26.2
实际问题与反比例函数
一、知识点过关
知识点
反比例函数在实际问题中的应用
（重点；掌握）
利用反比例函数解决实际问题，我们应该抽象概括它的本质特征，将其数学化，形成数学模型．例如当路程一定时，时间与速度成反比例．根据已知条件写出反比例函数的关系式，并能把实际问题反映在函数的图象上，结合图像和性质解决实际问题．因此，利用反比例函数解决实际问题的关键是求出函数解析式．一般地，建立反比例函数解析式有一下两种方法：
待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设出反比例函数解析式为，然后求出的值即可．
列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数和自变量的方程，进而解出函数，即可得到函数解析式．
拓展：规律方法：用反比例函数解决实际问题一般步骤：
（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系．
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式待定的系数用字母表示．
（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数．
（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围．
（5）解：用函数解析式取解决实际问题．
【命题点1
应用反比例函数解决排水问题】
例1
水塔中储有若干立方米的水，如果每小时放水5，那么8小时放完．
（1）求水塔中原有多少立方米的水；
（2）设放水时间为，每小时放水量为，写出与的关系式；
（3）画出（2）中函数的大致图像．
【命题点2
反比例函数在物理学科中的应用】
例2
某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）.
（1）写出这个函数解析式；
（2）当气球内的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
?（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
二、全方位技巧
类型题1
反比例函数在几何图形中的应用
例3
如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60的矩形科技园，其中一边靠墙，墙长为12．设的长为，的长为．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若围成矩形科技园的三边材料总长不超过26，材料和的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．
类型题２
应用反比例函数解决实际问题
【角度1
应用反比例函数解决商品销售问题】
例4
某商场出售一批名牌衬衫,衬衣进价为80元,在营销中发现,该衬衣的日销售量(件)是日销售单价(元)的反比例函数,且当售价定为100元/件时，每日可售出30件．
（1）请求出与之间的函数关系式；
（2）若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为2000元，则其单价应定为多少元？
针对性训练
商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价（元）与日销售量（张）之间有如下关系：
/元
3
4
5
6
/张
20
15
12
10
根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对的对应点；
猜测并确定关于的函数解析式，并画出函数图像；
设经营此贺卡的日销售利润为（元），试求出关于的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大日销售利润？
【角度2
应用反比例函数解决工程问题】
例5
某项工程需要沙石料立方米，阳光公司承担了该工程运送沙石料的任务．
（1）在这项任务中平均每天的工作量（立方米）与完成任务所需要的时间（天）之间具有怎样的函数关系？写出这个函数关系式．
（2）阳光公司计划投入型卡车200辆，每天一共可以运送沙石料立方米，则完成全部运送任务需要多少天？如果工作了25天后，由于工程进度的需要，公司准备再投入型卡车120辆，在保持每辆车每天工作量不变的前提下，是否能提前28天完成任务？
【角度3
应用反比例函数解决行程问题】
例6
小王骑自行车以15的平均速度从甲地到乙地用了4．
他坐出租车从原路返回，出租车的速度与时间有怎样的函数关系？
如果小王必须在40之内赶回，则返程时的速度至少为多少？
类型题3
反比例函数与一次函数的综合应用
例16
某药品研发所开发一种抗菌新药，经多年动物试验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间（小时）之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．?
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数关系式；?
（2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
三、分层实战训练
【基础巩固】
1.
已知甲、乙两地相距，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间与行驶速度的函数关系图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.
一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流与电阻之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，限制电流不得超过10，那么此用电器的可变电阻应(
)
A.不小于4.8
B.不大于4.8
C.不小于14
D.不大于14
3.
茶桶中共盛有茶水36，从出水口中每小时平均放出的茶水，一桶茶水能用．当时，的值是(
)
A.4
B.6
C.9
D.10
4.
某商场推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑售价为1.2万元，前期付款5000元，以后每月付一定数目的钱，则每个月应付款数（元）与付款月份的函数解析式为
．
5.
某单位要建一个200平方米的长方形草坪，已知它的长是米，宽是米，则与之间的函数解析式为
；当它的长为25米时，它的宽为
．
【能力提升】
6.
某单位为了响应政府发出的“全民健身”的号召，打算在长和宽分别为20米和16米的矩形大厅内修建一个40平方米的矩形健身房，该健身房的四面墙壁中有两面沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），且每面旧墙壁上所沿用的旧墙壁长度不得超过其长度的一半，己知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米，设健身房高3米，健身房的长为米，的长为米，修建健身房墙壁的总投资为元．
（1）求与的函数关系式，并写出自变量的范围．
（2）求与的函数关系，并求出当所建健身房长为8米时，总投资为多少元？
7.
一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为和．
（1）求和的值；
（2）若行驶速度不得超过60，则汽车通过该路段最少需要多少时间？
8.工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8时，材料温度降为600℃．煅烧时温度（℃）与时间（）成一次函数关系；锻造时，温度（℃）与时间（）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃．
（1）分别求出材料煅烧和锻造时与的函数关系式，并且写出自变量的取值范围；
（2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？26.2
实际问题与反比例函数
一、知识点过关
知识点
反比例函数在实际问题中的应用
（重点；掌握）
【命题点1
应用反比例函数解决排水问题】
例1
水塔中储有若干立方米的水，如果每小时放水5，那么8小时放完．
（1）求水塔中原有多少立方米的水；
（2）设放水时间为，每小时放水量为，写出与的关系式；
（3）画出（2）中函数的大致图像．
解：（1）5×8＝40，
答：水塔中原有40立方米的水；
（2）∵xy＝40，y与x成反比例关系．
∴y与x之间的关系式为y＝；
（3）如图所示：
【命题点2
反比例函数在物理学科中的应用】
例2
某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）.
（1）写出这个函数解析式；
（2）当气球内的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
?（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
二、全方位技巧
类型题1
反比例函数在几何图形中的应用
例3
如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60的矩形科技园，其中一边靠墙，墙长为12．设的长为，的长为．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若围成矩形科技园的三边材料总长不超过26，材料和的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．
类型题２
应用反比例函数解决实际问题
【角度1
应用反比例函数解决商品销售问题】
例4
某商场出售一批名牌衬衫,衬衣进价为80元,在营销中发现,该衬衣的日销售量(件)是日销售单价(元)的反比例函数,且当售价定为100元/件时，每日可售出30件．
（1）请求出与之间的函数关系式；
（2）若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为2000元，则其单价应定为多少元？
解：（1）设函数式为y＝（k≠0）．30＝，k＝3000，∴．
（2）单价是x元，
y（x?80）＝2000，（x?80）＝2000，
解得：x＝240，
故单价定为
240元．
针对性训练
商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价（元）与日销售量（张）之间有如下关系：
/元
3
4
5
6
/张
20
15
12
10
根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对的对应点；
猜测并确定关于的函数解析式，并画出函数图像；
设经营此贺卡的日销售利润为（元），试求出关于的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大日销售利润？
【角度2
应用反比例函数解决工程问题】
例5
某项工程需要沙石料立方米，阳光公司承担了该工程运送沙石料的任务．
（1）在这项任务中平均每天的工作量（立方米）与完成任务所需要的时间（天）之间具有怎样的函数关系？写出这个函数关系式．
（2）阳光公司计划投入型卡车200辆，每天一共可以运送沙石料立方米，则完成全部运送任务需要多少天？如果工作了25天后，由于工程进度的需要，公司准备再投入型卡车120辆，在保持每辆车每天工作量不变的前提下，是否能提前28天完成任务？
解：（1）成反比例函数关系；
（2）把V＝代入函数式得：t＝100天
完成全部运送任务需要100（天）
（?×25）÷[（200＋120）×100]＝46.875（天），
∵100?25?46.875＝28.125＞28，
∴能提前28天完成任务．
【角度3
应用反比例函数解决行程问题】
例6
小王骑自行车以15的平均速度从甲地到乙地用了4．
他坐出租车从原路返回，出租车的速度与时间有怎样的函数关系？
如果小王必须在40之内赶回，则返程时的速度至少为多少？
类型题3
反比例函数与一次函数的综合应用
例16
某药品研发所开发一种抗菌新药，经多年动物试验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间（小时）之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．?
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数关系式；?
（2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
三、分层实战训练
【基础巩固】
1.
已知甲、乙两地相距，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间与行驶速度的函数关系图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.
一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流与电阻之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，限制电流不得超过10，那么此用电器的可变电阻应(
)
A.不小于4.8
B.不大于4.8
C.不小于14
D.不大于14
3.
茶桶中共盛有茶水36，从出水口中每小时平均放出的茶水，一桶茶水能用．当时，的值是(
)
A.4
B.6
C.9
D.10
4.
某商场推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑售价为1.2万元，前期付款5000元，以后每月付一定数目的钱，则每个月应付款数（元）与付款月份的函数解析式为
．
5.
某单位要建一个200平方米的长方形草坪，已知它的长是米，宽是米，则与之间的函数解析式为
；当它的长为25米时，它的宽为
8米
．
【能力提升】
6.
某单位为了响应政府发出的“全民健身”的号召，打算在长和宽分别为20米和16米的矩形大厅内修建一个40平方米的矩形健身房，该健身房的四面墙壁中有两面沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），且每面旧墙壁上所沿用的旧墙壁长度不得超过其长度的一半，己知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米，设健身房高3米，健身房的长为米，的长为米，修建健身房墙壁的总投资为元．
（1）求与的函数关系式，并写出自变量的范围．
（2）求与的函数关系，并求出当所建健身房长为8米时，总投资为多少元？
7.
一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为和．
（1）求和的值；
（2）若行驶速度不得超过60，则汽车通过该路段最少需要多少时间？
8.工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8时，材料温度降为600℃．煅烧时温度（℃）与时间（）成一次函数关系；锻造时，温度（℃）与时间（）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃．
（1）分别求出材料煅烧和锻造时与的函数关系式，并且写出自变量的取值范围；
（2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？
