（为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点．求：
一次函数和反比例函数的解析式；
当时，反比例函数的取值范围．
11.如图，点在反比例函数的图象上，⊥轴于点，⊥轴于点，．
求的值，并写出反比例函数的解析式；
连接，在线段上是否存在一点，使△的面积等于5？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12.如图，已知正比例函数和反比例函数的图象交于点．
求反比例函数的解析式；
观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围；
若双曲线上点沿方向平移个单位长度得到，判断四边形的形状并证明你的结论．
